CAD技術(shù)-第二章-2-圖形變換

第二章材料加工CAD技術(shù)基礎(chǔ)2.1CAD系統(tǒng)的組成與分類2.2計算機圖形處理技術(shù)2.3CAD系統(tǒng)的三維造型技術(shù)2.4CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息交換2.5CAD系統(tǒng)的智能化技術(shù)與優(yōu)化分析技術(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解CAD系統(tǒng)的組成及分類。掌握圖形變換、CAD系統(tǒng)的三維造型技術(shù)，CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息交換。了解CAD系統(tǒng)的智能化和優(yōu)化技術(shù)。學(xué)習(xí)重點：圖形變換、CAD系統(tǒng)的三維造型技術(shù)，CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息交換。2.2計算機圖形處理技術(shù)圖形變換基礎(chǔ)坐標(biāo)系窗口和視區(qū)裁剪坐標(biāo)系1、世界坐標(biāo)系(WCS，WorldCoordinateSystem)

世界坐標(biāo)系一般是三維右手直角坐標(biāo)系，它的單位根據(jù)所描述的實際對象的大小來確定,通常使用實數(shù),取值范圍并無限制。它是一般用戶繪圖時所取的坐標(biāo)系，有時也稱為用戶坐標(biāo)系或物體坐標(biāo)系。通常表示為圖2.1(a),可以是二維的,表示為圖2.1(b)。

圖2.1世界坐標(biāo)系(WCS)(a)3D右手直角坐標(biāo)系；(b)2D右手直角坐標(biāo)系2、設(shè)備坐標(biāo)系(DCS，DeviceCoordinateSystem)圖形顯示器或繪圖機自身有一個坐標(biāo)系，稱它為設(shè)備坐標(biāo)系或物理坐標(biāo)系。它的單位根據(jù)輸出設(shè)備的實際大小來確定,一般使用整數(shù)。窗口—視區(qū)變換

基本概念在計算機圖形學(xué)中,把在用戶坐標(biāo)系中需要進(jìn)行觀察和處理的一個坐標(biāo)區(qū)域稱為窗口（Window），如圖2.2所示。把從窗口取得的那一部分物理世界（圖形）映射到顯示屏上的某一區(qū)域，這個區(qū)域稱為視區(qū)（Viewport）。圖2.2窗口與視區(qū)示意圖

如圖所示,設(shè)在用戶坐標(biāo)系中,取窗口為邊與坐標(biāo)軸平行的矩形,它的左下頂點和右上頂點坐標(biāo)分別為(Wxl,Wyb)、(Wxr,Wyt)，度量單位由用戶定義，相應(yīng)的視區(qū)也取成邊與坐標(biāo)軸平行的矩形,它的左下頂點和右上頂點坐標(biāo)分別為(Vxl,Vyb)、(Vxr,Vyt),度量單位為像素單位。窗口-視區(qū)變換公式圖2.3窗口-視區(qū)變換示意圖在窗口中點(xw,yw)到左邊線的距離和窗口在x方向的長度之比,與在視區(qū)中相應(yīng)點(xv,yv)到左邊線的距離和視區(qū)在x方向的長度之比,應(yīng)該是相等的。同樣,在y方向也保持這種比例關(guān)系。即裁剪

位于窗口之外的的那一部分屬于不可見部分，應(yīng)該刪去。點的裁剪直線段裁剪多邊形裁剪圖形變換

變換基本原理齊次坐標(biāo)

所謂齊次坐標(biāo),就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。例如，向量（x1,x2,…,xn）的齊次坐標(biāo)表示為（Hx1,Hx2,…,Hxn,H），其中H是一個不為0的實數(shù)。

由點或向量的齊次坐標(biāo)(Hx1,Hx2,…,Hxn,H)求它的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，可根據(jù)如下公式求得:（x1,x2,…,xn,1）圖2.4齊次坐標(biāo)的幾何意義齊次坐標(biāo)提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集(圖形)從一個坐標(biāo)空間變換到另一個坐標(biāo)空間的有效而統(tǒng)一的方法。二維圖形齊次坐標(biāo)變換矩陣的一般形式是：

三維圖形齊次坐標(biāo)變換矩陣的一般形式是：二維圖形的幾何變換基本變換平移變換、比例變換、等比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、錯切變換、對稱變換復(fù)合變換［x*y*1］=［x

y1］·T2D（1）平移變換平面圖形的平移變換是將平面圖形從一個位置平移到另一位置,形狀沒有任何改變。如圖2.5所示。

平移變換的矩陣為：圖2.5三角形的平移變換示意圖（2）比例變換平面圖形的比例變換是將圖形放大、縮小(壓縮),如圖2.6所示。比例變換的矩陣為：其中，A、D＞0。（3）等比例變換等比例變換的矩陣為：當(dāng)s>1時，圖形被放大；當(dāng)s<1時，圖形縮小；當(dāng)s=1時，圖形大小不變。

圖2.6比例變換(4)

旋轉(zhuǎn)變換平面圖形的基本旋轉(zhuǎn)變換是指圖形繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)任意角θ,并且規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)時,θ取正值,順時針方向旋轉(zhuǎn)時,θ取負(fù)值,如圖2.7(a)所示。

圖2.72D圖形的旋轉(zhuǎn)變換示意圖

(a)點的旋轉(zhuǎn);(b)三角形的旋轉(zhuǎn)（5）錯切變換平面圖形的錯切變換是指變換前后的平面圖形沿x軸方向或y軸方向錯切。如圖2.8、2.9。錯切變換的變換矩陣為：

圖2.82D圖形的錯切變換示意圖

(a)沿x方向錯切；(b)沿y方向錯切y*P1P1*P2P2OOxyP4P3*P4*P3P4*P4P1*P1P2*P2P3*P3(a)(b)x圖2.9x、y方向同時錯切的變換（6）對稱變換平面圖形的對稱變換是指變換前后的平面圖形對稱于x軸,y軸或某個特定軸。如圖2.10所示。對稱變換的矩陣為：

圖2.102D圖形的對稱變換三角形對稱于x軸；(b)三角形對稱于y軸；(c)三角形對稱于坐標(biāo)原點平面圖形復(fù)合變換舉例設(shè)△P1P2P3的三個頂點分別為P1(10,20),P2(20,20),P3(15,30),它繞點Q(5,25)逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°,它的復(fù)合變換為：復(fù)合變換矩陣的求解順序不能任意變動圖2.11三角形的復(fù)合變換示意圖

(a)先平移；(b)旋轉(zhuǎn)后再平移基本變換

三維空間立體圖形的基本變換與二維平面圖形的基本變換，同樣可以利用矩陣處理方法。通常用規(guī)范化的四維齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)來表示三維空間點(x,y,z)。因此,三維空間點的變換的一般公式為：［x*y*z*1］=［x

y

z1］·T3D三維圖形的幾何變換式(2-1)

式中,T3D是三維圖形的變換矩陣,它是一個4×4階方陣,即式(2-2)（1）三維平移變換

平移變換是指三維立體沿x、y、z三個方向分別移動L,M,N到一個新的空間位置。平移變換后,立體的大小和形狀保持不變。三維平移變換的矩陣為：圖2.12三棱錐的平移變換示意圖（2）三維比例變換

1.比例變換比例變換是指三維立體在x、y、z三個方向以原點為中心,分別放大或縮小A,E,J倍,得到一個新的三維立體。比例變換后,三維立體的大小和形狀可能發(fā)生改變。比例變換的變換矩陣為：圖2.13正方體的等比例變換示意圖圖2.14三棱錐的不等比例變換示意圖

2.全比例變換在式(2-2)中,變換矩陣主對角線上的元素S能使三維立體在空間各方向等比例放大或縮小。全比例變換矩陣為：（3）三維對稱變換

1.對xOy坐標(biāo)平面的對稱變換把給定圖形對于xOy坐標(biāo)平面作對稱變換時,變換前后相應(yīng)點的x、y坐標(biāo)保持不變,z坐標(biāo)互為相反數(shù),所以僅需將單位矩陣中z坐標(biāo)的元素值取為-1。因此,對稱變換的矩陣為：

圖2.15對稱變換示意圖對xOy面的對稱；(b)對yOz面的對稱;(c)對xOz面的對稱2.對yOz坐標(biāo)平面的對稱把給定圖形對于yOz坐標(biāo)平面作對稱變換時,僅需將單位矩陣中x坐標(biāo)的元素值取為-1,因此,對稱變換矩陣為：3.對xOz坐標(biāo)平面的對稱把給定圖形對于xOz坐標(biāo)平面作對稱變換時,僅需將單位矩陣中y坐標(biāo)的元素值取為-1,因此,對稱變換矩陣為：（4）三維錯切變換三維錯切變換是指三維立體在空間沿x、y、z三個方向?qū)崿F(xiàn)錯切變形,三維錯切是二維錯切變換的一個擴充。三維錯切變換矩陣為：圖2.16錯切變換示意圖（5）三維旋轉(zhuǎn)變換三維立體的旋轉(zhuǎn)變換是指給定的三維立體繞三維空間某個指定的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ角度。旋轉(zhuǎn)后,立體的空間位置將發(fā)生變化,但形狀不變。θ角的正負(fù)按右手規(guī)則確定,右手大姆指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向,其余四個手指指向旋轉(zhuǎn)角的正向,如圖2.17(a)所示。逆時針為正，順時針為負(fù)。下面主要討論三維立體分別繞三個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,如圖2.17所示。

圖2.17旋轉(zhuǎn)變換示意圖繞z軸正向旋轉(zhuǎn)；(b)繞x軸正旋轉(zhuǎn)；

(c)繞y軸正向旋轉(zhuǎn)

1.繞x軸正向旋轉(zhuǎn)角θx

三維空間立體繞x軸旋轉(zhuǎn)時,立體上各頂點的y,z坐標(biāo)改變,而x坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第一行和第一列中,除去主對角線上元素為1以外,所有元素均為0,而y,z坐標(biāo)可由二維點繞原點旋轉(zhuǎn)公式得到,因此可得：x*=xy*=ycosθx－zsinθxz*=ysinθx

+zcosθx

將上式改寫成矩陣形式，則繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

2.繞y軸正向旋轉(zhuǎn)角θy

三維空間立體繞y軸正向旋轉(zhuǎn)時,立體上各頂點的x,z坐標(biāo)改變,而y坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第二行和第二列中,除去主對角線上元素為1以外,所有元素均為0,而x,z坐標(biāo)可由二維點繞原點旋轉(zhuǎn)公式得到,因此可得：

x*=xcosθy

+zsinθyy*=yz*=-xsinθy+zcosθy

將上式改寫成矩陣形式,則繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.繞z軸正向旋轉(zhuǎn)角θz

三維空間立體繞z軸正向旋轉(zhuǎn)時,立體上各頂點的x,y坐標(biāo)改變,而z坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第三行和第三列中,除去主對角線上元素為1以外,所有元素均為0,而x,y坐標(biāo)可由二維點繞原點旋轉(zhuǎn)公式得到,因此可得：

x*=xcosθz

-ysinθzy*=xsinθz

+ycosθzz*=z

將上式改寫成