2020年高考數(shù)學真題試題(天津卷)(Word版答案解析)

2020高數(shù)真試（津）一、選題：在每小給出的個選項中，有一項符合題目要的共9題；共45分）設集{，合

，則

（）A.B.設，則“”是

”的（）

A.充不必要條件充條件

B.必不充分條件既充分也不必要條件函

??

4??

的圖象大致為（）A.從批零件中抽取80個測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組,，整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內的個數(shù)為（）A.10B.18C.20D.36若長為

的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.

B.

144

122222??2,∞∞B.(0,22122222??2,∞∞B.(0,22222和設

,

,0.8

，則??的大小關系為（）A.

B.

設曲線的程為

????2

22

0,??0)，過拋物線??2

??的點和點(0,的直線為l．C的一條漸近線與平，另一漸近線與l垂，則雙曲線的程為（）A.

??

??

1

B.

??

??

1

??

??2

1

??

??2

1已函數(shù)??(??)??．給出下列結論：①??)的小正周期為2??；

??2

是??(??)的最大值③把數(shù)????的圖象上所有點向左平移

??

個單位長度，可得到函數(shù)????)的圖象．其中所有正確結論的序號是（）A.①B.①C.②③D.??,???已函數(shù)??(??)??,??0.

若函數(shù)

??)??)|22??|(

恰有個點，則k的取值范圍是（）A.

∞

122

∞2)

∞,0)2,二、填題：本大題6小題每小題5分，共30分．試題中包兩個的，答1個的給3分，全部答對給分，（共題；共分）10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)

8????

________．11.在(??

22

5

的展開式中，??的數(shù)________．12.已知直線????8為．

和圓????0)相交于??,??兩．若，的13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為

112

．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率_；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率________．14.已知

0

，且1，

12

12

8

的最小值為．15.如圖，在四邊形中

∠,

，??，且

,

2

，則實數(shù)的為，??,是段上的動點，且|則________．

的最小值為

??????????+2??+1????三、解題：本大題5小題共75分，解答寫出文說明，證??????????+2??+1????16.在中角??,??所的邊分別為??,．知????（）角C的小；（）的；

．（）

??4

的值．17.如圖，在三棱柱

中，??

平??，，

分別在棱和??上且

為棱

的中點．（）求證：；（）二面角

的弦值；（）直線??與平面

所角的正弦值．18.已知橢圓

??

22

??

22

的個頂點為，焦點為F，且|，中為原點．（）橢圓的方程；（）知點滿足

，點在圓上（異橢圓的點），直線??與C為心的圓相切于點，且P為線段??的中點．求直線的程．19.已知

為差數(shù)列，{為比數(shù)列，．??44（）

和的通項公式；??（）

的前??項為??

，求證：??；（）任意的正整數(shù)??，??

????,,????+2??,偶.??+1

求數(shù)列

的前2n項．20.已知函數(shù)??)??

??(，

(??)

為??(??)的導函數(shù)．（）時（）求曲線????)在(1,處切線方程；

12′′1212′′121212（）函數(shù)??(

的單調區(qū)間和極值；（）時求證：任意的

,)

，且1

，有

2

)

．

答案解析部分一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.【案】【考點】交集及其運算，補集及其運算【解析】【解答】由題意結合補集的定義可知：?

，則??(.故答案為：【分析】首先進行補集運算，然后進行交集運算即可求得集合的運算結.【案】【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次不等式的解法【解析】【解答】求解二次不等式

可：??或，據(jù)此可知：是

的充分不必要條.故答案為：【分析】首先求解二次不等式，然后結合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即【案】【考點】函數(shù)奇偶性的性質【解析】【解答】由函數(shù)的解析式可得：

2

，則函數(shù)為函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱，CD不合意；當??時

4

，不符合題.故答案為：【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確函數(shù)的圖象【案】【考點】頻率分布直方圖，用樣本的頻率分布估計總體分布【解析】【解答】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)之間的零件頻率為：，則區(qū)間[5.43,5.47)內零件的個數(shù)為：.故答案為：【分析】根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之的零件頻率，然后結合樣本總數(shù)計算其個數(shù)即.【案】【考點】球的體積和表面積【解析】【解答】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，即

√

2

2

2

，所以，這個球的表面積為??

4??×3

.故答案為：

，所以，，得??，??，所以周期????【分析】求出正方體的體對角線的一半，，所以，，得??，??，所以周期????【考點】指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點，對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點【解析】【解答】因為

，

，0.8，所以??.故答案為：【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，即可得出??,的大小關系【案】【考點】雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質，【解析】【解答】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線??的程為??為??

??

，即直線的斜率又雙曲線的漸近線的方程為??

，因為0,??，解得．故答案為：．【分析】由拋物線的焦點可求得直線的程為

??

，即得直線的斜率為b，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為??

即可求出??,，得到雙曲線的方程．【案】【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)y=Asin（）圖象變換，三角函數(shù)的最值【解析】【解答】因為??

??????

2??

，故正；??????5??，不正確；2262個單位長度，得到????的象，將函數(shù)??=??的圖象上所有點向左平移故正.故答案為：【分析】對所給選項結合正弦型函數(shù)的性質逐一判斷即.【案】【考點】函數(shù)的圖象，根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點與方程根的關系【解析【解答】注意到0，所以要使??(恰有4個點，只需方程|實根即可，

恰有3個

??(??(令?

??(

，即與?

??(

的圖象有個不同交.因為?

??(

,

，當??時，此時??，圖，與

?

??(

有2個不同交點，不滿足題意；當??時，如圖2，時|與

?恒個同交點滿足題意；當??時，如圖3，與相切時，聯(lián)立方程得

，令得

，解得

（負值舍去），所以

..綜上，的取值范圍為∞故答案為：【分析】由，合已知，將問題轉化為與

?

??(

有3個同交點，分三種情況，數(shù)形結合討論即可得到答.

)2???(??的展開式的通項公式為??5????5??????221512,；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分共30分試題中包含兩個)2???(??的展開式的通項公式為??5????5??????221512,；10.【答案】3-2i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】

8????)(2??)1510??2????)(2??)

2??

.故答案為：【分析】將分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，然后利用運算化簡可得結.11.【答案】10【考點】二項式定理【解析】【解答】因為

22??1550,1,2,3,4,5)，令??2，解得??1．所以??

2

的系數(shù)為

210．故答案為：．【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為，即可求出．12.【答案】【考點】點到直線的距離公式【解析】【解答】因為圓心到直線8

的距離

813

，由|2??

2可2

2，解得??5．故答案為：．【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離d，而利用弦長公式2??2，即可求得??．13.【答案】；【考點】相互獨立事件的概率乘法公式【解析】【解答】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為且兩球是否落入盒子互不影響，

112

，所以甲、乙都落入盒子的概率為

1112

，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為

1112

，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為

2

.故答案為：

12

.【分析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率關系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求球都不落入盒子的概率，進而求出至少一球落入盒子的概.

2√,2√,55；【考點】基本不等式【解析】【解答】∵∴，,

22

2

82

8

，且僅當=4時等號，結合??,解得2+√故答案為：

，或2???√

時，等號成立.【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為

2

8

，利用基本不等式即可求.15.【答案】；62【考點二函數(shù)的性質，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，平向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】∵

，

，∠

，???63(，22

解得??，6以點B為標原點，所在直線為x軸建立如下圖所的平面直角坐標系，6，??(6,0)

,

∠，的坐標為??(

22

,又

6

,則,22

，設??(，（其中5）,，,)222

，)2212，22222所以，當2時，故答案為：.62

取得最小值

2

.

22√2【分析】可得22√2

，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點B為標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設點??(，則點其中得

關于??的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本質求得

的最小值.三、解答題：本大題共5小題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步.16.【答案】解：（）中由√??

及余弦定理得

2

，；又因為，以4（）中，由??，??4；

及正弦定理，可得

??2

（）知角為角，由，可得

，進而

,

，所以+44

1726

.【考點】兩角和與差的正弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】）接利用余弦定理運算即可；）由）正弦定理即可得到答案；）先計算出進一步求出，利用兩角和的正弦公式計算即.17.【答案】解：依題意，以??為點，分別以、、建立空間直角坐標系（如圖），

的方向為x軸、軸、軸的正方向可得、、、??

、、、、、.（）題意，，

，從而，所以；（）題意，是面

的個法向量，，

．設為面

的向量，

1111111111222222262,，,?則{，即1111111111222222262,，,?

，不妨設1，可得?1,2)．

,

6

6

，1

√306

．所以，二面角（）題意，

的弦值為．

306

；由（）知(1,?1,2)為平面

的一個法向量，于是

,

3

．所以，直線與平面

所角的正弦值為

33

.【考點向語言表述線線的垂直、平行關系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求面間的夾角【解析】【分析】以??為點，分別以1

的方向為x軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系.（）算出向量11

的坐標，得出即可證明出；（）1可知平面

的個法向量為

，計算出平面??

的一個法向量為，用空間向量法計算出二面角

的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關系可求解結；）用空間向量法可求得直線與面

所角的正弦值18.【答案】解：（）橢

??

??>??的一個頂點為，22??，由||，得??，又由??

??

，得??

=3

，所以，橢圓的方程為

18

；（）∵直??與C為心的圓相切于點P，以，根據(jù)題意可知，直線和線的斜率均存在，設直線的率為k，直線的程為??，??，318

，消去，可得??

1)

12??，得或

.將??

12??

代入3，得?

12??

?3，所以，點的坐標為

2

，因為P為線段??的點，點的標為，所以點的坐標為(

2+1由3得點的坐標為，

22??1??15????12????2??11????22????2??1????22??2??1??=1222??2??=1441??2??=12????=1??22??1??15????12????2??11????22????2??1????22??2??1??=1222??2??=1441??2??=12????=1??所以，直線的率為

321621

01

2

2

36??1

，又因為，所以?

2

2

36??1

1

，整理得2

2

310，得

12

或1.所以，直線的方程為??

12

3或3.【考點】橢圓的定義，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】）據(jù)題意，并借助

2

2

2

，即可求出橢圓的方程；）用直線與圓相切，得到，設出直線??的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點坐標，進而求出P點標，再根據(jù)，求出直線的斜率，從而得解.19.【答案】解：)設差數(shù)列{

的公差為，等比數(shù)列的公比為??由??

1，5(54

，得d=1.3從而{

的通項公式為??.??由??

，3又q≠0可得

2

40，得q=2，從而{

的通項公式為2??1??

.()證：()可

??(??1)2

，故????(??1)(????，4

??1)24

??2)2

，從而??

2??1

12

??1)(??2)，所以??

.()當n為數(shù)時，??

(32)????2

??

(3??2)2??(??2)

??1

??1??2

??1??

，當n為偶數(shù)時，

??

??1??1

??1??

，對任意的正整數(shù)，有

????=1

22??22??12??1

2??2??1

1，和

????=1

2??1??

1342

53

2??3??1

2??1??

①由得

14

????=1

2

12

3534

2??3??

2??1??1

②由②

34

????=12

1222??142????1

24

(11

1??14

12??14??1

，由于

24

(11

1??14

14

2??1??1

221133??4

2??1??

4

56??5123×4??1

，從而得：

56??59×4

??

.因此，

????=1

2??1

????=1

2

46??542??1??

.

????6??54??????2???1??12????1??122(??ln1332212????6??54??????2???1??12????1??122(??ln13322121′1212所以，數(shù)列

的前2n項為

42??1

.??【考點】等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的求和【解析析)由意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結果；()利用)的論首先求得數(shù)列{

前n項和，然后利用作差法證即可)類討論為數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進一步計算數(shù)列{

的前2n項即可答案】解)(i)當時??(

3

6ln，′3

2

6

.可??(1)1，(1)，所以曲線在??(1))處的切線方程為1，.依意，′3從而可得

32