剛體平面運動

理論力學(xué)第九章剛體的平面運動第九章剛體的平面運動實驗選課剛體的平面運動：第九章剛體的平面運動一、概述?剛體平面運動的分解二、平面圖形內(nèi)各點的速度三、平面圖形內(nèi)各點的加速度四、運動學(xué)問題綜合應(yīng)用?例題概述?剛體平面運動的分解

一、概述?剛體平面運動的分解

實例平面運動的定義平面運動的簡化平面運動的方程平面運動的分解剛體的平面運動——實例曲柄滑塊機構(gòu)剛體的平面運動——實例齒輪傳動機構(gòu)剛體的平面運動——實例行星齒輪機構(gòu)剛體的平面運動——實例（沿直線）滾動的車輪剛體的平面運動——實例電影放映機中的四連桿機構(gòu)

剛體在運動過程中，其上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變，具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動。平面運動的定義平面運動的定義平面運動的定義剛體的平面運動——（運動中的）剛體上任意點與某一固定平面的距離始終保持不變。平面運動的定義剛體的平面運動——（運動中的）剛體上任意點與某一固定平面的距離始終保持不變。

平面運動的簡化

剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動。平面運動的簡化

這些平面上對應(yīng)的點具有相同的運動軌跡、相同的速度和相同的加速度。特點：

剛體上所有平行于固定平面的平面具有相同的運動規(guī)律；

車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平移運動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成。絕對運動——車輪相對于靜系（地面）的平面運動牽連運動——車廂（動系A(chǔ)xy）相對于靜系的平移運動相對運動——車輪相對于車廂（動系A(chǔ)xy）的定軸轉(zhuǎn)動平面運動的簡化平面運動的簡化平面運動的方程

任意線段AB的位置可用A點的坐標(biāo)和AB與x軸的夾角來描述，圖形S的位置決定于三個獨立的參變量（三個自由度），所以：

為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置。平面運動的方程xA=f1(t)yA=f2(t)=f3(t)剛體的平面運動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動。平面運動的方程

根據(jù)平面運動方程，對于每一瞬時

t，都有對應(yīng)的

xA、yA和，圖形S在該瞬時的位置是完全確定的。xA=f1(t)yA=f2(t)=f3(t)當(dāng)圖形S上A點固定不動時，剛體作定軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)圖形S上

角固定不變時，剛體作平移運動。平面運動的方程曲柄滑塊機構(gòu)中OA=r，AB=l，曲柄OA以等角速度

繞O軸轉(zhuǎn)動。求：1、連桿的平面運動方程；2、連桿上P點（AP=l1）的運動軌跡、速度與加速度。例題1——曲柄滑塊機構(gòu)解：1、確定連桿平面運動的3個獨立變量（xA，yA，）與時間的關(guān)系。首先確定與之間的關(guān)系，由圖中的幾何關(guān)系，有例題1——曲柄滑塊機構(gòu)OABPxyxPyP連桿的平面運動方程為：2、連桿上P點的運動方程：例題1——曲柄滑塊機構(gòu)OABPxyxPyP當(dāng)r<<l時，應(yīng)用泰勒公式，可忽略4次方以上的項：因此連桿上P點的運動方程為例題1——曲柄滑塊機構(gòu)OABPxyxPyP3、連桿上P點的速度與加速度速度加速度例題1——曲柄滑塊機構(gòu)平面運動的分解平面運動的分解

定義動系上的原點A為基點，于是車輪的平面運動隨基點A

的平動繞基點A'的轉(zhuǎn)動平面運動的分解剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。剛體的平面運動隨基點的平移（牽連運動）繞基點的轉(zhuǎn)動（相對運動）平面運動的分解剛體平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動的基本方法

選擇基點——任意選擇

在基點上建立平移系（特殊的動系）——在剛體平面運動的過程中，平移系只發(fā)生平移剛體平面運動（絕對運動）可以分解為跟隨平移系的平移（牽連運動），以及平面圖形相對于平移系的轉(zhuǎn)動（相對運動）平面運動的分解平面運動的分解——基點的選擇平面運動的分解——基點的選擇平移的軌跡、速度與加速度都與基點的位置選擇有關(guān)。轉(zhuǎn)動角速度與基點的位置無關(guān)平面運動的分解——基點的選擇因為平移系(動系)相對于定參考系沒有方位的變化，平面圖形的角速度既是平面圖形相對于平移系的相對角速度，也是平面圖形相對于定參考系的絕對角速度。平面運動的分解——基點的選擇如圖，平面圖形S在Δt時間內(nèi)從位置I（AB）運動到位置II（A'B'）。以A為基點：隨基點A平動到A'B''后，繞基點轉(zhuǎn)Δ1角到A'B'以B為基點：隨基點B平動到A''B'后，繞基點轉(zhuǎn)Δ2角到A'B'圖中看出：ABA'B''A''B'，Δ1

＝Δ2，于是有：AB桿作平面運動平面運動的分解基點的選擇：比較曲柄連桿機構(gòu)平面運動的分解——基點的選擇平面運動隨基點平動的運動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，而繞基點轉(zhuǎn)動的運動規(guī)律與基點選取無關(guān)（即在同一瞬間，平面圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的與都是相同的）?；c的選取是任意的（通常選取運動情況已知的點作為基點）。在同一瞬時，平面運動的剛體只有一個角速度、只有一個角加速度。平面運動的分解

基點速度與平面圖形的角速度是描述剛體平面運動的特征量：

對于分解為平移和轉(zhuǎn)動的情形，平面圖形上任選基點A的速度vA，以及平面圖形的角速度，是描述剛體平面運動的特征量。

vA描述圖形跟隨基點的平移

描述相對于基點平移系的轉(zhuǎn)動平面運動的分解平面圖形內(nèi)各點的速度

二、平面圖形內(nèi)各點的速度求平面圖形內(nèi)各點的速度的基點法速度投影定理求平面圖形內(nèi)各點的速度的瞬心法根據(jù)速度合成定理，則B點速度為：解：取A為基點，取B為動點，則B點的運動可看作牽連運動為隨A點的平動和相對運動為繞A點的轉(zhuǎn)動（圓周運動）的合成。已知平面圖形內(nèi)A點的速度和圖形的角速度，求另一點B點的速度。平面圖形內(nèi)各點的速度——基點法求平面圖形內(nèi)各點的速度的基點法平面圖形內(nèi)各點的速度——基點法速度合成定理：平面圖形上任意點的速度，等于基點的速度，與這一點對于以基點為原點的平移系的相對速度的矢量和：其中

由于平面圖形內(nèi)A、B兩點的位置是任意選擇的，因此速度合成定理：平面圖形——速度投影定理速度投影定理表達(dá)了平面圖形上任意兩點速度之間的關(guān)系。注意恒成立關(guān)系式：因此將速度合成定理在AB兩點的連線上投影，有AB平面圖形——速度投影定理速度投影定理可以通過剛體的定義直接得到！AB——速度投影定理：平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。即：也可以寫成：1、問題的提出若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算將會有所簡化。于是自然要提出問題：在某一瞬時平面圖形上是否存在一點其速度等于零？如果存在的話，該點的位置又如何確定？2、速度瞬心的定義

在某一瞬時必唯一存在一點，該點的速度等于零，稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。平面圖形——速度瞬心法求平面圖形內(nèi)各點的速度的瞬心法3、確定速度瞬心位置的幾種方法

（1）已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動，則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心。平面圖形——速度瞬心法ABCvBvCvA（2）已知某瞬時平面圖形上A、B兩點速度的方向，且兩個速度矢量不平行，過A、B兩點分別作速度的垂線，交點Cv（或P）即為該瞬時的速度瞬心。平面圖形——速度瞬心法（3）已知平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行，方向相同，并且都垂直于兩點的連線。平面圖形——速度瞬心法平面圖形——速度瞬心法（4）已知平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于兩點的連線。（5）已知平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于兩點的連線。瞬時平動——瞬心無窮遠(yuǎn)速度瞬心的特點平面圖形——速度瞬心法1、瞬時性——不同的瞬時，有不同的速度瞬心2、唯一性——某一瞬時只有一個速度瞬心3、瞬時轉(zhuǎn)動特性——平面圖形在某一瞬時的運動都可以看作繞這一瞬時速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動4、速度瞬心處的瞬時速度為零，但加速度一般并不為零（不同于定軸轉(zhuǎn)動）5、剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度一般并不相同（不同于剛體平動）曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動。此時連桿BC的圖形角速度BC=0，BC桿上各點的速度都相等，但各點的加速度并不相等。設(shè)=const.，則:而C點的加速度aC的方向沿AC連線——瞬時平動與平動不同！例題2——瞬時平動解：機構(gòu)中曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動，連桿AB作平面運動，滑塊B作平動。

已知：曲柄連桿機構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動。求：當(dāng)=45o時，滑塊B的速度及AB桿的角速度。例題3——曲柄連桿機構(gòu)（1）基點法研究連桿AB，以A為基點，且vA=l，方向如圖示。根據(jù)在B點做速度平行四邊形，如圖示。例題3——曲柄連桿機構(gòu)（）根據(jù)速度投影定理用速度投影法不能求出（2）速度投影法研究連桿AB，A點速度

vA=l，方向OA。

B點速度

vB方向沿BO直線。例題3——曲柄連桿機構(gòu)（試比較上述三種方法的特點）（3）速度瞬心法研究連桿AB，A點與B點速度的方向已知，因此可確定出P點為速度瞬心。例題3——曲柄連桿機構(gòu)（）例題4——行星齒輪機構(gòu)已知:R、r、0，輪A作純滾動，求解：OA定軸轉(zhuǎn)動，輪A作平面運動，P點為輪A的瞬心。）(例題4——行星齒輪機構(gòu)

楔塊圓盤平面機構(gòu)中，楔塊M傾角=30o，速度v=12cm/s；圓盤半徑

r=4cm，與楔塊間無滑動。求圓盤的角速度、桿OC的速度以及圓盤上B點的速度。例題5——楔塊圓盤平面機構(gòu)解：桿OC

和楔塊M均作平動；圓盤作平面運動，P為圓盤的速度瞬心。例題5——楔塊圓盤平面機構(gòu)）(例題6——曲柄肘桿壓床機構(gòu)已知：OA=0.15m，n=300rpm，AB=0.76m，BC=BD=0.53m，在圖示位置AB桿水平。求該位置時的BD、AB及vD

。解：桿OA、BC作定軸轉(zhuǎn)動，桿AB、BD均作平面運動。（）研究BD桿，P2為其速度瞬心，BDP2為等邊三角形（）例題6——曲柄肘桿壓床機構(gòu)研究AB桿，P1為其速度瞬心例題7——滾輪滑塊平面機構(gòu)

圖示瞬時O點在AB中點，=60o，

BCAB，且O、C在同一水平線上，AB=20cm，vA=16cm/s。試求該瞬時AB桿、BC桿的角速度及滑塊C的速度。解：輪A、桿AB、桿BC均作平面運動，套筒O作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊C作平動。取套筒上O點為動點，動系固結(jié)于AB桿，靜系固結(jié)于機架：研究AB桿，P1為速度瞬心：例題7——滾輪滑塊平面機構(gòu)由于va=0，vr沿AB方向，所以ve沿BA方向并與vr反向，從而可以確定AB桿上與O點的接觸點（牽連點）的速度方向。）(也可以用瞬心法求BC和vC研究BC桿，以B為基點，由（）例題7——滾輪滑塊平面機構(gòu)作速度平行四邊形：vCvCBvBC平面圖形內(nèi)各點的加速度

三、平面圖形內(nèi)各點的加速度求平面圖形內(nèi)各點加速度的基點法關(guān)于加速度瞬心的概念平面圖形內(nèi)各點的加速度

求平面圖形內(nèi)各點加速度的基點法已知：平面圖形S內(nèi)一點A的加速度aA和圖形某一瞬時的、。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。解：取A為基點，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點；取B為動點，則B點的運動可分解為隨基點的平移運動（牽連運動）和繞基點的圓周運動（相對運動）。平面圖形內(nèi)各點的加速度

（加速度）基點法由牽連運動為平動時的加速度合成定理：可得：其中：方向BA，指向與一致方向沿AB連線，指向A點平面圖形內(nèi)各點的加速度

討論：（1）基點的相對性以A為基點：以B為基點：ABaBaBaBAaABaTABanABaAaAaTBAanBA（2）平面圖形一點的加速度表達(dá)式最多可以有六項。平面圖形內(nèi)各點的加速度

關(guān)于加速度瞬心的概念

由于atBA

、anBA的大小和方向隨B點位置的改變而變化，所以總可以在平面圖形內(nèi)找到一點Q，在此瞬時，其相對加速度的大小恰與基點A的加速度aA等值反向，Q點的絕對加速度aQ=0，Q點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心。

一般情況下，加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點。一般情況下，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關(guān)系式，圖形上任意兩點A、B加速度的投影關(guān)系不成立，即：當(dāng)某瞬時圖形=0（瞬時平動）時，才成立投影關(guān)系：即：若平面圖形在運動過程中某瞬時的角速度等于零，則該瞬時圖形上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等。平面圖形內(nèi)各點的加速度

由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點法求平面圖形上各點的加速度或圖形的角加速度。由于該式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，因此：（）半徑為R的車輪沿直線作純滾動，已知輪心O點的速度vO

及加速度aO，求車輪與軌道接觸點P的加速度。解：輪O作平面運動，P點為速度瞬心，先求出和：例題8——車輪滾動（）取O點為基點：由此可知，速度瞬心P的加速度并不等于零，它不是車輪的加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，速度瞬心P的加速度指向輪心。做出加速度矢量圖，其中：

例題8——車輪滾動方向大小？？√√R√Rw2√解：(a)AB作平動：已知四連桿機構(gòu)的O1A=O2B=R，圖示瞬時O1A/O2B，試問在(a)、(b)兩種情況下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)例題9——四連桿機構(gòu)例題9——四連桿機構(gòu)(b)(b)AB作平面運動，在圖示瞬時作瞬時平動，因此：將加速度向AB連線投影（連桿AB作瞬時平動）：例題10——曲柄滾輪機構(gòu)曲柄滾輪機構(gòu)的曲柄長度與滾輪半徑均為15cm，曲柄轉(zhuǎn)速n=60rpm。求：當(dāng)=60o時（OAAB）滾輪的角速度Ｂ與角加速度Ｂ。（）P1為AB桿的速度瞬心，P2為輪B的速度瞬心：解：OA定軸轉(zhuǎn)動，AB桿和輪B作平面運動。要求出滾輪的Ｂ與Ｂ，應(yīng)當(dāng)先求出vB與aB

例題10——曲柄滾輪機構(gòu)P2P1vB取A為基點：作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影：點P2為輪B

的速度瞬心：例題10——曲柄滾輪機構(gòu)方向大小

？√√√

？√√√其中：所以：剛體的平面運動例題四、運動學(xué)問題綜合應(yīng)用例題如圖，A、B為平面運動剛體上的兩點，以A為基點（動系固結(jié)在剛體上），其位置矢量關(guān)系為：剛體平面運動——矢量法推導(dǎo)yxorBrArABAB對t

求導(dǎo)，求B點的速度：再次對t

求導(dǎo)，求B點的加速度：剛體平面運動——矢量法推導(dǎo)yxorBrArABAB（一）概念與內(nèi)容

1.剛體平面運動的定義剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變。

2.剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內(nèi)的運動代替剛體的整體運動。

3.剛體平面運動的分解：隨基點的平動（平動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)）繞基點的轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點的選擇無關(guān)）剛體的平面運動4.基點可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點（作為基點），通常選擇運動狀態(tài)已知的點。5.瞬心（速度瞬心）任一瞬時，平面圖形或其延拓部分都唯一存在一個速度為零的點。瞬心的位置隨時間而改變。每一瞬時平面圖形的運動可視為繞（該瞬時）瞬心的轉(zhuǎn)動，這種（瞬時）繞瞬心的轉(zhuǎn)動與定軸轉(zhuǎn)動不同。若=0，瞬心位于無窮遠(yuǎn)處，剛體上各點速度相同，剛體作瞬時平動，瞬時平動與平動不同。剛體的平面運動6.剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面平動是剛體平面運動的特例。7.求平面圖形上任一點速度的方法：剛體的平面運動（基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例）基點法：速度投影法：速度瞬心法：當(dāng)瞬時平動（=0）時也可采用投影法：（基點法在=0時的特例）。8.求平面圖形上一點加速度的方法 基點法：9.剛體平面運動方法與點的合成運動方法的應(yīng)用條件平面運動方法適用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系。點的合成運動方法適用于確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對運動時運動關(guān)系的傳遞。剛體的平面運動（二）解題步驟和要點

1.

根據(jù)題意和剛體各種運動的定義，判斷機構(gòu)中各剛體的運動形式，注意每一次的研究對象只是一個剛體。

2.

對作平面運動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度（或圖形角速度）問題的方法；用基點法求加速度（或圖形角加速度）

3.

作速度分析和加速度分析，求出待求量。（基點法：恰當(dāng)選取基點，作速度平行四邊形和加速度矢量圖；速度投影法：不能求出圖形；速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵）剛體的平面運動例題11——搖桿與套筒搖桿OB以角速度=2rad/s繞軸O轉(zhuǎn)動，長l=200mm的套筒AB用鉸鏈連接滑塊A，可沿?fù)u桿OB滑動，h=100mm。求

=30o時套筒AB上B點的速度大小。解：（1）坐標(biāo)法，寫出B點的坐標(biāo)：上式對t求導(dǎo)，注意當(dāng)t，所以d/dt=-：當(dāng)

=30o時，vBx=200mm/s，vBy=-613mm/s，則：例題11——搖桿與套筒解：（2）剛體平面運動法：當(dāng)

=30o時，vA=－267mm/s以A為基點，求套筒AB上B點的速度：注意到套筒AB與搖桿OB的角速度相同，則：例題11——搖桿與套筒解：（3）點的合成運動法：先選動系為搖桿OB；動點為套筒AB上A點再選動系：搖桿OB；動點：套筒AB上B點式中vAe=OA·=231mm/s，可得：

vAr=vAe·tan=133mm/s

vAa=vAe/cos=267mm/s式中vBe=OB·=631mm/s，注意到vBr=vAr，則：例題12——曲柄擺桿滑塊機構(gòu)求：該瞬時O1D擺桿的角速度曲柄OA=r以勻角速度轉(zhuǎn)動，連桿AB=l的中點C處連接一滑塊C，可沿導(dǎo)槽O1D滑動，圖示瞬時OAO1三點在同一水平線上，OAAB，=30o。解：曲柄OA、擺桿O1D均作定軸轉(zhuǎn)動，連桿AB作平面運動。采用點的合成運動方法求O1D桿上與滑塊C接觸點（牽連點）的速度：例題12——曲柄擺桿滑塊機構(gòu)連桿AB在圖示位置作瞬時平動，所以：動點——連桿AB上C點（或滑塊C）動系——擺桿O1D絕對運動——曲線運動相對運動——直線運動牽連運動——定軸轉(zhuǎn)動這是一個需要聯(lián)合應(yīng)用點的合成運動和剛體平面運動理論求解的綜合性問題。例題12——曲柄擺桿滑塊機構(gòu)根據(jù)作速度平行四邊形，所以：）(例題13——導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)在圖示瞬時，桿AB的速度u、桿CD的速度v為已知常數(shù)，角已知，且AC=l，求導(dǎo)槽AE的角速度。解：（1）應(yīng)用點的合成運動方法確定CD桿上C點與AE桿上接觸點C’之間的速度關(guān)系：取CD桿上C為動點，動系固結(jié)于導(dǎo)槽AE，則：（2）應(yīng)用平面運動方法確定導(dǎo)槽AE上A、C’點之間速度關(guān)系：例題13——導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)以上兩式聯(lián)立，有：作速度矢量圖投至軸，注意到vC＝v，vA＝u，有：（）例題13——導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)解：OA定軸轉(zhuǎn)動，AB、BC均作平面運動，滑塊B和C均作平動。（1）求C點的速度——先對AB桿應(yīng)用速度投影定理：再對BC桿應(yīng)用速度投影定理：

在配氣機構(gòu)中，OA=r,以等角速度0轉(zhuǎn)動，在某瞬時

=60o，