高二數(shù)學必修五導學案：3.1.1不等關系與不等式（一）

3．1不等關系與不等式(一)23**學習目標**1．通過具體情境,感受在觀察現(xiàn)實世界時和日常生活中存在著的大量不等關系，了解不等式(組)的實際背景．2．經歷由實際問題建立數(shù)學模型的過程,體會其基本方法.3．總結建立不等式模型的基本思路．4．體會數(shù)學在生活中的重要作用,提高觀察、抽象的能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣．**要點精講**1．實數(shù)的全序性：如果是實數(shù)，那么和三者有且只有一個成立；2．實數(shù)平方的非負性：如果是實數(shù)，那么，等號當且僅當時成立；3．兩實數(shù)大小的定義：在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大。由這個實數(shù)大小比較的幾何定義及減法的意義，可以得到實數(shù)大小比較的充要條件：;;。它可以認為是兩實數(shù)大小比較的代數(shù)定義，通常稱為“差式”比較法。**范例分析**例1．(1)限速的路標,指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度不超過,可寫成不等式.(2)某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量應不少于2.5%,蛋白質的含量應不少于2.3%,寫成不等式組是..(3)b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據事實提煉一個不等式.變式：建筑學規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶的面積與地板的面積之比應不小于10％，并且這個比越大，住宅的采光條件越好，問同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變________（填“好”或“壞”）例2．通過水管放水,當流速相同時,如果水管截面的周長相等,那么截面是圓的水管和截面是方的水管哪個流量大?例3．汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車時還要繼續(xù)向滑行一段距離才能停住，稱這段距離為剎車距離，剎車距離是分析事故的一個重要因素，在一個限速為40千米/小時以內的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對時，同時剎車，但還是相撞了.事故后，現(xiàn)場測得甲車的剎車距離是略超過12米，乙車的距離略超過10米，又已知甲、乙兩種車型剎車距離s米與車速x千米/小時之間有如下關系：S甲＝0.1x+0.01x2，S乙＝0.05x+0.005x2，問超速應負責任的是誰?例4．某化工廠從今年一月起,若不改善生產環(huán)境,按現(xiàn)狀生產,每月收入為70萬元,同時將受到環(huán)保部門的處罰,第一個月罰3萬元,以后逐月遞增2萬元.如果從今年一月起投資500萬元增加回收凈化設備(改造設備時間不計),一方面可以改善環(huán)境,另一方面也可以大大降低原料成本.據測算投產后的前5個月中的累計凈收入是生產時間n(以月為單位)的二次函數(shù),生產前1、前2和前3個月的累計收入分別可達101萬元、204萬元和309萬元,以后穩(wěn)定在第5個月的水平.同時該廠不但不受處罰,而且還將的到環(huán)保部門一次性100萬元的獎勵.問經過多少個月,投資開始見效,即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入.規(guī)律總結1．不等式(組)是刻畫不等關系的數(shù)學模型．2．建立不等式模型的基本思路：(1)找出不等關系；(2)語言化不等關系；(3)設變量后，數(shù)量化不等關系(列出不等式(組))。**基礎訓練**一、選擇題1．鐵路旅行規(guī)定：旅客每人免費攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過，設攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為（單位：），這個規(guī)定用數(shù)學關系式表示為（）A．B．C．D．2．有一件商品若在月初出售，可獲利100元，然后將本利存入銀行（已知銀行月息為2%）；若在下月初出售，可獲利120元，但要付5元保管費，則（）A．本月初出售獲利大B．下月初出售獲利大C．本月初出售獲利與下月初出售獲利相同D．本月初出售獲利與下月初出售獲利大小不能確定3．如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多，那么在8天內它的行程就超過，如果它每天行駛的路程比原來少，那么它行駛同樣的路程就得花9天多時間，這輛汽車原來每天行程的千米數(shù)滿足（）A．B．C．D．4．某地每年消耗木材約20萬，每價480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣每年的木材消耗量減少萬，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬元，則的范圍是A.[1，3] B.[2，4] C.[3，5] D.[4，6]5．下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A、B、C的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段,的機動車輛數(shù)（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數(shù)相等），則A．B．C．D．

二、填空題6．某家庭（一家三口）準備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供2種優(yōu)惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優(yōu)惠。如果兩家旅行社的原價相同，則選擇旅行社比較合算。7．某產品的總成本（萬元）與產量（臺）之間有函數(shù)關系式，其中。若每臺產品售價萬元，要使生產者不虧本，則產量應滿足關系：。8．用一批長為的條形鋼材截成長為和的兩種規(guī)格的零件毛坯，若要使余下的廢料最少，則材料的利用率是。（利用率=）三、解答題9．通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散。分析結果和實驗，用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可有以下公式：f(x)=（1）開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？（2）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？（3）一個數(shù)學難題，需要55的接受能力以及13分時間，老師能否及時在學生一直所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？10．行駛中汽車，在剎車時由于慣性的作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，稱這段距離為剎車距離。在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s（米）與汽車車速v（千米/小時）滿足的關系式為（n為常數(shù)，n∈N）現(xiàn)做了兩次剎車試驗，有關數(shù)據如圖，其中，S2S1S2S14070V⑵在使剎車距離不超過12.6米四、能力提高11．某供水公司水池有水450噸，每小時注入80噸，又小時向居民輸出水噸，現(xiàn)同時輸入輸出，（1）小時后水池中水量最少；(2)若水池中低于150噸時會出現(xiàn)供水緊張，則同一天內有小時供水緊張。12．某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方案將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.（1）設ak（1≤k≤n）為第k位職工所得獎金額，試求、，并用k、n和b表示ak（不必證明）；（2）證明：（k＝1，2，…，n－1），并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；3．1不等關系與不等式(一)例1．解：（1）;(2)；(3)>;變式：好。例2．解:當水的流速相同時,水管的流量取決于截面面積的大小,設截面的周長為,則截面圓面積,截面正方形的面積,.例3.解：依題意由①解得x甲<-40或x甲>30，由②解得x乙<-50或x乙>40，∴乙車超速，應負事故的主要責任.例4．解：設不改造設備，按原條件生產，n個月累就計收入為a(n),改造設備后，n個月累計收入為b(n).由已知條件a(n)=70n,且可設b(n)=an2+bn+c,n<6.于是101=b(1)=a+b+c,204=b(2)=4a+2b+c,309=b(3)=9a+3b+c.得a=1,b=100,c=0b(n)==經過簡單計算可發(fā)現(xiàn)，5個月內不能見效.這是因為b(5)-500+100=125<315=a(5)-(3+7+9+11),令b(n)-500+100>a(n)-[3n+](n>5).即109n-24-400>70n-2n-n2,化簡得:n2+41n-420>0.當5<n8時n2+41n-420<0,當n9時n2+41n-420>0.所以經過9個月才能見效.**參考答案**1~5CDACC2．提示：設商品本金為元，若月初出售，則到下月初共獲利；下月初出售獲利元，故不確定。3．提示：；4．提示：；6．甲；提示：設票價為元，則甲方案需元，乙方案需元。7．；8．；提示：設截成長為和的兩種規(guī)格的零件毛坯分別為根，則，。當時，余；當時，余；當時，余；當時，余；當時，最大利用率為。9．解：（1），，；（2）當時，為增函數(shù)，；當時，為減函數(shù)，；故，即開講后分鐘內，學生的接受能力最強；（3）當時，，得，所以；當時，，得。當