高中數(shù)學(xué)人教A版5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法

人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課題1數(shù)學(xué)歸納法（1）朱修龍教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能①理解數(shù)學(xué)歸納法的概念；②掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。2.過(guò)程與方法經(jīng)歷與感受數(shù)學(xué)歸納法原理發(fā)現(xiàn)和提出的過(guò)程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的化無(wú)限問(wèn)題為有限問(wèn)題的思路與方法3.情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)視野，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法使有限和無(wú)限間實(shí)現(xiàn)了平衡的科學(xué)意義。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn):了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．難點(diǎn):運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系教學(xué)過(guò)程【課前預(yù)習(xí)】閱讀教材92-95，并思考如下問(wèn)題.（1）通過(guò)歸納推理猜想的結(jié)論是不是都正確？請(qǐng)舉例說(shuō)明.（2）教材上說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，其“特殊”體現(xiàn)在哪？（3）在多米諾骨牌游戲中，能使所有的骨牌全部倒下的條件是什么？（4）你認(rèn)為證明數(shù)列的通過(guò)公式是與多米諾骨牌游戲有哪些相似性？請(qǐng)類比多米諾骨牌游戲證明這個(gè)問(wèn)題.(5)總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，并思考用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)分別是什么？（6）有人說(shuō):“數(shù)學(xué)歸納法使無(wú)限與有限間實(shí)現(xiàn)了平衡”,請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)這句話的理解.一、釋疑解惑，導(dǎo)入新知1、（1）歐拉（Euler）證明了當(dāng)n=5時(shí)，=4294967297=6700417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．這說(shuō)明了什么？2、閱讀下面兩個(gè)推理，并思考用什么方法對(duì)猜想進(jìn)行證明？①有一盒沒(méi)有用完的粉筆，我拿出一支，發(fā)現(xiàn)時(shí)白色的，然后我又拿出兩支，發(fā)現(xiàn)還是白色的，于是我猜想這個(gè)盒子里剩下的粉筆都是白色的.②對(duì)于數(shù)列，已知，通過(guò)對(duì)前4項(xiàng)歸納，我們猜想其通項(xiàng)公式是.師生小結(jié)：否定猜想，只要舉出反例即可以，若要證明猜想成立，當(dāng)n較小時(shí)，可以用一一驗(yàn)證的方法，當(dāng)n較大或證明n取任意正整數(shù)都成立，這種想法價(jià)值不大.我們需要探求一種方法：二、合作探究，展示成果探究1.教材上說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，其“特殊”體現(xiàn)在哪？探究2.在多米諾骨牌游戲這個(gè)游戲中，能使所有的骨牌全部倒下的條件是什么？師生小結(jié)：只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。可以看出，條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。探究3.類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)猜想已知數(shù)列，，你認(rèn)為證明數(shù)列的通過(guò)公式是，這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？分析：多米諾骨牌游戲原理通項(xiàng)公式的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)a1=1，猜想成立（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即

，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即。根據(jù)（1）和

（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立?！局R(shí)提煉】數(shù)學(xué)歸納法的原理一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k()時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法注意：（1）這兩步步驟缺一不可。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明“當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立”。三、知識(shí)應(yīng)用、拓展延伸1、錯(cuò)例剖析下面用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程是否正確？指出錯(cuò)誤，并糾正。①證明,某同學(xué)證明如下：證明：（1）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，那么，當(dāng)時(shí)，左邊=即當(dāng)時(shí)等式也成立.（2）故原等式對(duì)任意成立.所以上面等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.②證明：,某同學(xué)證明如下：證明：⑴當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=1，所以等式成立.⑵假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即：那么，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等式也成立.綜合(1)(2)知，原等式對(duì)任意都成立.2．典例講評(píng)例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，．證：（1）當(dāng)時(shí)，，，結(jié)論成立．（2）假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，那么．所以當(dāng)時(shí)，命題也成立．根據(jù)（1）和（2），可知結(jié)論當(dāng)時(shí)都成立．點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步驗(yàn)證是基礎(chǔ)，第二步推證是證明的關(guān)鍵，二者缺一不可，且在推證時(shí)，必須使用時(shí)的結(jié)論，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.例2．已知數(shù)列,計(jì)算,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．證：；；；.可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)一致,分母可用項(xiàng)數(shù)表示為.于是可以猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.（1）當(dāng)時(shí)，左邊=,右邊=,猜想成立．（2）假設(shè)()時(shí)，猜想成立,即,那么．所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立．根據(jù)（1）和（2），可知猜想對(duì)任何時(shí)都成立．點(diǎn)評(píng)：探索性問(wèn)題未給出問(wèn)題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論.它的解題思路是：從給出的條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.3.鞏固提升（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3答案：C（2）某個(gè)命題當(dāng)n=k(k∈N)時(shí)成立，可證得當(dāng)n=k+1時(shí)也成立?，F(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A.n=6時(shí)該命題不成立B.n=6時(shí)該命題成立C.n=4時(shí)該命題不成立D.n=4時(shí)該命題成立答案：C（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:的過(guò)程中，由n＝k到n＝k＋1左邊增加的代數(shù)式為答案：四、感悟小結(jié)、布置作業(yè)1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。其格式主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；2.有人說(shuō):“數(shù)學(xué)歸納法使無(wú)限與有限間實(shí)現(xiàn)了平衡”,請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)這句話的理解.3.作業(yè)布置：（1）必做練習(xí)P96A組