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文檔簡介
山西省臨汾市一平垣中學2021年高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.平面截球所得的截面圓的半徑為1,球心到平面的距離為,則此球的體積為(
)A. B. C. D.參考答案:B2.(原創(chuàng))復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:A3.在由四條直線圍成的區(qū)域內(nèi)任取一點,這點沒有落在和軸所圍成區(qū)域內(nèi)的概率是A.
B.
C.
D.
參考答案:A略4.“”是“”的A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:B5.已知函數(shù)的圖像在點處的切線與直線垂直,若數(shù)列的前項和為,則的值為(
)
A. B.
C.
D.參考答案:D略6.定義在上的函數(shù),是它的導函數(shù),且恒有成立.則有(
)A.
B.C.
D.參考答案:A
考點:導數(shù)與單調(diào)性.【名師點睛】對于已知條件是既有又有的不等式,一般要構(gòu)造一個新函數(shù),使得可通過此條件判斷正負,從而確定單調(diào)性,例如我們常常構(gòu)造函數(shù),,,,要根據(jù)不等式的形式要確定新函數(shù),如本題.判斷出新函數(shù)單調(diào)性后,可利用此單調(diào)性得出不等關(guān)系,從而得出結(jié)論.7.已知點P滿足線性約束條件點M(3,1),O為坐標原點,則的最大值為A.12
B.11
C.3
D.-1參考答案:B8.已知集合,,則(
)A.(-∞,1)
B.[0,1]
C.(0,1]
D.[0,2)參考答案:C集合,,則.故答案為:C.
9.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.參考答案:B首先轉(zhuǎn)化題意,要使函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,只需關(guān)于軸的對稱的函數(shù)圖象與的圖象有交點,從而利用數(shù)形結(jié)合即可得到本題的答案.解答:要使函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,只需關(guān)于軸的對稱的函數(shù)圖象與的圖象有交點即可,即設與相切時,切點為,則,又點與兩點連線斜率,由圖知的取值范圍是時,函數(shù)圖象與的圖象有交點,即范圍是時,函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,故選B.說明:本題主要考查數(shù)學解題過程中的數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想.導數(shù)以及直線斜率的靈活應用,屬于難題10.設雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么雙曲線的離心率是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是邊長為6的等邊三角形,△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,則該三棱錐外接球的表面積為_______.參考答案:【分析】在等邊三角形中,取的中點,設其中心為,則,再利用勾股定理可得,則為棱錐的外接球球心,利用球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如圖,在等邊三角形中,取的中點,設其中心為,由,得,是以為斜邊的等腰角三角形,,又因為平面平面,平面,,,則為棱錐的外接球球心,外接球半徑,該三棱錐外接球表面積為,故答案為.【點睛】本題考查主要四面體外接球表面積,考查空間想象能力,是中檔題.要求外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑,求外接球半徑的常見方法有:①若三條棱兩垂直則用(為三棱的長);②若面(),則(為外接圓半徑);③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球;④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.12.某工廠生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5,現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本,樣本中A種型號的產(chǎn)品有16件,那么此樣本的容量n=
.參考答案:8015.若,則________.參考答案:201314.已知甲、乙兩名籃球運動員進行罰球訓練,每人練習10組,每組罰球40個,每組命中個數(shù)的莖葉圖如圖所示,則命中率較高的為_______.參考答案:甲.【分析】甲運動員的命中個數(shù)集中在莖葉圖的下方,而乙運動員的命中個數(shù)集中在莖葉圖的上方.從數(shù)據(jù)的分布情況來看,甲運動員的罰球命中率較高【詳解】甲運動員的命中個數(shù)集中在莖葉圖的下方,而乙運動員的命中個數(shù)集中在莖葉圖的上方.從數(shù)據(jù)的分布情況來看,甲運動員的罰球命中率較高.故答案為甲【點睛】畫莖葉圖時的注意事項(1)將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分,當數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)時,莖為十位上的數(shù)字,葉為個位上的數(shù)字;當數(shù)據(jù)是由整數(shù)部分和小數(shù)部分組成,可以把整數(shù)部分作為莖,把小數(shù)部分作為葉;(2)將莖上的數(shù)字按大小次序排成一列.(3)為了方便分析數(shù)據(jù),通常將各數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右(左)側(cè).(4)用莖葉圖比較數(shù)據(jù)時,一般從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù),穩(wěn)定性等方面來比較.15.已知雙曲線C的焦點、實軸端點恰好是橢圓的長軸的端點、焦點,則雙曲線C的方程是____________.參考答案:16.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系,隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下:父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177(參考公式==,=﹣,,表示樣本均值)則y對x的線性回歸方程為.參考答案:【考點】線性回歸方程.【分析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計算出x,y的平均數(shù)和回歸直線的斜率,即可寫出回歸直線方程.【解答】解:∵176,=176,∴樣本組數(shù)據(jù)的樣本中心點是,==,=﹣=88,∴回歸直線方程為.故答案為17.在等比數(shù)列中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式__________.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目.選手面對1~8號8扇大門,依次按響門上的門鈴,門鈴會播放一段音樂(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確答出這首歌的名字,方可獲得該扇門對應的家庭夢想基金.在一次場外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個年齡段:21~30,31~40(單位:歲),統(tǒng)計這兩個年齡段選手答對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示.(1)寫出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為答對歌曲名稱與否和年齡有關(guān),說明你的理由.(下面的臨界值表供參考)P(K2≥k0)0.10.050.010.005k02.7063.8416.6357.879(2)在統(tǒng)計過的參考選手中按年齡段分層選取9名選手,并抽取3名幸運選手,求3名幸運選手中在21~30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.(參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)參考答案:【考點】BO:獨立性檢驗的應用.【分析】(1)根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表,利用公式求出k2=3>2.706,即可得出結(jié)論.(2)設3名選手中在20~30歲之間的人數(shù)為ξ,可能取值為0,1,2,3,求出概率,列出分布列,求解期望即可.【解答】解:(1)2×2列聯(lián)表
正確錯誤合計21~3010304031~40107080合計20100120∴K2==3>2.706有90%的把握認為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān).﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2)按照分層抽樣方法可知:21~30(歲)抽取3人,31~40(歲)抽取6人.設3名選手中在21~30歲之間的人數(shù)為ξ,可能取值為0,1,2,3﹣﹣﹣﹣P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.﹣﹣﹣﹣﹣ξD的分布列ξ0123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.幾何證明選講如圖,D,E分別為邊AB,AC的中點,直線DE交于的外接圓于F,G兩點,若BC=2EF,證明:(Ⅰ);(Ⅱ)
參考答案:略20.已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0),e為自然對數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)若過點A(2,f(2))的切線斜率為2,求實數(shù)a的值; (Ⅱ)當x>0時,求證:f(x)≥a(1﹣); (Ⅲ)在區(qū)間(1,e)上>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 參考答案:【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程. 【專題】導數(shù)的綜合應用. 【分析】(Ⅰ)求函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)導數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實數(shù)a的值; (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)證明不等式即可; (Ⅲ)利用參數(shù)分離法結(jié)合導數(shù)的應用即可得到結(jié)論. 【解答】解答:(I)函數(shù)的f(x)的導數(shù)f′(x)=, ∵過點A(2,f(2))的切線斜率為2, ∴f′(2)==2,解得a=4.…(2分) (Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣)=a(lnx﹣1+); 則函數(shù)的導數(shù)g′(x)=a().…(4分) 令g′(x)>0,即a()>0,解得x>1, ∴g(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增. ∴g(x)最小值為g(1)=0, 故f(x)≥a(1﹣)成立.…(6分) (Ⅲ)令h(x)=alnx+1﹣x,則h′(x)=﹣1, 令h′(x)>0,解得x<a.…(8分) 當a>e時,h(x)在(1,e)是增函數(shù),所以h(x)>h(1)=0.…(9分) 當1<a≤e時,h(x)在(1,a)上遞增,(a,e)上遞減, ∴只需h(x)≥0,即a≥e﹣1.…(10分) 當a≤1時,h(x)在(1,e)上遞減,則需h(e)≥0, ∵h(e)=a+1﹣e<0不合題意.…(11分) 綜上,a≥e﹣1…(12分) 【點評】本題主要考查導數(shù)的綜合應用,要求熟練掌握導數(shù)的幾何意義,函數(shù)單調(diào)性最值和導數(shù)之間的關(guān)系,考查學生的綜合應用能力. 21.
函數(shù)g(x)=x3+ax2-bx(a,b∈R),在其圖象上一點P(x,y)處的切線的斜率記為f(x).(1)若方程f(x)=0有兩個實根分別為-2和4,求f(x)的表達式;(2)若g(x)在區(qū)間-1,3上是單調(diào)遞減函數(shù),求a2+b2的最小值.參考答案:(1)f(x)=g′(x)=x2+ax-b.∵-2,4分別是f(x)=x2+ax-b=0的兩實根,∴a=-(-2+4)=-2,b=2×4=8,∴f(x)=x2-2x-8
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