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第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律依概率收斂定義及性質(zhì)小結(jié)第五章大數(shù)定律及中心極限定理
大量隨機(jī)試驗(yàn)中大數(shù)定律的客觀(guān)背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)的頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率一、大數(shù)定律定理1(切比雪夫定理的特殊情況)切比雪夫則對(duì)任意的ε>0,有做前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均證由切比雪夫不等式上式中令得說(shuō)明3、這種穩(wěn)定性的含義說(shuō)明算術(shù)平均值是從概率意義上逼近某一常數(shù)。二、依概率收斂定義及性質(zhì)
定義性質(zhì)請(qǐng)注意:問(wèn)題:伯努利
設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A發(fā)生的概率,是事件A發(fā)生的頻率.
設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對(duì)于任意正數(shù)ε>0,有定理2(伯努利大數(shù)定律)或
伯努利證明
證畢注
貝努里大數(shù)定律表明,當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí),事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.或下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律,不要求隨機(jī)變量的方差存在.
設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…相互獨(dú)立,服從同一分布,具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…,則對(duì)于任意正數(shù)ε
,有定理3(辛欽大數(shù)定律)辛欽1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性.
要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量,要收割某些有代表性塊,例如n塊地.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量,則當(dāng)n
較大時(shí),可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).例1
在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球,從罐中有放回地抽取若干次,每次抽一個(gè),并記下號(hào)碼.
設(shè),k=1,2,…問(wèn)對(duì)序列{Xk}能否應(yīng)用大數(shù)定律?即對(duì)任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,
諸Xk
獨(dú)立同分布,且期望存在,故能使用大數(shù)定律.三、小結(jié)
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