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山東省青島市萊西樸木中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線的焦點坐標(biāo)是(0,-3),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A略2.直線與橢圓相交于A、B兩點,橢圓上的點P使的面積等于12,這樣的點P共有()個A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:D錯因:不會估算。3.一點沿直線運動,如果由起點起經(jīng)過秒后距離,那么速度為零的時刻是(
).A.秒末 B.秒末 C.秒末 D.秒末參考答案:B,,解得或(舍去),故選.4.如圖,樣本和分別取自兩個不同的總體,它們的樣本平均數(shù)分別為,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為,則、
、、
、參考答案:B5.如圖,在正方體中,是側(cè)面內(nèi)一動點,若到直線與直線的距離相等,則動點的軌跡所在曲線是(
)A.直線的一部分
B.圓的一部分
C.雙曲線的一部分
D.拋物線的一部分參考答案:D略6.若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù),只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,即△=4﹣12m≤0,∴m≥.故選:C.
7.從所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個,則此方程是焦點在軸上的雙曲線方程的概率是(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B略8.給定下列四個命題:①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另外一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行;
②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直;
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中,為真命題的是
(
)
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.②和④參考答案:D9.設(shè)a∈R,則a>1是<1的()A.必要但不充分條件 B.充分但不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:B【考點】不等關(guān)系與不等式;充要條件.【分析】根據(jù)由a>1,一定能得到<1.但當(dāng)<1時,不能推出a>1(如a=﹣1時),從而得到結(jié)論.【解答】解:由a>1,一定能得到<1.但當(dāng)<1時,不能推出a>1(如a=﹣1時),故a>1是<1的充分不必要條件,故選
B.10.在△ABC中,若,則△ABC的形狀是(
)A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=(k,12),=(4,5),=(﹣k,10),且A、B、C三點共線,則k=.參考答案:【考點】9K:平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示;I6:三點共線.【分析】利用三點共線得到以三點中的一點為起點,另兩點為終點的兩個向量平行,利用向量平行的坐標(biāo)形式的充要條件列出方程求出k.【解答】解:向量,∴又A、B、C三點共線故(4﹣k,﹣7)=λ(﹣2k,﹣2)∴k=故答案為12.已知橢圓的左焦點是,右焦點是,點在橢圓上,如果線段的中點在軸上,那么
參考答案:略13.下列說法錯誤的是
(
)(A)命題:“已知是上的增函數(shù),若,則”的逆否命題為真命題(B)“”是“”的必要不充分條件(C)若為假命題,則、均為假命題(D)命題:“,使得”,則:“,均有”參考答案:C略14.如果實數(shù)x,y滿足等式(x﹣2)2+y2=1,那么的取值范圍是.參考答案:[,+∞)【考點】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】設(shè)k=,則y=kx﹣(k+3)表示經(jīng)過點P(1,﹣3)的直線,k為直線的斜率,所以求的取值范圍就等價于求同時經(jīng)過點P(1,﹣3)和圓上的點的直線中斜率的最大最小值,當(dāng)過P直線與圓相切時,如圖所示,直線PA與直線PB與圓相切,此時直線PB斜率不存在,利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線PA的距離d,令d=r求出此時k的值,確定出t的范圍,即為所求式子的范圍.【解答】解:設(shè)k=,則y=kx﹣(k+3)表示經(jīng)過點P(1,﹣3)的直線,k為直線的斜率,∴求的取值范圍就等價于求同時經(jīng)過點P(1,﹣3)和圓上的點的直線中斜率的最大最小值,從圖中可知,當(dāng)過P的直線與圓相切時斜率取最大最小值,此時對應(yīng)的直線斜率分別為kPB和kPA,其中kPB不存在,由圓心C(2,0)到直線y=kx﹣(k+3)的距離=r=1,解得:k=,則的取值范圍是[,+∞).故答案為:[,+∞)15.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,若(O為坐標(biāo)原點),則
.參考答案:5過B引準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,連接AN,易知:A、O、N三點共線,∴,即故答案為:5
16.已知,其中、為實數(shù),則
.參考答案:317.已知點,,且,則的坐標(biāo)是
。參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值和最小正周期;(2)已知內(nèi)角的對邊分別為,且,若向量與共線,求的值.參考答案:
①又c=3,由余弦定理,得
②解方程組①②,得。19.已知函數(shù),,.(1)若函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù),,,若存在使成立,求實數(shù)p的取值范圍.參考答案:(1);(2).【分析】(1)求出函數(shù)的解析式,由題意得出對任意的,利用參變量分離法得出在恒成立,然后利用基本不等式求出函數(shù)的最大值,可得出實數(shù)的取值范圍;(2)構(gòu)造函數(shù),由題意得出,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值,然后解不等式即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因為,,所以,所以,據(jù)題意,得對成立,所以只需對成立,所以只需在恒成立,又當(dāng)時,,所以,即所求實數(shù)的取值范圍是;(2)據(jù)題意,存在使成立,引入,則,又因為,,所以恒成立,所以函數(shù)在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,,所以,所以,所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù),以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式能成立問題,解題時要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想,屬于難題.20.已知函數(shù)f()=﹣x3+x2﹣m(0<m<20).(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若曲線y=f(x)僅在兩個不同的點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))處的切線都經(jīng)過點(2,lg),其中a≥1,求m的取值范圍.參考答案:【考點】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)求得f(x)=﹣x3+mx2﹣m,求出導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)≥6即9≤m<20時,當(dāng)2<<6,即為3<m<9時,當(dāng)≤2,即0<m≤3時,可得f(x)的單調(diào)性;(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得A,B處的切線方程,代入點(2,﹣lga),可得x1,x2為方程﹣lga﹣(﹣x3+mx2﹣m)=(﹣3x2+2mx)(2﹣x)的兩個不等實根,化簡整理可得,2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m+lga=0,令g(x)=2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m+lga,求出導(dǎo)數(shù)和極值點,由題意可得g(x)必有一個極值為0,對m討論,結(jié)合a≥1,解不等式即可得到所求m的范圍.【解答】解:(1)函數(shù)f()=﹣x3+x2﹣m,可得f(x)=﹣x3+mx2﹣m,f′(x)=﹣3x2+2mx=﹣x(3x﹣2m),當(dāng)≥6即9≤m<20時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增;當(dāng)2<<6,即為3<m<9時,f(x)在遞減;當(dāng)≤2,即0<m≤3時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞減;(2)f′(x)=﹣3x2+2mx,可得A處的切線方程:y﹣(﹣x13+mx12﹣m)=(﹣3x12+2mx)(x﹣x1),同理可得B處的切線方程:y﹣(﹣x23+mx22﹣m)=(﹣3x22+2mx)(x﹣x2),代入點(2,﹣lga),可得x1,x2為方程﹣lga﹣(﹣x3+mx2﹣m)=(﹣3x2+2mx)(2﹣x)的兩個不等實根,化簡整理可得,2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m+lga=0,令g(x)=2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m+lga,g′(x)=6x2﹣2(m+6)x+4m=2(3x﹣m)(x﹣2),由0<m<20,可得g′(x)=0,可得x=2或x=.g(2)=3m﹣8+lga,g()=﹣m3+m2﹣m+lga,由題意可得g(x)必有一個極值為0,(Ⅰ)若m<2,即0<m<6,由g(2)=0,g()>0,可得lga=8﹣3m≥0,即m≤,則g()=﹣m3+m2﹣m+8﹣3m=﹣(m﹣6)3>0成立,即有0<m≤;①由g(2)<0,g()=0,可得lga+3m﹣8<0,﹣m3+m2﹣m+lga=0,由lga≥0,可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3,由g(2)=m3﹣m2+m﹣8+3m=(m﹣6)3<0,解得m<6,即有0<m≤9﹣3;②(Ⅱ)若m>2,即6<m<20,由g(2)=0,g()<0,可得lga=8﹣3m≥0,即m≤,則m無解;③由g(2)>0,g()=0,可得lga+3m﹣8>0,﹣m3+m2﹣m+lga=0,由lga≥0,可得0≤m≤9﹣3或m≥9+3,由g(2)=m3﹣m2+m﹣8+3m=(m﹣6)3>0,解得m>6,即有9+3≤m<20,④綜上可得,0<m≤或9+3≤m<20.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù),在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè)函數(shù).(1)求、的值及函數(shù)的解析式;(2)若不等式在時恒成立,求實數(shù)的取值范圍;參考答案:(1),由題意得
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