概率論第一章1-1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)12.氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)測都與《概率論》緊密相關(guān)；3.產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均要用到《假設(shè)檢驗(yàn)》；為什么要學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?1.金融、信貸、醫(yī)療保險(xiǎn)等行業(yè)策略制定；特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用《概率統(tǒng)計(jì)方法》.

27.探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí),《時(shí)間可夫過程》

來描述;8.研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以《馬爾序列分析》方法非常有用;5.電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì),火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性統(tǒng)計(jì)》;4.尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行《實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)》和《數(shù)據(jù)處理》；6.處理通信問題,需要研究《信息論》；39.生物學(xué)中研究群體的增長問題時(shí)，提出了生滅型《隨機(jī)模型》，傳染病流行問題要用到多變量非線性《生滅過程》；水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、10.許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶識就是《排隊(duì)論》.41654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學(xué)期望.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的誕生和發(fā)展使概率論成為數(shù)學(xué)的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.5

第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科.

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.6

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

課程介紹:48學(xué)時(shí),共講8章.１~5章是概率論，６~８章是數(shù)理統(tǒng)計(jì)本課程教材選用《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（浙江大學(xué)，盛驟，謝式千，潘承毅編，第4版）7

本書主要內(nèi)容概率論概率論的基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律及中心極限定理8數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣本及抽樣分布參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)9

1預(yù)習(xí),課堂上認(rèn)真聽講,以聽，思考為主,課后不要急于完成作業(yè),先自己整理,補(bǔ)充課堂講授中內(nèi)容,閱讀教科書,基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后,再去做作業(yè).學(xué)習(xí)方法：

2作業(yè)。要用數(shù)學(xué)語言寫出來。不能抄襲。每周交一次。每次重點(diǎn)檢查作業(yè)總數(shù)的二分之一，作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細(xì)的登記,缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績。只有期末考試，中間會有小測驗(yàn)。由作業(yè)，小測驗(yàn)，期末成績確定總評成績，記入成績單（歸入檔案）。考試：10第一章

概率論的基本概念

樣本空間與隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)

頻率與概率

等可能概型（古典概型）條件概率事件的獨(dú)立性11確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象1、確定性現(xiàn)象：在一定條件下肯定會發(fā)生的現(xiàn)象如水100oC沸騰，飛機(jī)的起落等2、偶然現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象引言經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論如微積分學(xué)、微分方程等都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具。在一定條件下，具有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果12實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實(shí)例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).132.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題：什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

.141.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).定義§1隨機(jī)試驗(yàn)15說明

1.隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn),

是一個廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”或“測量”等.

2.隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來表示.E1:拋一枚硬幣，分別用“H(head)”和“T(tail)”表示正面朝上和反面朝上，觀察出現(xiàn)的結(jié)果，可能是“H”或“T”;E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn) 的情況，可能的結(jié)果是：{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}16E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。{0,1,2,3}可能的結(jié)果是：E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

{1,2,3,4,5,6}E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。{t|t0}E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。{(x,y)|T0x,yT1

}E5:記錄某段時(shí)間內(nèi)電話交換臺接到的呼喚次數(shù)，可能是0，1，2，…；17§2樣本空間與隨機(jī)事件

一

樣本空間

隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合，稱為E的樣本空間，用S表示，記為注意：

1e的完備性，互斥性特點(diǎn)

.S樣本點(diǎn)eS={e|e為E的可能結(jié)果}樣本空間的元素e，也稱為樣本點(diǎn).2當(dāng)目的不同時(shí)，樣本空間也會有不同。18S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}S7:{(x,y)|T0x,yT1}S6中{t|t1000}表示“燈泡是次品”

{t|t1000}表示“燈泡是合格品”

{t|t1500}表示“燈泡是一級品19二、隨機(jī)事件定義

隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的某些子集稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件，它常用大寫字母A，B，C表示.任意隨機(jī)事件都是樣本空間的某一個子集.在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的含義是，當(dāng)且僅當(dāng)A中一個樣本點(diǎn)發(fā)生（或出現(xiàn)）。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn)事件的發(fā)生20將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作A:“兩次出現(xiàn)的面不同”或

A={兩次出現(xiàn)的面不同}

用樣本空間的子集可表達(dá)為A={(H,T),(T,H)}S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}H~headT~tail21特殊的事件：必件然事S：在每次試驗(yàn)中必出現(xiàn)S中一個樣本點(diǎn)，即在每次試驗(yàn)中S必發(fā)生，因此稱S為必然事件;

不件可事能：在每次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的樣本點(diǎn)都不在中，即在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，因此稱為不可能發(fā)生的事件?；臼录河梢粋€樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件

22例

E2

中事件A1：“第一次出現(xiàn)的是正面”，即

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}

E2

中事件A2：“三次出現(xiàn)同一面”，即

A2={HHH,TTT}

E6中事件A3：“壽命小于1000小時(shí)”，即23小結(jié)

在試驗(yàn)E下事件和集合對應(yīng)起來，用集合之間的關(guān)系對應(yīng)表達(dá)事件之間的關(guān)系。24三：事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）若AB，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生AB設(shè)試驗(yàn)E

的樣本空間為S，A為S的子集

25（2）若AB，BA，即A=B，則稱事件A與事件B相等。（3）事件AB稱為事件A與事件B的并（或和）事件?！?dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生?！癆、B中至少有一個發(fā)生時(shí)”，“A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價(jià)的。26AB類似地，稱為n個事件A1,…,An的和事件。稱為可列個事件A1,…,An,…的和事件。27（4）事件AB稱為事件A與事件B的交（或積）事件，也記作AB?！?dāng)且僅當(dāng)A、B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生。“事件A和B同時(shí)發(fā)生”，“A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價(jià)的。28AB=AB稱為可列個事件A1,…,An,…的積事件。類似地，稱為n個事件A1,…,An的積事件。29（5）事件AB稱為事件A與事件B的差事件?！?dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生。30類似地，若n個事件A1,…,An中兩兩互不相容，則稱這n個事件是互不相容的。若事件A1,…,An,…中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件是互不相容的。（6）若AB=，稱為事件A與事件B互不相容，或互斥。31（7）若AB=S,

AB=，稱事件A與事件B為對立事件。——在每次試驗(yàn)中，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。（8）事件稱為事件A的補(bǔ)事件。——當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。對立事件必為互不相容事件；

互不相容事件未必為對立事件32（9）完備事件組33吸收律冪等律差化積重余律(10)運(yùn)算律對應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算34交換律結(jié)合律分配律DeMorgan定律:35

對于一個具體事件，要學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示；反之，對于用數(shù)學(xué)符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.36例1袋中裝有2只白球和1只黑球。從袋中依次任意地摸出2只球。設(shè)球是編號的：白球?yàn)?號、2號，黑球?yàn)?號。(i,j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球的基本事件，則這一試驗(yàn)的樣本空間為：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

而且可得到下列隨機(jī)事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；B2={(1,2),(2,1),(3,1)，(3,2)}={第二次摸得白球}C={(1,2),(2,1)}={兩次都摸得白球}=B1B2；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={沒有摸到黑球}。37例2：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，

若記

Bi={取出的第

i

件是合格品}，i=1,2={兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品}

A=B1B2

問如何用Bi表示A和？381.A發(fā)生,B與C不發(fā)生例3設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件.或2.A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生或393.A、B、C中至少有一個發(fā)生4.A、B、C都發(fā)生或ABC恰有1個發(fā)生恰有2個發(fā)生3個都發(fā)生405.A、B、C中至少有兩個發(fā)生或

6.A、B、C都不發(fā)生恰有2個發(fā)生3個都發(fā)生或417.

A、B、C中不多于一個發(fā)生恰有2個不發(fā)生3個都不發(fā)生或至少有2個不發(fā)生42

8.A、B、C

中不多于兩個發(fā)生或或至少有1個不發(fā)生注意434445

在大量重復(fù)一隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，會發(fā)現(xiàn)，有些事件發(fā)生的次數(shù)多一些，有些事件發(fā)生的次數(shù)少一些。也就是說，有些事件發(fā)生的可能性大一些，有些事件發(fā)生的可能性小一些將表征隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)稱為事件的概率

如何度量事件發(fā)生的可能性呢？記為P(A)46§3概率的定義歷史上概率的三次定義③幾何概率②統(tǒng)計(jì)概率①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出公理化定義47一等可能概率模型（古典概型）1等可能概率模型具有下列兩個特征：①樣本空間S只含有有限個元素②試驗(yàn)中，每個基本事件發(fā)生是等可能的這類隨機(jī)現(xiàn)象在概率論發(fā)展初期即被注意，許多最初的概率論結(jié)果也是對它作出的，一般把這類隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。古典概型在概率論中占有相當(dāng)重要的地位，它具有簡單、直觀的特點(diǎn)，且應(yīng)用廣泛。

S={e1,e2,…en}48如何理解古典概型中的等可能假設(shè)？等可能性是古典概型的兩大假設(shè)之一，有了這兩個假設(shè)，給直接計(jì)算概率帶來了很大的方便。但在事實(shí)上，所討論問題是否符合等可能假設(shè)，一般不是通過實(shí)際驗(yàn)證，而往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗(yàn)”作出的。例如，骰子是正六面形，當(dāng)質(zhì)量均勻分布時(shí)，投擲一次，每面朝上的可能性都相等；裝在袋中的小球，顏色可以不同，只要大小和形狀相同，摸出其中任一個的可能性都相等。因此，等可能假設(shè)不是人為的，而是人們根據(jù)對事物的認(rèn)識一對稱性特征而確認(rèn)的。4923479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.

因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機(jī)會都是1/10234791086152古典概率的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S含有n個樣本點(diǎn)：事件A包含k個樣本點(diǎn)，定義S={e1,e2,…en}52533．古典概率的基本性質(zhì)

設(shè)E是古典概型，其樣本空間為

A，A1，A2，…，An是E中事件,則有

①0≤P（A）≤1②P（S）=1，P（）=0③若A1，A2，…，An是互不相容的事件，則有54二、統(tǒng)計(jì)概率古典概率要求很嚴(yán)格，特別是基本事件等可能，這一點(diǎn)很難做到。重復(fù)擲一顆骰子，會發(fā)現(xiàn)4，5，6出現(xiàn)的次數(shù)要多一些，這是因?yàn)橹匦囊?，2，3面傾斜許多情況下：需要通過大量重復(fù)試驗(yàn)，來考察統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在n次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生了m次，則f=m/n

稱為事件A發(fā)生的頻率。不可能事件的頻率一定為0。必然事件的頻率一定為1。55試驗(yàn)序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性56從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動幅度較大,但隨n

的增大,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f總是在0.5附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機(jī)波動性,即對于同樣的n,所得的頻率f不一定相同;57實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500558統(tǒng)計(jì)概率定義頻率當(dāng)n較小時(shí)波動幅度比較大，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小．它就是事件的概率．

這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計(jì)方法求概率的數(shù)值開拓了道路.出時(shí)，人們常取實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率的估計(jì)值，在實(shí)際中，當(dāng)概率不易求59頻率

穩(wěn)定值

概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義年份新生兒總數(shù)男嬰兒數(shù)女嬰兒數(shù)男嬰頻率女嬰兒頻率197736701883 17870.5131 0.486919784250217720730.51220.487819794055213819170.52730.472719805844295528890.50560.494419816344327130730.51560.484419827231372235090.51470.48536年總計(jì)3139416146152480.51480.4852可以認(rèn)為生男孩的概率近似值為0.515這種概率只能通過統(tǒng)計(jì)得出。如某婦產(chǎn)醫(yī)院幾年間出生嬰兒的性別記錄為：61醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當(dāng)病人被這個消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運(yùn)的.因?yàn)槟阏业搅宋?，我已?jīng)看過九個病人了，他們都死于此病.”

醫(yī)生的說法對嗎？請同學(xué)們思考.62頻率的基本性質(zhì)

（1）對任意事件A，有（2）（3）若A1，A2，…，An是互不相容的，則63三、幾何概率考慮一個點(diǎn)等可能地隨機(jī)落在[0,1]區(qū)間。00.31若問事件C:點(diǎn)落在0.5處的概率。顯然P(C)=0但C不是不可能事件。問事件A：點(diǎn)落在0與0.3之間的概率。P(B)=0.5這種與幾何測量有關(guān)的概率稱為幾何概率。問事件B：點(diǎn)落在0與0.5之間的概率。64解：以X,Y分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是

即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分。所有的點(diǎn)構(gòu)成一個正方形，