概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第七章-參數(shù)估計(jì)-第四節(jié)-區(qū)間估計(jì)

參數(shù)估計(jì)第四節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.一、區(qū)間估計(jì)的基本概念1、置信區(qū)間定義滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量若由樣本和分別稱為置信下限和置信上限.則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為的置信區(qū)間.一、區(qū)間估計(jì)的基本概念這里有兩個(gè)要求:可見，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).一、區(qū)間估計(jì)的基本概念可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.

2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.一、區(qū)間估計(jì)的基本概念關(guān)于定義的說明一、區(qū)間估計(jì)的基本概念若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,一、區(qū)間估計(jì)的基本概念例如一、區(qū)間估計(jì)的基本概念在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn).2、置信區(qū)間的求法若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,則有所求置信區(qū)間為一、區(qū)間估計(jì)的基本概念所求置信區(qū)間為由此可見，置信水平為的置信區(qū)間是不唯一的。同樣對(duì)于一、區(qū)間估計(jì)的基本概念~N(0,1)求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.

例

設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).選

的點(diǎn)估計(jì)為,解尋找一個(gè)待估參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.一、區(qū)間估計(jì)的基本概念對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得對(duì)于給定的置信水平,根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣??？一、區(qū)間估計(jì)的基本概念一、區(qū)間估計(jì)的基本概念這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為一、區(qū)間估計(jì)的基本概念

從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)

3.尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,),且其分布為已知.T(X1,X2,…Xn)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念

4.對(duì)于給定的置信水平

，根據(jù)U(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a<U(T,)<b)=

5.對(duì)“a<S(T,)<b”作等價(jià)變形,得到如下形式即于是就是的100(

)％的置信區(qū)間.一、區(qū)間估計(jì)的基本概念可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,),且U(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數(shù).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.一、區(qū)間估計(jì)的基本概念需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.

1.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a=-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.

2.即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)三、矩估計(jì)法矩估計(jì)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽大數(shù)定理,若總體的數(shù)學(xué)期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).三、矩估計(jì)法

這表明,當(dāng)樣本容量很大時(shí)

,在統(tǒng)計(jì)上,可以用用樣本矩去估計(jì)總體矩.這一事實(shí)導(dǎo)出矩估計(jì)法.定義用樣本原點(diǎn)矩估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩,又用樣本原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點(diǎn)估計(jì)法稱為矩估計(jì)法

.

理論依據(jù):

大數(shù)定律矩估計(jì)法的具體做法如下：那么它的前k階矩,一般都是這k個(gè)參數(shù)設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù),那么用諸的估計(jì)量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計(jì)量：三、矩估計(jì)法i=1,2,…,k從這k個(gè)方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.的函數(shù),記為：三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.

缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.四、極大似然估計(jì)它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇.費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).四、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)法的思想

極大似然估計(jì)法，是建立在最大似然原理的基礎(chǔ)上的求點(diǎn)估計(jì)量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A,B,C,…,若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大。四、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)定義：當(dāng)給定樣本X1,X2,…Xn時(shí)，定義似然函數(shù)為：設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為

f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.四、極大似然估計(jì)似然函數(shù)：f(x1,x2,…,xn;)極大似然估計(jì)法就是用使達(dá)到最大值的去估計(jì).即稱為的極大似然估計(jì)值.而相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為的極大似然估計(jì)量.看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn

的一種度量.四、極大似