ch2 .邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎

2.邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎2.1

邏輯代數(shù)

2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

2.3

硬件描述語言VerilogHDL基礎

教學基本要求1、熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式和規(guī)則.3、了解硬件描述語言VerilogHDL.2、掌握邏輯代數(shù)的變換和卡諾圖化簡法.2.邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎

2.1.1

邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式2.1

邏輯代數(shù)2.1.3

邏輯函數(shù)的變換及代數(shù)化簡法2.1.2

邏輯代數(shù)的基本規(guī)則2.1

邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，它用于對數(shù)學表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設計。

邏輯關系指的是事件產生的條件和結果之間的因果關系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結果用輸出信號表示。條件和結果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯“1”和“0”表示。

1.基本公式

２.1.1邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式交換律：A+B=B+AA·B=B·A結合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補律：重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

2、常用公式AB+AB=AAB=A+B

A+B=A·BA·1=AA·0=0A+0=AA+1=1A·A=0A+A=1A+A=AA·A=A，，

3、基本公式的證明例

證明，列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表(真值表證明法)01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BABAB

2.1.2

邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

代入規(guī)則2.反演規(guī)則3.對偶規(guī)則代入規(guī)則

：在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結果就是原函數(shù)的反函數(shù)。2.反演規(guī)則：保留反變量以外的非號不變。

用反演律,則。，求

例1已知FCD+0BAF+=

解用反演規(guī)則

可得()()

DCBAF++=1

解由反演規(guī)則，可得例2試求的非函數(shù)對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對偶式，記作。

例3.對偶規(guī)則：“或-與”表達式“與非-與非”表達式

“與-或-非”表達式“或非－或非”表達式“與-或”表達式

2.1.3

邏輯函數(shù)的變換與代數(shù)法化簡1.常見的幾種邏輯函數(shù)表達式及其相互變換a.常見的幾種邏輯函數(shù)表達式

2、邏輯函數(shù)的變換

將邏輯函數(shù)與或式變換與非-與非表達式例1用與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)方法：將邏輯函數(shù)兩次求反后用摩根定律（1）適應器件的情況:用與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)例2、用或非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)2、兩次求反。與或式轉換為或非-或非式=A+C+C+DL2=A+C+C+DL2=AC+CD=AC+CD方法：1、將每個乘積兩次求反后，用摩根定律；L2=AC+CD用或非門實現(xiàn)用邏輯門實現(xiàn)函數(shù)L3轉換為與非-與非式(2)簡化電路:需要與非門和或非門兩塊芯片只用一塊與非門芯片

化簡的意義：根據(jù)化簡后的表達式構成的邏輯電路簡單，可節(jié)省器件，降低成本，提高工作的可靠性?；喌闹饕椒ǎ海保椒ǎù鷶?shù)法）；２．圖解法（卡諾圖法）；2.1.3

邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法

簡化標準(最簡的與－或表達式)

乘積項的個數(shù)最少(與門的個數(shù)少）;

每個乘積項中包含的變量數(shù)最少（與門的輸入端個數(shù)少）。化簡后使電路簡單，可靠性提高。代數(shù)化簡法：運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。

方法：并項法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

配項法：A+AB=A+B

2.1.3

邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡與化簡法例

用最少的與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)L最簡與或式最簡與或式邏輯圖

與非-與非式邏輯圖與非-與非式2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.2.2邏輯函數(shù)的最小項表達式2.2.1最小項的定義及性質2.2.4用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)2.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所 有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經驗 和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡 后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。 卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：2.2.1

最小項的定義及其性質

n個變量(X1,X2,…,Xn)的最小項就是n個因子的乘積，在該乘積中每個變量都以它的原變量或非變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。1、最小項的定義：如三變量邏輯函數(shù)

f(ABC)A(B+C)

-----不是最小項------最小項CBA2、最小項的性質

三個變量的所有最小項的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標i為最小項號。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1；

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

2.2.2

邏輯函數(shù)的最小項表達式

為“與或”邏輯表達式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1將化成最小項表達式=m7＋m6＋m3＋m5

邏輯函數(shù)的最小項表達式：

例2將

化成最小項表達式a.去掉非號b.去括號C.使每個乘積項包括所有的變量

2.2.3

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

1、卡諾圖：將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣,所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項只有一個變量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項m6=ABC、與m7=ABC在邏輯上相鄰m7m6AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD

2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

AB

mi00m001m111m310m2兩變量最小項真值表三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7N變量卡諾圖ADBB

方法：邏輯函數(shù)包含有哪幾個最小項，就在卡諾圖相對應的方格內填1，其余各方格填0。

例如畫出邏輯函數(shù)

的卡諾圖根據(jù)最小項邏輯表達式畫卡諾圖。Fm0m3m2m4m6m5m7m110001110用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法：

1.

將邏輯函數(shù)化為最小項表達式；

2.

填寫卡諾圖。。Lm0m3m2m4m6m5m7m111111000解1).

將邏輯函數(shù)化為最小項表達式；2.)

填寫卡諾圖。例1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)00000例2

畫出下式的卡諾圖解1.

將邏輯函數(shù)化為最小項表達式2.

填寫卡諾圖0100011110BCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7BCA0100011110

1

1

1

1

0

0

0

1ABC000001010011100101110111L10011101m0m1m2m3m4m5m6m7邏輯函數(shù)真值表邏輯函數(shù)的卡諾圖邏輯函數(shù)式最小項表達式邏輯函數(shù)的幾種表示方式

2.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

1、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖化簡的依據(jù)若兩個最小項相鄰，則可合并為一項并消去一個變量。2.若四個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去兩個變量。3.若八個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去三個變量。依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。2、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟

A.畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。3.同一方格可以被不同的包圍圈重復包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。4.

一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。XB.合并最小項，即將相鄰的為1的方格圈成一組。C.將所有包圍圈對應的乘積項相加。包圍圈內的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。2.循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。畫包圍圈時應遵循的原則：

3.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項應包含函數(shù)式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大3、卡諾圖化簡舉例

例1用卡諾圖化簡2.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

11111111110111111111111110例2用卡諾圖化簡0111111111111110圈0圈1例：

0001111001ABC例：

000111100011111101ABC例：

000111100011111101ABC例：化簡結果不唯一例2

將邏輯函數(shù)3、卡諾圖化簡舉例

111111111111111111113.2.4

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

化簡為最簡與或表達式。舉例說明：三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉、反轉和停止的命令，A=1表示正轉，B=1表示反轉，C=1表示停止?？赡苋≈抵挥?01，010，100當中的某一種。1.約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關項2.2.5

含無關項的邏輯函數(shù)及其化簡⑴約束項、約束項：這些恒等于0的最小項叫做約束項。000，011，101，110，111中的任何一種都不可能出現(xiàn)，可表示為：或在有些邏輯問題中，在有些變量的取值下，最小項是0、或1對函數(shù)值均無影響，我們將對應的這些最小項稱為任意項。而1010~1111不為8421BCD碼，稱為任意項。⑵任意項:舉例說明：四個邏輯變量A、B、C、D分別表示8421BCD碼只可能有0000，0001，0010…1001取值。任意項：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1是0皆可，并不影響電路的功能。在這些變量取值下，其值等于1的那些最小項成為任意項。1)填函數(shù)的卡諾圖時只在無關項對應的格內填任意符號“×”邏輯函數(shù)式中用“Φ”或、“d”表示無關項。2、無關項處理方法：2)化簡時可根據(jù)需要視為“1”也可視為“0”，使函數(shù)化到最簡。⑶無關項：約束項和任意項既可以