(通用版)2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)5第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案理

n1－.n1－第5指與數(shù)數(shù)1．根式(1)根式的概念n①假設(shè)＝，么x做a的n次根，其中n>1且∈N.式子a做根式，這里n叫做根指數(shù)，叫被開方數(shù)．②的n次方根的表示：x＝

x＝，當(dāng)n奇數(shù)且∈Nn時(shí)，x＝±，當(dāng)n偶數(shù)且∈N時(shí)(2)根式的性質(zhì)n①(a)＝(∈N，n>1)．為奇數(shù)，②a＝||＝

n為偶數(shù)2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念mn①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪＝a(>0，，∈N，且n>1)．m②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪an＝＝m

1(>0m，∈N，n>1)．na③0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①a＝>0，∈Q)②(＝(>0，，∈Q)③()＝b(>0，>0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)圖象

y＝(>0，且≠1)0<<1

a>1

.圖象特征定義域值域

在軸方，過(0，1)當(dāng)x逐漸大時(shí)，圖象逐漸下降當(dāng)逐增大時(shí)，圖象逐漸上升(0，＋性

單調(diào)性

減

增質(zhì)

函數(shù)值

當(dāng)x＝0時(shí)，＝1變化規(guī)律

當(dāng)<0時(shí)，>1；當(dāng)>0時(shí)，0<<1

當(dāng)x<0時(shí)，<1；當(dāng)>0時(shí)，>1判斷正誤(正確的打“√〞，錯(cuò)的打“×〞)4(1)〔－4〕＝－4.(n(2)a與a)

都等于a(∈N))21(3)(－1)4－1)2＝－1.()(4)函數(shù)y＝3·2與＝2

都不是指數(shù)函數(shù)．()(5)假設(shè)>，那么>.(答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)×(教材習(xí)題改編有以下四個(gè)式子3①〔－8〕＝；②〔〕＝－10；42018③〔3－〕＝3π；④〔－〕＝－.其中正確的個(gè)數(shù)()A．1C．3

BD解析：選A.①確，〔－10＝|－10|＝10，②錯(cuò)誤；4

〔3－〕

－＝(3－π)＝，③錯(cuò)誤，

2018

〔－〕

＝|ab＝

當(dāng)≥時(shí)，應(yīng)選A.當(dāng)<時(shí)(2021·東北三校聯(lián)考函數(shù)fx)＝(a＞0≠1)圖象恒過點(diǎn)A，以下函數(shù)中圖象不經(jīng)過點(diǎn)A是)

17152725.17152725A．＝1C．＝2－1

B．＝|－2|D．＝log(2)解析：選由()＝(＞0a≠1)圖象恒過點(diǎn)1，又＝1－1知(，1)在y＝1－x的圖象上．函數(shù)(＝1－的值域?yàn)開______解析：由1－e≥0，≤1故函數(shù)fx)的定義域?yàn)閤|≤0}．所以0<≤1，－1≤－<0≤1－<1函數(shù)f(的值域?yàn)閇0，1)．答案：，1)(教材習(xí)題改編假設(shè)指數(shù)函數(shù)y＝(a－1)x在－，＋∞)為減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：由題意知0<－1<1即1<得－2<<－1或1<<2.答案：－2，∪(1，2)

<2，指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值學(xué)用書P23][典例引領(lǐng)化簡(jiǎn)以下各式：－21－－＋2－1)；31(2)3

211·(－3－b)÷(4a3)2·.21－13【解】(1)原式＝－7＋000105＝－49＋－1＝3351(2)原式＝a－2

113÷(23－a2221151355＝－－b－·22＝－－.42244

277－.277－[提醒運(yùn)結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．[通練習(xí)]41．化簡(jiǎn)16x(<0，<0)得)A．2xC．4x解析：選D.因?yàn)?lt;0，<0，以

BxyD．－2111116x＝(16·)4＝(16)4·()4·()4＝2||＝－2.2．化簡(jiǎn)以下各式：12－0.5(1)(0.027)3＋－；1(2)

12〔4ab〕·.1〔0.1〕··〕2

1125＋

259＝

9559＋－＝.1003310032〕2(2)原式＝33102－233162－28＝＝.353102－2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

(1)函數(shù)f(x)＝

.[典例引領(lǐng)的圖象如下圖，其中a，b為數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)()A．>1，<0B．>1，>0C．0<<1>0D．0<<1<0(2)假設(shè)方程|3－1|＝有解，那么k的取范圍________．【解析】(1)由f()＝b

的圖象可以觀察出函數(shù)(x＝b

在定義域上單調(diào)遞減，所以0<()＝ab

的圖象是在()＝

的根底上向左平移得到的，所以b<0.(2)函數(shù)y＝|3－1|的圖象是由數(shù)＝3的象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下的圖象沿x翻折到軸方得到的，函數(shù)圖象如下圖．當(dāng)＝0或≥1時(shí)，線＝與數(shù)y－1|的圖象有唯一交點(diǎn)，所以方程有一解．【答案】(1)D(2){0}∪[1，∞)1.假本(條變?yōu)椋悍匠蹋?有解，那么的值范圍_．解析：作出函數(shù)＝3－1y＝的象如下圖，數(shù)形結(jié)合可得>0.答案：，∞)2.假本(的件變?yōu)椋汉痽＝|3－1|＋的象不經(jīng)過第象限，那么實(shí)數(shù)的值范圍是．解析：作出函數(shù)＝|3＋圖象如下圖．由圖象知k≤－1即∈(∞，．答案：－，－1]

a1a13.假將本例2)變?yōu)楹瘮?shù)y－1|在－，上單調(diào)遞減，那么k的取值范圍如何？解：由本例2)作出的函數(shù)＝|3－1|圖象知，其在－∞，0]上單調(diào)遞減，所k∈(－∞，0]．指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用畫數(shù)函數(shù)＝a(>0且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵：(1，a，(0，1(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱、翻折變換得到其圖象．(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解．[通練習(xí)]1．函數(shù)fx＝1－

的圖象大致是()解析：選A將數(shù)解析式與圖象比照分析，因?yàn)楹瘮?shù))＝1e是函數(shù)，且值域(－∞，0]，有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)．2．假設(shè)直線ya函數(shù)＝|－1|(>0且≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么a的值范圍是________．解析：(1)當(dāng)0<a<1時(shí)，＝|－1|的圖象如圖①.為＝2與y＝|－1|的圖有兩個(gè)交1點(diǎn)，所以0<2a<1.所以0<<.2(2)當(dāng)>1時(shí)，y＝|a－1|圖如圖②，而y＝2a>1不能與＝|－1|兩交點(diǎn)．綜1上，0<a<2答案：2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)(高頻考)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是其單調(diào)性，特別受到高考命題專家的青睞，常以選擇題、填空

1111421【解析】把b化為b3，而函數(shù)y＝在上減函數(shù)，1111421【解析】把b化為b3，而函數(shù)y＝在上減函數(shù)，>，所1x11111題的形式出現(xiàn)．高考對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考察主要有以下三個(gè)命題角度：(1)比擬指數(shù)冪的大?。?2)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式；(3)研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)．[典引領(lǐng)]角度一比擬指數(shù)冪的大小214a＝－，＝以關(guān)系式中正確的選項(xiàng)()3A．<<bC．<<b

B．<<cD．<<c4423<3331<b<c.【答案】角二解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式，<0，設(shè)函數(shù)f()＝假f)<1那么實(shí)數(shù)a取值范圍是()x，≥0A．(－∞，－3)C．(－3，1)

B．(1，＋D－，∪(1＋aa－3【解析】當(dāng)<0，不等式f()<1可化即，即，1因?yàn)?<<1，所a>－3，時(shí)－3<a；當(dāng)a≥0時(shí)不等式f()<1可化為a<1，20≤<1.故a的取范圍是，1)，應(yīng).【答案】C角度三研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)(＝

ax2－4＋3.(1)假設(shè)a＝－1，求f()的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)x)有最大值3，求a的值(3)假設(shè)x)的值域是0，＋，a的．1【解】(1)當(dāng)＝－1時(shí)fx＝

－－4＋3，

11令()－

－4＋3

.由于(在－∞，－2)上單調(diào)遞增，(，∞)單調(diào)遞減，而＝

t在R上單遞減，所以)在－∞，－2)上調(diào)遞減，在－2＋∞)單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x的單調(diào)遞增區(qū)間是－2＋，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)．1(2)令(x＝ax－4＋3f(x)＝

〔x〕，由于f(有最大值3，所以()應(yīng)有最小值1，，因此必＝－1，

解得＝1即當(dāng)f(有最大值3時(shí)a的等于1.1(3)令(x＝ax－4＋3f(x)＝由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，

〔x〕，1要使y＝

g〔〕的值域?yàn)?，＋．應(yīng)使g(＝ax－4＋3值域?yàn)?，因此只能a＝0.(因?yàn)榧僭O(shè)≠0，那么g()二次函數(shù)，其值域不可能為R)故()值域(，＋∞)a的值0.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的?？碱}型及求解策略題型比擬冪值的大小解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)

求解策略(1)能化成同底數(shù)的先化成底數(shù)再利用單調(diào)性比擬大.(2)不能化成同底數(shù)的，一般引“1〞等中間量比擬大小先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、最值值域等性質(zhì)的方法一致[通練習(xí)]

axb1xx1axb1xx111．函數(shù)yx2

＋2－1值域是)

.A．(－∞，4)C．(0，4]

B．(0，＋D．[4，＋1解析：選C.設(shè)＝＋2x－1，那么y.21因?yàn)椋?1所以y＝()為于t的函數(shù)．2因?yàn)閠＝(－2－211所以0<＝(≤()＝422故所求函數(shù)的值域?yàn)?，4]．2．(2021·河南南陽、信陽等六模)、b∈(0，1)∪(1＋∞)當(dāng)>0時(shí)，1<<，那么()A．0<<<1C．1<<

B．0<<b<1D．1<<b解析：選C.因x>0時(shí)1<，所以>1.x因?yàn)閤>0時(shí)，所以x時(shí)a所以>1，以a>.b所以1<<，選C.3．函數(shù)y＋·3－3在區(qū)間－2上單調(diào)減，那么的值范圍________．解析：設(shè)t＝3，那么＝9＋·3－3t＋mtx∈[－2，2]所以∈

.又函數(shù)y＝9

＋·3－3區(qū)間，2]單調(diào)遞減，即＝m故有－≥9，得m≤2所以m的取值范圍為(－∞，．答案：(－∞，－18]

＋－3在間

上單調(diào)遞減，

21213.21213n

na與)區(qū)別n(1)a是數(shù)

的次方，是一個(gè)恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這式子的值受n的奇偶限制．n(2)(a)是數(shù)a的n次方的n次冪，其中數(shù)的值由的偶決定．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)利用性質(zhì)判斷根據(jù)指數(shù)函數(shù)＝圖象及性質(zhì)，判斷所給函數(shù)的定義域、單調(diào)性、函數(shù)(負(fù)等．(2)不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中的相對(duì)位置關(guān)系是：在軸右，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小到大；在左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大到?。c指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域(1)y＝的義域就是()的定義域．(2)求＝a

和＝()值域的解法．①形如y＝

的值域，要先令u＝x)，出u＝()的值域，再結(jié)合y＝的調(diào)性求出y＝的值域．假設(shè)a取值范圍不確定，那么需要對(duì)a展分類討論：當(dāng)0<<1時(shí)＝u

為減函數(shù)；當(dāng)a>1時(shí)y＝為函數(shù)．②形如y＝a)的值域，要先求出u＝x值域，再結(jié)合f(u)的單調(diào)性確定y(的值域．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷形如＝a的數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與fx)的單調(diào)區(qū)間有關(guān)：(1)假設(shè)>1，函數(shù)()單調(diào)增減區(qū)即函數(shù)y＝的調(diào)增減)間．(2)假設(shè)0<a<1函數(shù)(的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)y＝的調(diào)(增區(qū)間．易錯(cuò)防范(1)指數(shù)函數(shù)y＝(>0，a≠1)的圖和性質(zhì)與a的值有關(guān)要特別注意區(qū)分a>1或0<a(2)在解形如＋·a＋＝0或＋·a＋c≥0(≤0)的數(shù)程或不等式時(shí)，常借助換元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元〞的范圍．21．化簡(jiǎn)a3·－÷a－b33

的結(jié)果()

3bb11解析：選A.因?yàn)?＝3－，且定義域?yàn)镽所以f－)＝3－113bb11解析：選A.因?yàn)?＝3－，且定義域?yàn)镽所以f－)＝3－1112A．－6C．－112解析：選C.原＝4÷－(－－－3336＝－6ab＝，選C.b

8B．D．－6ab12．(2021·高考北京卷函(x)＝3－A．是奇函數(shù)，且在R上增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在R上增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在R上減函數(shù)

x，那么()()xx

－xx＝＝x3－

＝－f()，即函數(shù)(x)是奇函數(shù)又＝3

在R上增函數(shù)y＝

x在R上減1函數(shù)，所以f(x)＝3－

x在上是函數(shù)．應(yīng)選A.3．(2021·湖北四市聯(lián))函數(shù)()＝2－2那么函數(shù)＝|()|的圖象可能是()，解析：選B.＝|(＝|2＝易函數(shù)，

＝|(x)|的象的分段點(diǎn)是x＝1，且過點(diǎn)(1，0)，(0，1)()|≥0.又|()|在－∞，1)上單調(diào)遞減，應(yīng)選B.14．假設(shè)x2＋1≤1A．[，2)81C．(－∞，]8

x，那么函數(shù)y＝2的域是)1B，2]8D．[2，＋1解析：選B因22≤

－2

x

，那么x＋1≤4即x＋2x－3≤0.所以3≤≤1.

31122.311221所以≤y815．假設(shè)函數(shù)fx＝(a>0，≠1)足(1)＝，么f(的單調(diào)遞減區(qū)間()9A．(－∞，2]C．[－2，＋11解析：選B.由(1)得a＝.99又>0，

B．[2，＋D－，－2]1所以a＝，因此f()＝3

|2－4|.因?yàn)間(＝|2x－4|[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所()的單調(diào)遞減區(qū)間是2，＋∞)．10－26．化簡(jiǎn)：×－(0.01)．1111211116解析：原式1＋××－＋－＝.443106101516答案：157．(2021·陜西西安模擬)假設(shè)數(shù)f()＝

－2a>0，≠1)圖象恒過定點(diǎn)

，那么函數(shù)f(x在0，3]上的最小值等于________．解析：令x－2得＝2且(2)＝1－2，以函數(shù)x)的圖象恒過定點(diǎn)(2，1－2)，1因此x＝2a＝，是f(x＝3

x－2－，x在上單調(diào)遞減，故函數(shù)f(x)在031上的最小值為(3)－31答案：－38．函數(shù)fx＝＋(a＞0，≠1)定義域和值域都[－1，0]那么a＋＝________，解析：①當(dāng)a時(shí)，數(shù)()＝＋在[－1，0]為增函數(shù)，由題意無解．②當(dāng)0<<1時(shí)，函數(shù)fx)＝＋b

在，0]上減函數(shù)，由題意

a＋＝0a＋＝－1

解得1，3所以＋＝－2，

2.23答案：－229．函數(shù)fx＝

||－.(1)求(x的單調(diào)區(qū)間；9(2)假設(shè)x)的最大值等于，a的．4解：(1)令＝||－a，那么()＝

t，不管取何值在－，0]單調(diào)遞減，在2[0，∞)上單調(diào)遞增，又y

t是單調(diào)遞減的，因此f(的單調(diào)遞增區(qū)間(－∞，0]，單調(diào)遞減區(qū)間是[0，＋∞)．9(2)由于x)的最大值是，49且＝4

－2，所以g(＝||應(yīng)有最小值2，從而a＝2.10．?dāng)?shù)fx＝(>0，∈R)(1)假設(shè)x)為偶函數(shù)，求b的值(2)假設(shè)x)在區(qū)[，∞)上是增函數(shù)，試求，應(yīng)足的條件．解：(1)因?yàn)閒x)為偶函數(shù)，所以對(duì)任意的∈R都有(－＝)，即＝

，|＋b|＝|－＋b|，解得＝0.，(2)記(x＝|＋－b.①當(dāng)a>1時(shí))在區(qū)間[2，＋上增函數(shù)即()區(qū)間，＋∞)是增函數(shù)，所以－≤2≥②當(dāng)0<<1時(shí)，)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，即()在區(qū)[2，＋∞)是減函數(shù)，但h()在區(qū)間－，＋∞)是增函數(shù)，故不存在，的，使f(在區(qū)[，＋∞)是增函數(shù)．所以f(在區(qū)間2，＋上是增函數(shù)時(shí)，b應(yīng)滿的條件為>1且b≥

1解析：－)2－11解析：－)2－111．(2021·河南濮陽檢測(cè)假“>a〞是函數(shù)()

x＋－的象過第三象限〞3的必要不充分條件，那么實(shí)數(shù)a取的最大整數(shù)()A．－2B．－1CD．12解析：選B.因?yàn)?0)m＋，以函數(shù)fx)圖象不過第三象限等價(jià)于＋≥0即≥322－，以>〞是“≥－〞必要不充分條件，所以－，那實(shí)數(shù)a能的最大整33數(shù)為－2．(2021·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)x，，為數(shù)，且＝3＝5，那(A．2x<3<5C．3y<5<2

Bz<2<3Dy<2<5解析：選D設(shè)2＝3＝5＝k>1，所以＝log，＝logk，＝log因?yàn)閤9log232log3－3log2log3－log8－3logk＝－＝＝＝>0，所2>3；logloglog2·log3log2·log3log2·log3kkkkk353log5－5log3log5－log因?yàn)?－＝3logk－5log－＝＝＝logloglog3·log5log5kkk125log243log3·log5k

25<0，所以3<5z；為2－5＝2log－5log＝－＝loglog5k25log2log5－5log2log－log232＝＝<0所以5>2.所以5>2>3，應(yīng)選D.log2·log5log5log2·log5kkkk13．假設(shè)不等式m－)2－．

x<1對(duì)一x－∞，－1]成立，那么實(shí)數(shù)的值范圍是x形為m－<

2.設(shè)＝

x，那么原條件等價(jià)于不等式m－<＋t≥2時(shí)成立．顯然＋

在≥2時(shí)的最小值為6，所以

－<6解得2<m<3.答案：－2，3)，0≤<1，4．函數(shù)f(x＝1設(shè)>≥0假設(shè)a)＝(b，那么·(a的值范圍是2－，≥12．

3.3解析：畫出函數(shù)圖象如下圖，由圖象可知要使>≥0f()＝(同時(shí)成立，1那么≤b2b·()＝b·(b)＝