高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案：3.1.1不等關(guān)系與不等式（一）

3．1不等關(guān)系與不等式(一)23**學(xué)習(xí)目標(biāo)**1．通過(guò)具體情境,感受在觀察現(xiàn)實(shí)世界時(shí)和日常生活中存在著的大量不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景．2．經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,體會(huì)其基本方法.3．總結(jié)建立不等式模型的基本思路．4．體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用,提高觀察、抽象的能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣．**要點(diǎn)精講**1．實(shí)數(shù)的全序性：如果是實(shí)數(shù)，那么和三者有且只有一個(gè)成立；2．實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性：如果是實(shí)數(shù)，那么，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；3．兩實(shí)數(shù)大小的定義：在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。由這個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的幾何定義及減法的意義，可以得到實(shí)數(shù)大小比較的充要條件：;;。它可以認(rèn)為是兩實(shí)數(shù)大小比較的代數(shù)定義，通常稱為“差式”比較法。**范例分析**例1．(1)限速的路標(biāo),指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí),應(yīng)使汽車的速度不超過(guò),可寫(xiě)成不等式.(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量應(yīng)不少于2.3%,寫(xiě)成不等式組是..(3)b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據(jù)事實(shí)提煉一個(gè)不等式.變式：建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶的面積與地板的面積之比應(yīng)不小于10％，并且這個(gè)比越大，住宅的采光條件越好，問(wèn)同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變________（填“好”或“壞”）例2．通過(guò)水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),如果水管截面的周長(zhǎng)相等,那么截面是圓的水管和截面是方的水管哪個(gè)流量大?例3．汽車在行駛過(guò)程中，由于慣性作用，剎車時(shí)還要繼續(xù)向滑行一段距離才能停住，稱這段距離為剎車距離，剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素，在一個(gè)限速為40千米/小時(shí)以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)時(shí)，同時(shí)剎車，但還是相撞了.事故后，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離是略超過(guò)12米，乙車的距離略超過(guò)10米，又已知甲、乙兩種車型剎車距離s米與車速x千米/小時(shí)之間有如下關(guān)系：S甲＝0.1x+0.01x2，S乙＝0.05x+0.005x2，問(wèn)超速應(yīng)負(fù)責(zé)任的是誰(shuí)?例4．某化工廠從今年一月起,若不改善生產(chǎn)環(huán)境,按現(xiàn)狀生產(chǎn),每月收入為70萬(wàn)元,同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰,第一個(gè)月罰3萬(wàn)元,以后逐月遞增2萬(wàn)元.如果從今年一月起投資500萬(wàn)元增加回收凈化設(shè)備(改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)),一方面可以改善環(huán)境,另一方面也可以大大降低原料成本.據(jù)測(cè)算投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間n(以月為單位)的二次函數(shù),生產(chǎn)前1、前2和前3個(gè)月的累計(jì)收入分別可達(dá)101萬(wàn)元、204萬(wàn)元和309萬(wàn)元,以后穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平.同時(shí)該廠不但不受處罰,而且還將的到環(huán)保部門一次性100萬(wàn)元的獎(jiǎng)勵(lì).問(wèn)經(jīng)過(guò)多少個(gè)月,投資開(kāi)始見(jiàn)效,即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入.規(guī)律總結(jié)1．不等式(組)是刻畫(huà)不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型．2．建立不等式模型的基本思路：(1)找出不等關(guān)系；(2)語(yǔ)言化不等關(guān)系；(3)設(shè)變量后，數(shù)量化不等關(guān)系(列出不等式(組))。**基礎(chǔ)訓(xùn)練**一、選擇題1．鐵路旅行規(guī)定：旅客每人免費(fèi)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)，設(shè)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為（單位：），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示為（）A．B．C．D．2．有一件商品若在月初出售，可獲利100元，然后將本利存入銀行（已知銀行月息為2%）；若在下月初出售，可獲利120元，但要付5元保管費(fèi)，則（）A．本月初出售獲利大B．下月初出售獲利大C．本月初出售獲利與下月初出售獲利相同D．本月初出售獲利與下月初出售獲利大小不能確定3．如果一輛汽車每天行駛的路程比原來(lái)多，那么在8天內(nèi)它的行程就超過(guò)，如果它每天行駛的路程比原來(lái)少，那么它行駛同樣的路程就得花9天多時(shí)間，這輛汽車原來(lái)每天行程的千米數(shù)滿足（）A．B．C．D．4．某地每年消耗木材約20萬(wàn)，每?jī)r(jià)480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣每年的木材消耗量減少萬(wàn)，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬(wàn)元，則的范圍是A.[1，3] B.[2，4] C.[3，5] D.[4，6]5．下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A、B、C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段,的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則A．B．C．D．

二、填空題6．某家庭（一家三口）準(zhǔn)備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供2種優(yōu)惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優(yōu)惠。如果兩家旅行社的原價(jià)相同，則選擇旅行社比較合算。7．某產(chǎn)品的總成本（萬(wàn)元）與產(chǎn)量（臺(tái)）之間有函數(shù)關(guān)系式，其中。若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)萬(wàn)元，要使生產(chǎn)者不虧本，則產(chǎn)量應(yīng)滿足關(guān)系：。8．用一批長(zhǎng)為的條形鋼材截成長(zhǎng)為和的兩種規(guī)格的零件毛坯，若要使余下的廢料最少，則材料的利用率是。（利用率=）三、解答題9．通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間，講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散。分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：分），可有以下公式：f(x)=（1）開(kāi)講后5分鐘與開(kāi)講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？（2）開(kāi)講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？（3）一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題？10．行駛中汽車，在剎車時(shí)由于慣性的作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，稱這段距離為剎車距離。在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離s（米）與汽車車速v（千米/小時(shí)）滿足的關(guān)系式為（n為常數(shù)，n∈N）現(xiàn)做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖，其中，S2S1S2S14070V⑵在使剎車距離不超過(guò)12.6米四、能力提高11．某供水公司水池有水450噸，每小時(shí)注入80噸，又小時(shí)向居民輸出水噸，現(xiàn)同時(shí)輸入輸出，（1）小時(shí)后水池中水量最少；(2)若水池中低于150噸時(shí)會(huì)出現(xiàn)供水緊張，則同一天內(nèi)有小時(shí)供水緊張。12．某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方案將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.（1）設(shè)ak（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求、，并用k、n和b表示ak（不必證明）；（2）證明：（k＝1，2，…，n－1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；3．1不等關(guān)系與不等式(一)例1．解：（1）;(2)；(3)>;變式：好。例2．解:當(dāng)水的流速相同時(shí),水管的流量取決于截面面積的大小,設(shè)截面的周長(zhǎng)為,則截面圓面積,截面正方形的面積,.例3.解：依題意由①解得x甲<-40或x甲>30，由②解得x乙<-50或x乙>40，∴乙車超速，應(yīng)負(fù)事故的主要責(zé)任.例4．解：設(shè)不改造設(shè)備，按原條件生產(chǎn)，n個(gè)月累就計(jì)收入為a(n),改造設(shè)備后，n個(gè)月累計(jì)收入為b(n).由已知條件a(n)=70n,且可設(shè)b(n)=an2+bn+c,n<6.于是101=b(1)=a+b+c,204=b(2)=4a+2b+c,309=b(3)=9a+3b+c.得a=1,b=100,c=0b(n)==經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可發(fā)現(xiàn)，5個(gè)月內(nèi)不能見(jiàn)效.這是因?yàn)閎(5)-500+100=125<315=a(5)-(3+7+9+11),令b(n)-500+100>a(n)-[3n+](n>5).即109n-24-400>70n-2n-n2,化簡(jiǎn)得:n2+41n-420>0.當(dāng)5<n8時(shí)n2+41n-420<0,當(dāng)n9時(shí)n2+41n-420>0.所以經(jīng)過(guò)9個(gè)月才能見(jiàn)效.**參考答案**1~5CDACC2．提示：設(shè)商品本金為元，若月初出售，則到下月初共獲利；下月初出售獲利元，故不確定。3．提示：；4．提示：；6．甲；提示：設(shè)票價(jià)為元，則甲方案需元，乙方案需元。7．；8．；提示：設(shè)截成長(zhǎng)為和的兩種規(guī)格的零件毛坯分別為根，則，。當(dāng)時(shí)，余；當(dāng)時(shí)，余；當(dāng)時(shí)，余；當(dāng)時(shí)，余；當(dāng)時(shí)，最大利用率為。9．解：（1），，；（2）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，；故，即開(kāi)講后分鐘內(nèi)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)；（3）當(dāng)時(shí)，，得，所以；當(dāng)時(shí)，，得。當(dāng)