2020學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

—————教育源享步入識(shí)洋——————2020學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”是以我國(guó)哪位數(shù)學(xué)家命名的數(shù)學(xué)原理（）．楊輝

B劉微C．祖暅D．李淳風(fēng)【答案】C【解析】由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法，即運(yùn)用祖暅原理【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果兩個(gè)截面面積仍然相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等以我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅命名的數(shù)學(xué)原理，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查祖暅原理的理解空間幾何體體積的求法對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.2已知拋物線

y

＝

（

是正常數(shù)）上有兩點(diǎn)Ay、Bxy，焦點(diǎn)122，甲：

x12

p24

；乙：yy

；丙

；?。?/p>

1FAp

.以上是“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的充要條件有幾個(gè)（）．

B

C．2

D金戈鐵騎

3pxmymy11122———————育源共3pxmymy11122【解析】設(shè)直線的方程為my

，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)結(jié)論成立時(shí)，實(shí)t線AB過焦點(diǎn)”的充要條件的個(gè).【詳解】

的值，可以得出“直設(shè)直線AB方程為x點(diǎn)F的坐標(biāo)為,0.

線交x軸于點(diǎn)

物線的焦2px將直線AB方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得，myy2pt

，由韋達(dá)定理得yyypt12

.對(duì)于甲條件，

x1

y14p4p

，得

t

，甲條件是“直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F”的必要不充分條件；對(duì)于乙條件yypt2

tAB過拋物線的焦點(diǎn)乙條件是“直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)”的充要條件；對(duì)于丙條件xy1212

2

3pt，tpt4

2

，解t

t，所以，丙條件是“直線過焦點(diǎn)F”的必要不充分2條件；對(duì)于丁條件，1FAFBppp22ppmymym2yyt2金戈鐵騎

，——————————教資共步入識(shí)洋—————，

m

2pptpmt2

2pm2pp22

2p

，化簡(jiǎn)t

p24

，t

，所以，丁條件是“直AB經(jīng)過焦點(diǎn)F”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結(jié)論只個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的綜合問題，同時(shí)也考查了充分必要條件的判定，解題時(shí)要假設(shè)直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.二、填空題3橢圓2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________.3【答案】2,0【解析橢圓方程中得出ab值，可得c的值，可得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意可得3

2

，因此，橢圓

3

2

的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

，故答案為：2,0.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解題時(shí)要從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中得出ab的值，同時(shí)也要確定焦點(diǎn)的位置，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

4若復(fù)數(shù)z滿足【答案

，則實(shí)部是_________.金戈鐵騎

—————教育源享步入識(shí)洋————【解析】由

得出

，再利用復(fù)數(shù)的除法法則得出

的一般形式，可得出復(fù)數(shù)z的實(shí)部.【詳解】

，因此，復(fù)數(shù)

的實(shí)部1故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的除法，解題時(shí)要利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5球的表面積是其大圓面積的________．【答案】【解析設(shè)球的半徑為，可得出球的表面積和球的大圓面積，從而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為R則球的表面積為

4，球的大圓面積為，因此，球的表面積是其大圓面積的倍，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6棱長(zhǎng)為的正四面體的高為__________.【答案】

【解析】利用正弦定理計(jì)算出正四面體底面三角形的外接圓半徑r，再利用公式

可得出正四面體的高.【詳解】金戈鐵騎

223xxxxxx1xxx————教育源享步知?！?23xxxxxx1xxx設(shè)正四面體底面三角形的外接圓的半徑為r

，由正弦定理得r

26r，333因此，正四面體的高為

62322

，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正四面體高的計(jì)算，解題時(shí)要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中等題7展開二項(xiàng)式

6

，其常數(shù)項(xiàng)為_________.【答案】20【解析】利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令x指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)可得出二項(xiàng)式

展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式

6k展開式的通項(xiàng)kk

6

6

，得k

.所以，二項(xiàng)式

展開式的常數(shù)項(xiàng)C

36

20

，故答案為：20

.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，利用指數(shù)來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8

4中

個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)個(gè)數(shù)大于200

，共有_____同的可能．【答案36【解析由題意得知，三位數(shù)首位2金戈鐵騎

4中的某個(gè)數(shù)，十位和個(gè)位數(shù)沒

——————————教資共步入識(shí)洋————————有限制，然后利用分步計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果【詳解】由于三位數(shù)比200數(shù)沒有限制，

大，則三位數(shù)首位

中的某個(gè)數(shù)，十位數(shù)和個(gè)位因此，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)CA236

，故答案為

.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合綜合問題，考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，本題考查數(shù)字的排列問題時(shí)要弄清楚首位和零的排列分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9圓錐的母線長(zhǎng)是3高是2

，則其側(cè)面積是________.【答案】3【解析計(jì)算出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐的側(cè)面積公式可計(jì)算出圓錐的側(cè)面積.【詳解】由題意知，圓錐的底面半徑為

r

32因此，圓錐的側(cè)面積為S

33故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵就是要求出圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓的半徑，利用圓錐的側(cè)面積公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題10雙曲線

2的虛軸長(zhǎng)為2其漸近線夾角為__________.3b【答案】．【解析】計(jì)算

的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.金戈鐵騎

———————教資共步入識(shí)洋————【詳解】由題意知，雙曲線

2y2的虛軸長(zhǎng)為，b3b所以，雙曲線的漸近線方程為

yx兩條漸近線的傾斜角分別、

，因此，兩漸近線的夾角，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關(guān)鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題11在空間直角坐標(biāo)系中，某個(gè)大小為銳角的二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為

，則該二面角的大小為________結(jié)果用反三角函數(shù)表示【答案arccos

【解析設(shè)銳二面角的大小為

，利用空間向量法求cos

的值，從而可求【詳解】設(shè)銳二面角的大小cos

2

，

arccos

1，故答案為arccos.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法計(jì)算二面角，同時(shí)也考查了反三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的小球各三個(gè)，相同顏色的小球依次編1、

，從中任3

個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有__________．金戈鐵騎

—————————教資源享步知?！敬鸢浮窘馕鲈O(shè)紅色的三個(gè)球分別為A、

A、，黃色的三個(gè)球分別、12B，藍(lán)色的三個(gè)球分別C，列出所有符合條件的選法組合，可3得出結(jié)果.【詳解】設(shè)紅色的三個(gè)球分別為、、，黃色的三個(gè)球分別為、B、，藍(lán)32色的三個(gè)球分別CCC，現(xiàn)從中任31

個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有：,C、A,,C、,B,C、AB,C、A,C、31112,,C1因此，從中任3

個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況6

種，故答案為

.【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，在求解排列組合問題時(shí)，若符合條件的基本事件數(shù)較少時(shí)，可采用列舉法求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題13已知點(diǎn)

，st，

u

2

2

，復(fù)數(shù)

z、在復(fù)平面1內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)

，若1

2

，則z

的最大值是__________.【答案【解析】由題意可知，點(diǎn)

在曲線x內(nèi)，Q圓y2

上，利用三角不等式得出zzOP，可求出2【詳解】

的最大值.由題意知，點(diǎn)P

在曲線y內(nèi)，Q圓

上，如下圖所示：金戈鐵騎

——————教育資共步入識(shí)洋—————由三角不等式得zzzOP12當(dāng)點(diǎn)P為3

為正方形的頂點(diǎn)，且O.

方向相反時(shí)，取最大，故答案【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的最值，解題時(shí)充分利用三角不等式與數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，能簡(jiǎn)化計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題14已知在二面AB，點(diǎn)

在半平內(nèi)，且POB

對(duì)于半平面

內(nèi)異

的任意一

12

二面取值的集合為__________.【答案】90【解析畫出圖形，利用斜線與平面內(nèi)直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，判斷二面角的大小即可【詳解】如下圖所示，過點(diǎn)在平內(nèi)作PC

，垂直為

，金戈鐵騎

mmn——————————教育源享步入識(shí)洋————————mmn

在二面，點(diǎn)

在平，且

POB

，若對(duì)于平面內(nèi)異于O

的任意一Q，都

12

.因?yàn)樾本€與平面內(nèi)直線所成角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，即

是線PO

與平面

成的角

平面平面

所以，平面所以，二面角AB是

.故答案為：90.【點(diǎn)睛】本題考查二面角平面角的求解，以及直線與平面所成角的定義，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和空間想象能力，屬于中等題.15已知nN*

，

，下面哪一個(gè)等式是恒成立的（）mn

n!!

BAn

n!(n)!C

m

m

C

m

D

m

m【答案】B【解析利用排列數(shù)、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)可對(duì)各選項(xiàng)中的等式的正誤進(jìn)行判斷.【詳解】由組合數(shù)的定義可

mn

!m!

，A項(xiàng)錯(cuò)誤；!由排列數(shù)的定義可知A，B選項(xiàng)正確；!由組合數(shù)的性質(zhì)可C

rn

rn

C

r，則C項(xiàng)均錯(cuò)誤.故選：n【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)、組合數(shù)的定義以及組合數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查對(duì)這些金戈鐵騎

ii1ii2222———————ii1ii222216在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，多項(xiàng)式．4xC．

4

可以因式分解為（）B．xD．xx2【答案】A【解析】將代數(shù)式化為【詳解】

4x24x22，然后利用平方差公式可得出結(jié)果iii44x2xx，故選：A.4【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，考查平方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題三、解答題17已知復(fù)w滿足

i為虛數(shù)單位

w

，求一個(gè)以

為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．【答案】

x

【解析】先由

w

求出復(fù)數(shù)w，再由zw

求出復(fù)數(shù)

，計(jì)算出其復(fù)數(shù)

，可得出以復(fù)數(shù)

為根的實(shí)系數(shù)方程為

x

【詳解】由

w

，得w

iii

ii

5w

5

z

.z，z

，金戈鐵騎

b202c220—————教育源享步入識(shí)b202c220因此，以復(fù)數(shù)

為一個(gè)根的實(shí)系數(shù)方程為x

，即x即

x.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)方程與虛根之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18面直角坐標(biāo)系中

x22:點(diǎn)a2

F為

．（1若其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，焦距，求其標(biāo)準(zhǔn)方程．（2證明該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P

到點(diǎn)F的距離的最大值是a

．【答案

224

解.【解析題設(shè)條件可得出a的值，進(jìn)而可求b的值，由此得出橢C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2設(shè)點(diǎn),0

x，將該點(diǎn)代入橢方程得出a

2

0

，并代d

的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x

的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求出

的最大值.【詳解】（1由題意，，，22．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

24（2設(shè),0

，0

,0，2d

x0

x20

0

2

xa20

cx0

2c

c

a2xd金戈鐵騎

xx————————教資共步入識(shí)洋——————【點(diǎn)睛】xx本題考查橢圓方程的求解及橢圓方程的應(yīng)用，在處理與橢圓上一點(diǎn)有關(guān)的最值問題時(shí)，充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，考查函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中等題.19推廣組合數(shù)公式，定Cmx

!

，其x且規(guī)C

0x

．的值；（1C（2設(shè)當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)

f

C3

取得最小值？【答案

時(shí)，

C3x

取得最小值.【解析據(jù)題中組合數(shù)的定義計(jì)算C的值；2（2根據(jù)題中組合數(shù)的定義求出函數(shù)f，然后利用基本不等式求出函數(shù)【詳解】

y

的最小值，并計(jì)算出等號(hào)成立對(duì)應(yīng)的x的值.（1由題中組合數(shù)的定義C

3!

（2由題中組合數(shù)的定義得

f

C3

xx2

．因?yàn)閤由基本不等式得x

2x

，當(dāng)且僅當(dāng)

x2

時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，

C3x

取得最小值．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的新定義，以及利用基本不等式求函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵就是利用題中組合數(shù)的新定義進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等金戈鐵騎

1883——————————教資共步入識(shí)洋————————題.188320被嘉定著名學(xué)者錢大昕贊譽(yù)為“國(guó)朝算學(xué)第一”的清朝數(shù)學(xué)家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類“方燈體示，在棱長(zhǎng)4正方體ABCDC中，點(diǎn)Pi111i

為棱上的四等分點(diǎn).（1求該方燈體的體積；（2求直線PP和P的所成角；2（3求直線P和平面PP的所成角．91【答案60arcsin.33【解析出八個(gè)角（即八個(gè)三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個(gè)角的體積之和即可得出方燈體的體積；（2以A原點(diǎn)，為軸，AD為y

軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)1系，利用空間向量法求出直線和的所成角；611（3求出平P法向量，利用空間向量法求出直PP和平面P1299132的所成角的正弦值，由此可得出P和平面的所成角的大小.9132【詳解】（1在棱長(zhǎng)為的正方體﹣AB中，點(diǎn)Pi11i

為棱上的四等分點(diǎn)，該方燈體的體積：

11V323

；（2以A原點(diǎn)，為軸，AD為y，AA1系，金戈鐵騎

軸，建立空間直角坐標(biāo)

P0,3,4———教育源享步知海P0,3,4P1

,42

6

P11

1,1,012

P611

，設(shè)直線和P的所成角為，611直線和PP的所成角；2611

PPP1111PPP1211

，（34,0,3，13

，

P13

，9

，設(shè)平面PP的法向量129

，則

nx1nxy12

，得，取x得z

，設(shè)直線和平面PP的所成角sin9132

9913

2，23直線和平面PP的所成角為919

．【點(diǎn)睛】本題考查多面體的體積、異面直線所成角、直線與平面所成角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21雙曲線

xy2a,b的左、右焦點(diǎn)分別為a2

FF，直l過F且2與雙曲線交于、B兩點(diǎn)．金戈鐵騎

1a21a2（1l準(zhǔn)方程；

———————教育資共步入識(shí)洋————的傾斜角為3AB是等腰直角三角形，求雙曲線的標(biāo)2（23b

，l

的斜率存在，且FA，l1

的斜率；（3證明：點(diǎn)P

到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是a2該點(diǎn)在已知雙曲線上的必要非充分條件．x2y【答案

解析.【解析代入雙曲線的方程，得出

2y，由

等腰直1角三角形，可得出線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

b22c，再a入可得ba

的值，由此可得出雙曲（2求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)直l

的方程為

該直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，并求出線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由FA得出FAFB，轉(zhuǎn)化為利用這兩條11直線斜率之積為出實(shí)數(shù)

的值，可得出直l

的斜率；（3設(shè)Py，