新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題10 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用（精講精練）（解析版）

專題10概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用【命題規(guī)律】概率統(tǒng)計(jì)在高考中扮演著很重要的角色，概率統(tǒng)計(jì)解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，考查熱點(diǎn)為古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的實(shí)際應(yīng)用等．回顧近幾年的高考試題，可以看出概率統(tǒng)計(jì)解答題，大多緊密結(jié)合社會(huì)實(shí)際，以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題，注重知識(shí)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用，作為考查實(shí)踐能力的重要載體，命題者要求考生會(huì)收集，整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息，建立數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望核心考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布核心考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題核心考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用核心考點(diǎn)五：正態(tài)分布核心考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表核心考點(diǎn)七：回歸分析核心考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn)核心考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題核心考點(diǎn)十：決策型問(wèn)題核心考點(diǎn)十一：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式【真題回歸】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【解析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為SKIPIF1<0，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）依題可知，SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00102030SKIPIF1<00.160.440.340.06期望SKIPIF1<0.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為SKIPIF1<0，該地區(qū)年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘腟KIPIF1<0.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【解析】（1）平均年齡SKIPIF1<0

SKIPIF1<0（歲）．（2）設(shè)SKIPIF1<0{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間SKIPIF1<0}，所以SKIPIF1<0．（3）設(shè)SKIPIF1<0“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，SKIPIF1<0“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：SKIPIF1<0,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0，此人患這種疾病的概率為SKIPIF1<0．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<00.1000.0500.010SKIPIF1<02.7063.8416.635【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則SKIPIF1<0；B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則SKIPIF1<0.A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為SKIPIF1<0；B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為SKIPIF1<0.（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，根據(jù)臨界值表可知，有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：SKIPIF1<0）和材積量（單位：SKIPIF1<0），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積SKIPIF1<00.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量SKIPIF1<00.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得SKIPIF1<0．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為SKIPIF1<0．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0．【解析】（1）樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值SKIPIF1<0樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值SKIPIF1<0據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為SKIPIF1<0，平均一棵的材積量為SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（3）設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為SKIPIF1<0，又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0．則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為SKIPIF1<05．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到SKIPIF1<0以上（含SKIPIF1<0）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴X的分布列為X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為SKIPIF1<0，甲獲得9.80的概率為SKIPIF1<0，乙獲得9.78的概率為SKIPIF1<0.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：SKIPIF1<0；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出SKIPIF1<0的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附SKIPIF1<0，SKIPIF1<00.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，(ii)由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】（一）涉及的概率知識(shí)層面主要考查隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件還是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，以便選擇正確的計(jì)算方法，進(jìn)行概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，也要掌握幾種常見(jiàn)?？嫉母怕史植寄Ｐ停弘x散型有二項(xiàng)分布、超幾何分布，連續(xù)型有正態(tài)分布．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量SKIPIF1<0與其均值SKIPIF1<0的偏離程度，其算術(shù)平方根SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差．（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)=1\*GB3①SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0．（2）均值與方差的性質(zhì)若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量，且SKIPIF1<0（3）分布列的求法=1\*GB3①與排列、組合有關(guān)分布列的求法．由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列．=2\*GB3②與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列．=3\*GB3③與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．=4\*GB3④與獨(dú)立事件（或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列．（4）常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型=1\*GB3①二項(xiàng)分布；=2\*GB3②超兒何分布．2、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布模型正態(tài)分布．（二）概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力1、與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題2、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題4、與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題5、與其他背景結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望【規(guī)律方法】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）【典型例題】例1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)各有3名選手參加對(duì)抗賽．比賽規(guī)定：甲隊(duì)的1，2，3號(hào)選手與乙隊(duì)的1，2，3號(hào)選手按編號(hào)順序各比賽一場(chǎng)，某隊(duì)連贏3場(chǎng)，則獲勝，否則由甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的2號(hào)，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1號(hào)加賽兩場(chǎng)，勝場(chǎng)多者最后獲勝（每場(chǎng)比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果）．已知甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1，2號(hào)選手的勝率分別是0．5，0．6，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1，2號(hào)選手的勝率都是0．5，甲隊(duì)的3號(hào)對(duì)乙隊(duì)的3號(hào)選手的勝率也是0．5，假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲隊(duì)僅比賽3場(chǎng)獲勝的概率；（2）已知每場(chǎng)比賽勝者可獲得200個(gè)積分，求甲隊(duì)隊(duì)員獲得的積分?jǐn)?shù)之和SKIPIF1<0的分布列及期望．【解析】（1）甲隊(duì)1，2，3號(hào)選手與乙隊(duì)1，2，3號(hào)選手比賽獲勝的概率分別為SKIPIF1<0，，甲隊(duì)比賽3場(chǎng)獲勝的概率為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（2）X所以可能取得值為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．即X0200400600800P0．1250．0750．26250．4250．1125所以SKIPIF1<0．例2．（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）我校舉辦“學(xué)黨史”知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，每位教師3次測(cè)試機(jī)會(huì)，規(guī)定按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則3次測(cè)試都要參加．甲教師3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)SKIPIF1<0，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為SKIPIF1<0，乙教師3次測(cè)試每次測(cè)試合格的概率均為SKIPIF1<0，每位教師參加的每次測(cè)試是否合格相互獨(dú)立．（1）求甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率P；（2）設(shè)甲教師參加測(cè)試的次數(shù)為m，乙教師參加測(cè)試的次數(shù)為n，求SKIPIF1<0的分布列．【解析】（1）由甲教師3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，又甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率為P，故而甲教師參加第二、三次測(cè)試合格的概率分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率為SKIPIF1<0．（2）由（1）知甲教師參加第二、三次測(cè)試合格的概率分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0的可能取值為2，3，4，5，6，由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<023456PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3．（2022春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）受新冠肺炎疫情的影響，某商場(chǎng)的銷售額受到了不同程度的沖擊，為刺激消費(fèi)，該商場(chǎng)開(kāi)展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿300元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球，其中：紅色小球1個(gè)，白色小球3個(gè)，黃色小球6個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出3個(gè)球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng)．將顧客摸出的3個(gè)球的顏色分成以下四種情況：A：1個(gè)紅球2個(gè)白球；B：3個(gè)白球；C：恰有1個(gè)黃球；D：至少兩個(gè)黃球，若四種情況按發(fā)生的機(jī)會(huì)從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng)．（1）寫(xiě)出顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率；（2）已知顧客摸出的第一個(gè)球是白球，求該顧客獲得二等獎(jiǎng)的概率；（3）若五名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立．記中獎(jiǎng)的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望．【解析】（1）由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以中一等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0，二等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0，三等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0（2）記事件SKIPIF1<0為顧客摸出的第一個(gè)球是白球，事件SKIPIF1<0為顧客獲得二等獎(jiǎng)，則SKIPIF1<0．（3）由（1）知一名顧客中獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0．由題意可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則分布列為SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0核心考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布【規(guī)律方法】超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)解決．一般地，在含有SKIPIF1<0件產(chǎn)品的SKIPIF1<0件產(chǎn)品中，任取SKIPIF1<0件，其中恰有SKIPIF1<0件次品，則事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，稱為超幾何分布列．一般地，在SKIPIF1<0次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．此時(shí)稱隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布，記作SKIPIF1<0，并稱SKIPIF1<0為成功概率．此時(shí)有SKIPIF1<0．【典型例題】例4．（2022春·北京·高三北京鐵路二中?？茧A段練習(xí)）2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥(niǎo)巢落下帷幕，中國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī)．北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來(lái)越多的青少年愛(ài)上了冰雪運(yùn)動(dòng)，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成如下頻率分布表：競(jìng)賽得分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻率0．10．10．30．30．2（1）如果規(guī)定競(jìng)賽得分在SKIPIF1<0為“良好”，競(jìng)賽得分在SKIPIF1<0為“優(yōu)秀”，從成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生，問(wèn)各抽取多少人？（2）在（1）條件下，再?gòu)倪@10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；（3）以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）因?yàn)槌煽?jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計(jì)SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0人，抽樣比為SKIPIF1<0，所以成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡某槿KIPIF1<0人，成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取SKIPIF1<0人．（2）抽取的6人中至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類：3個(gè)優(yōu)3個(gè)良和4個(gè)優(yōu)2個(gè)良，故至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率SKIPIF1<0．（3）由題意知，SKIPIF1<0的可能取值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題可知，任意1名學(xué)生競(jìng)賽得分“優(yōu)秀”的概率為SKIPIF1<0，競(jìng)賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為SKIPIF1<0．若以頻率估計(jì)概率，則SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．例5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以SKIPIF1<0的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，…，7的球槽內(nèi)．（1）如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)球槽的概率；（2）某商場(chǎng)店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客只要在商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)每滿800元就能得到一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如消費(fèi)400元沒(méi)有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)900元有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)1700元有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)等，一次抽獎(jiǎng)小球掉入SKIPIF1<0號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0（元），其中SKIPIF1<0．（?。┣笠淮纬楠?jiǎng)的獎(jiǎng)金SKIPIF1<0（元）的分布列及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；（ⅱ）已知某顧客在商場(chǎng)消費(fèi)2000元，設(shè)他所得的獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0（元），求SKIPIF1<0．【解析】（1）記事件A：小球落入6號(hào)球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．所以SKIPIF1<0．（2）（i）記隨機(jī)變量M：小球掉入SKIPIF1<0號(hào)球槽，則M的可能取值為：1，2，3，4，5，6，7．由題意可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；所以M的分布列為：M1234567PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以X的可能取值為：0，40，80，120．其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金SKIPIF1<0（元）的分布列為：X04080120PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0．（ii）某顧客在商場(chǎng)消費(fèi)2000元，可以抽獎(jiǎng)2次，所以他所得的獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例6．（2022春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng)．為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖．（1）從小區(qū)超市某天購(gòu)買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶．若抽取的5戶中購(gòu)買量在SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）的戶數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望；（2）將某戶某天購(gòu)買甲類生活物資的量與平均購(gòu)買量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買量不少于SKIPIF1<0時(shí)，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值．【解析】（1）隨機(jī)變量SKIPIF1<0所有可能的取值為0，1，2．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知，每天對(duì)甲類生活物資的需求平均值為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）則購(gòu)買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購(gòu)買量為SKIPIF1<0，從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為SKIPIF1<0．若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，則SKIPIF1<0，若k戶的可能性最大，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題【規(guī)律方法】在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一，概率作為高中數(shù)學(xué)具有實(shí)際應(yīng)用背景的主要內(nèi)容，除與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯．求解此類問(wèn)題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．這類題型具體來(lái)說(shuō)有兩大類：1、所給問(wèn)題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識(shí)為載體的概率問(wèn)題．求解時(shí)需要利用相關(guān)知識(shí)把所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識(shí)求解．2、所給問(wèn)題是概率問(wèn)題，求解時(shí)有時(shí)需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解；或者把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式，再通過(guò)構(gòu)造特殊數(shù)列求通項(xiàng)或求和．【典型例題】例7．（2022春·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┩稊S一枚均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或6時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)為2，3，4，5時(shí)得1分；獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分；（1）設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機(jī)變量X的分布與期望；（2）設(shè)最終得分為n的概率為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【解析】（1）SKIPIF1<0的可能取值為2，3，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．（2）由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上式也成立，綜上：SKIPIF1<0．例8．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從單位正方體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過(guò)一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，設(shè)該螞蟻經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步回到點(diǎn)SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0．（I）分別寫(xiě)出SKIPIF1<0的值；（II）設(shè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（III）求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0．（2）由于頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的概率也是SKIPIF1<0，并且由SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步不可能到SKIPIF1<0這四個(gè)點(diǎn)，所以當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0．（3）同理，由SKIPIF1<0分別經(jīng)SKIPIF1<0步到點(diǎn)SKIPIF1<0的概率都是SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0再回到SKIPIF1<0的路徑分為以下四類：①由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0，再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0，概率為SKIPIF1<0；②由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0，再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0，概率為SKIPIF1<0；③由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0，再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0，概率為SKIPIF1<0；④由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0，再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0，概率為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0．例9．（2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品SKIPIF1<0分為兩類不同劑型SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合格的概率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合格的概率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．已知兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品SKIPIF1<0才算合格．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類試劑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合格的種類數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品SKIPIF1<0進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為SKIPIF1<0且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為SKIPIF1<0，若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）劑型SKIPIF1<0合格的概率為：SKIPIF1<0；劑型SKIPIF1<0合格的概率為：SKIPIF1<0．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則X的分布列為X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．（2）檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為SKIPIF1<0，檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，原函數(shù)可化為SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用【規(guī)律方法】數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實(shí)際生活中，越來(lái)越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差來(lái)對(duì)事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個(gè)方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（1）若我們希望實(shí)際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的期望，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，還需要用SKIPIF1<0來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要來(lái)判斷．【典型例題】例10．（2022春·河南·高三期末）根據(jù)疫情防控的需要，某地設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉(cāng)，集中開(kāi)展核酸檢測(cè)和預(yù)防性消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称肥欠窀腥静《荆谌腙P(guān)檢疫時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒(méi)有該病毒．對(duì)于SKIPIF1<0份樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這k份全為陰性，檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份究竟哪些為陽(yáng)性，需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則k份檢驗(yàn)的次數(shù)共為SKIPIF1<0次，若每份樣本沒(méi)有病毒的概率為SKIPIF1<0，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的．（1）若取得8份樣本，采用逐個(gè)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)恰有2個(gè)樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)SKIPIF1<0；（2）若對(duì)取得的8份樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案：方案一：采用混合檢驗(yàn)；方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p的取值范圍（精確到0．01）．【解析】（1）根據(jù)題意可知，每份樣本檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率為SKIPIF1<0，則陽(yáng)性概率為SKIPIF1<0；則8份樣本，采用逐個(gè)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)恰有2個(gè)樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最大值，即SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)SKIPIF1<0．（2）若采用方案一，則需要檢驗(yàn)的次數(shù)為8次，即檢驗(yàn)次數(shù)的期望值SKIPIF1<0；若采用方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗(yàn)，則每組檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率為SKIPIF1<0，則為陽(yáng)性的概率為SKIPIF1<0；所以檢驗(yàn)次數(shù)SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0；當(dāng)兩組檢測(cè)結(jié)果全為陰性時(shí)，檢驗(yàn)次數(shù)為2次，則SKIPIF1<0；當(dāng)兩組檢測(cè)結(jié)果一組為陰性，另一組為陽(yáng)性時(shí)，檢測(cè)次數(shù)為6次，則SKIPIF1<0；當(dāng)兩組檢測(cè)結(jié)果全為陽(yáng)性時(shí)，檢驗(yàn)次數(shù)為10次，則SKIPIF1<0；此時(shí)，方案二的檢驗(yàn)次數(shù)的期望值SKIPIF1<0；若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即p的取值范圍為SKIPIF1<0例11．（2022春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹(shù)，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)SKIPIF1<0為離散型隨機(jī)變量，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為任意大于0的實(shí)數(shù)．切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量SKIPIF1<0的分布未知的情況下，對(duì)事件SKIPIF1<0的概率作出估計(jì)．（1）證明離散型切比雪夫不等式；（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問(wèn)題：已知正整數(shù)SKIPIF1<0．在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有SKIPIF1<0個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為SKIPIF1<0，編號(hào)為SKIPIF1<0的箱子中裝有編號(hào)為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球．主持人邀請(qǐng)SKIPIF1<0位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為SKIPIF1<0的箱子中抽取的小球號(hào)碼為SKIPIF1<0，并記SKIPIF1<0．對(duì)任意的SKIPIF1<0，是否總能保證SKIPIF1<0（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論．附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）不能保證SKIPIF1<0，證明見(jiàn)解析【分析】通過(guò)方差的計(jì)算公式，結(jié)合SKIPIF1<0變形即可證明．結(jié)合所給公式，再SKIPIF1<0變形式子來(lái)解出SKIPIF1<0，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾．（1）設(shè)SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）（2）由參考公式，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，用到SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此，不能保證SKIPIF1<0．例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一臺(tái)機(jī)器設(shè)備由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩個(gè)要件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，SKIPIF1<0發(fā)生故障的概率分別記作SKIPIF1<0，假設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互獨(dú)立．設(shè)SKIPIF1<0表示一次運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中需要維修的要件的數(shù)目，若SKIPIF1<0．（1）求出SKIPIF1<0；（2）依據(jù)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0需要維修的數(shù)目，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0需要維修的數(shù)目，寫(xiě)出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系式，并依據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的性質(zhì)，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012SKIPIF1<00．720．260．02所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）由題意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0均服從兩點(diǎn)分布，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0相互獨(dú)立，所以SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)五：正態(tài)分布【規(guī)律方法】解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)稱軸SKIPIF1<0標(biāo)準(zhǔn)差SKIPIF1<0分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由SKIPIF1<0，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸為SKIPIF1<0．【典型例題】例13．（2022春·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)在一次考試后，對(duì)本年級(jí)學(xué)生物理成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績(jī)（均在50~100分之間），將抽取的成績(jī)分組為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這300名同學(xué)物理平均成績(jī)SKIPIF1<0與第三四分位數(shù)的估計(jì)值；（結(jié)果精確到1）（2）已知全年級(jí)同學(xué)的物理成績(jī)服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0?。?）中的SKIPIF1<0，經(jīng)計(jì)算，SKIPIF1<0=11，現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績(jī)，求該成績(jī)?cè)趨^(qū)間SKIPIF1<0的概率（結(jié)果精確到0．1）；（3）根據(jù)（2）的條件，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取n名同學(xué)的物理成績(jī)，若他們的成績(jī)都在SKIPIF1<0的概率不低于1%，求n的最大值（n為整數(shù)）．附：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，則這300名同學(xué)物理平均成績(jī)SKIPIF1<0與第三四分位數(shù)的估計(jì)值分別為73，79（2）SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為20．例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書(shū)館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0．1．（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的期望和方差；（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)SKIPIF1<0比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的概率值．例如當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由于SKIPIF1<0，則先在表的最左列找到數(shù)字0．1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0．06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0．5636便是SKIPIF1<0的值．SKIPIF1<00．000．010．020．030．040．050．060．070．080．090．00．50000．50400．50800．51200．51600．51990．52390．52790．53190．53590．10．53980．54380．54780．55170．55570．55960．56360．56750．57140．57530．20．57930．58320．58710．59100．59480．59870．60260．60640．61030．61410．30．61790．62170．62550．62930．63310．63680．64040．64430．64800．65170．40．65540．65910．66280．66640．67000．67360．67720．6808，0．68440．68790．50．69150．69500．69850．70190．70540．70880．71230．7157'0．71900．7224①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0．7，則至少需要添加多少個(gè)座位？【解析】（1）由題意可得，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（2）①由于（1）中二項(xiàng)分布的n值增大，故可以認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，由（1）可得，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率為SKIPIF1<0；②查表可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故座位數(shù)至少要1016個(gè)，SKIPIF1<0，故閱覽室座位至少需要添加22個(gè)．例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來(lái)，憑借簡(jiǎn)潔的界面設(shè)計(jì)?方便的操作方式和實(shí)用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛(ài)．為回饋市場(chǎng)并擴(kuò)大用戶量，該APP在2022年以競(jìng)價(jià)形式做出優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過(guò)官網(wǎng)提交自己的報(bào)價(jià)（報(bào)價(jià)低于原價(jià)），但在報(bào)價(jià)時(shí)間截止之前無(wú)法得知其他人的報(bào)價(jià)和當(dāng)月參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價(jià)從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價(jià)即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，出價(jià)不低于優(yōu)惠價(jià)的人將獲得數(shù)額為原價(jià)減去優(yōu)惠價(jià)的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月下載該APP時(shí)使用．小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動(dòng)，為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià)，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計(jì)了今年2到6月參與活動(dòng)的人數(shù)，如下表所示：時(shí)間t（月）23456參與活動(dòng)的人數(shù)y（萬(wàn)人）0．50．611．41．7（1）若可用線性回歸模型擬合參與活動(dòng)的人數(shù)y（單位：萬(wàn)人）與時(shí)間t（單位：月）之間的關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的回歸方程SKIPIF1<0，并預(yù)測(cè)今年7月參與活動(dòng)的人數(shù)；（2）某自媒體對(duì)200位擬參加今年7月份活動(dòng)的人進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：報(bào)價(jià)X（單位：元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)206060302010①求這200人的報(bào)價(jià)X（單位：元）的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；②假設(shè)所有參與活動(dòng)的人的報(bào)價(jià)X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可分別由①中所求的樣本平均數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0估計(jì)，若2022年7月計(jì)劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，并說(shuō)明理由．參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以回歸直線方