高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步單元測試 2023版第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對(duì)]①球②斜二測畫法③公理3④平行⑤相交⑥[0°，90°]⑦[0°，180°]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空間幾何體的體積及表面積幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應(yīng)用，注意分割與組合的合理應(yīng)用；關(guān)注展開與折疊問題．如圖1－1，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．圖1－1(1)證明MN∥平面PAB；(2)求四面體N－BCM的體積．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明，即通過線線平行證明線面平行；(2)先求出點(diǎn)N到平面BCM的距離及△BCM的面積，然后代入錐體的體積公式求解．【規(guī)范解答】(1)證明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PA.如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).[再練一題]1．如圖1－2，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.圖1－2(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A－MBC的體積．【解】(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱錐C－ABM的高h(yuǎn)＝CD＝1，因此三棱錐A－MBC的體積VA－MBC＝VC－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).(2)法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如圖，過點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N，則MN⊥平面BCD，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)，又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝eq\f(1,2)，∴三棱錐A－MBC的體積VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD＝eq\f(1,3)AB·S△BCD－eq\f(1,3)MN·S△BCD＝eq\f(1,12).直線、平面平行的判定和性質(zhì)1.判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?α∥β)．2．證明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定義；(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．如圖1－3，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1圖1－3求證：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【精彩點(diǎn)撥】(1)取B1D1的中點(diǎn)O，證明四邊形BEGO是平行四邊形．(2)證B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.【規(guī)范解答】(1)取B1D1的中點(diǎn)O，連結(jié)GO，OB，易證OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE.∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連結(jié)HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.[再練一題]2.如圖1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝圖1－4求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【證明】(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC.又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.直線、平面垂直的判定和性質(zhì)空間垂直關(guān)系的判定方法：(1)判定線線垂直的方法①計(jì)算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2)判定線面垂直的方法①線面垂直的定義(一般不易驗(yàn)證任意性)；②線面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α)；③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．如圖1－5所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．圖1－5求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩點(diǎn)撥】取EC中點(diǎn)F，CA中點(diǎn)N，連結(jié)DF，MN，BN.(1)證△DFE≌△ABD，(2)證BN⊥ECA，(3)證DM⊥平面ECA.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.(2)取CA的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN，則MN綊eq\f(1,2)EC，∴MN∥BD，即N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD內(nèi)，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.[再練一題]3．如圖1－6，四棱錐P－ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：41292056】圖1－6【解】(1)如圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OM.因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．又M為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA.因?yàn)镺M?平面MBD，AP?平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.因?yàn)锳D⊥PB，PD∩PB＝P，PD?平面PBD，PB?平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因?yàn)锽D?平面PBD，所以AD⊥BD.因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD.又因?yàn)锽D⊥AD，AD∩PD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以BD⊥平面PAD.平面圖形的翻折問題空間幾何中的翻折問題是幾何證明，求值問題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中經(jīng)?？疾椋?1)解決與翻折有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側(cè)的線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．(2)在解決問題時(shí)，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形．如圖1－7，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P－ABCD.圖1－7(1)G為線段BC上任一點(diǎn)，求證：平面EFG⊥平面PAD；(2)當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP∥平面EFG.【精彩點(diǎn)撥】(1)轉(zhuǎn)化為證EF⊥平面PAD；(2)轉(zhuǎn)化為證平面PAB∥平面EFG.【規(guī)范解答】(1)在直角梯形ABCP中．∵BC∥AP，BC＝eq\f(1,2)AP，D為AP的中點(diǎn)，∴BC綊AD，又AB⊥AP，AB＝BC.∴四邊形ABCD為正方形．∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱錐P－ABCD中，∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD?平面PAD，AD?平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一∵G，F(xiàn)分別為BC和PC的中點(diǎn)，∴GF∥BP，∵GF?平面PAB，BP?平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA?平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二取AD中點(diǎn)H(略)，連結(jié)GH，HE.由(1)知四邊形ABCD為平行四邊形．又G，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面．∵E，H分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴EH∥PA.∵PA?平面EFGH，EH?平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.[再練一題]4．如圖1－8(1)所示，在直角梯形ABEF中(圖中數(shù)字表示線段的長度)，將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，連結(jié)部分線段后圍成一個(gè)空間幾何體，如圖1－8(2)所示．(1)(2)圖1－8(1)求證：BE∥平面ADF；(2)求三棱錐F－BCE的體積．【解】(1)證明：法一取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，EG，∵CE＝eq\f(1,2)DF，∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB，∴四邊形ABEG為平行四邊形，∴BE∥AG.∵BE?平面ADF，AG?平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二由圖(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關(guān)系不變．∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE?平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE?平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一∵VF－BCE＝VB－CEF，由圖(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由圖(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝eq\f(1,2)CE×DC＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝VB－CEF＝eq\f(1,3)×BC×S△CEF＝eq\f(1,6).法二由圖(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，點(diǎn)F到平面BCE的距離等于點(diǎn)D到平面BCE的距離為1，由圖(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝eq\f(1,2)BC×CE＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝eq\f(1,3)×CD×S△BCE＝eq\f(1,6).法三過E作EH⊥FC，垂足為H，如圖所示，由圖(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH?平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，F(xiàn)C＝eq\r(DC2＋DF2)＝eq\r(5)，S△BCF＝eq\f(1,2)BC×CF＝eq\f(\r(5),2)，在△CEF中，由等面積法可得EH＝eq\f(1,\r(5))，∴VF－BCE＝VE－BCF＝eq\f(1,3)×EH×S△BCF＝eq\f(1,6).1．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：41292057】【解析】如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面積為定值，∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO－ABC最大，∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO－ABC最大為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.【答案】144π2．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是________．①若α，β垂直于同一平面，則α與β平行；②若m，n平行于同一平面，則m與n平行；③若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線；④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．【解析】①α，β可能相交，故錯(cuò)誤；②直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；③若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤；④假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故④正確．【答案】④3．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖1－9所示．(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)證明：直線DF⊥平面BEG.圖1－9【解】(1)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示．(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下：因?yàn)锳BCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形．所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)證明：連接FH，與EG交于點(diǎn)O，連接BD.因?yàn)锳BCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH.因?yàn)镋G?平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.4.如圖1－10，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E－ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．圖1－10【解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E－ACD的體積V三棱錐E－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐E－ACD的側(cè)面積為3＋2eq\r(5).5.如圖1－11，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．圖1－11(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V－ABC的體積．【解】(1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥VB.又因?yàn)閂B?/平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)槠矫鎂AB⊥