高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．6正態(tài)分布 蘇教版3 　正態(tài)分布 學(xué)案

2．6正態(tài)分布1.了解正態(tài)密度函數(shù)的概念．2.理解正態(tài)密度函數(shù)的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．3．掌握運(yùn)用正態(tài)分布解決實(shí)際問題的方法．1．正態(tài)密度曲線函數(shù)P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中實(shí)數(shù)μ和σ為參數(shù)，P(x)的圖象為正態(tài)密度曲線(如圖所示)．2．正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布記作N(μ，σ2)．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線；(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡；(4)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.4．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)上的概率約為%，落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率約為%，落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率約為%.1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)p(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．()答案：(1)×(2)×(3)√2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，則C＝()A．0 B．σC．－μD．μ答案：D3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(X＜3)＝()\f(1,5)\f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)答案：D4．已知正態(tài)分布密度函數(shù)為P(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x2,4π)，x∈(－∞，＋∞)，則該正態(tài)分布的均值為________，標(biāo)準(zhǔn)差為________．答案：0eq\r(2π)正態(tài)分布密度函數(shù)與正態(tài)曲線若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4，4]上的概率．【解】(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4.故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是P(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝.eq\a\vs4\al()要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是P(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)(x∈R)．(1)求證：P(x)是偶函數(shù)；(2)求P(x)的最大值；(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明P(x)的增減性．解：(1)證明：對任意x∈R，有P(－x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(（－x）2,2)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)＝P(x)，所以P(x)為偶函數(shù)．(2)令t＝eq\f(x2,2)，當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0，et＝1.因?yàn)閑t是關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，t>0，et>1.所以當(dāng)x＝0，即t＝0時(shí)，eeq\s\up6(\f(x2,2))＝et取最小值．所以當(dāng)x＝0時(shí)，P(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)取得最大值eq\f(1,\r(2π)).(3)任取x1<0，x2<0，且x1<x2，則xeq\o\al(2,1)>xeq\o\al(2,2)，－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)<－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)，所以e－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)<e－eq\f(xeq\o\al(2,2),2).所以P(x1)<P(x2)，即當(dāng)x<0時(shí)，P(x)遞增．又P(x)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)x>0時(shí)，P(x)遞減．正態(tài)分布的計(jì)算設(shè)X～N(6，1)，求P(4<X<5)．【解】由已知μ＝6，σ＝1，因?yàn)镻(5<X<7)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝，P(4<X<8)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝，P(4<X<5)＋P(7<X<8)＝P(4<X<8)－P(5<X<7)＝.如圖，由正態(tài)密度曲線的對稱性知P(4<X<5)＝P(7<X<8)，所以P(4<X<5)＝eq\f(1,2)[P(4<X<8)－P(5<X<7)]＝eq\f(1,2)×＝5.eq\a\vs4\al()(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1；(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．2.已知ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝，則P(0≤ξ≤2)＝________.解析：因?yàn)棣巍玁(0，σ2)，所以P(ξ<－2)＝P(ξ>2)＝，P(0≤ξ≤2)＝eq\f(1－P（ξ<－2）－P（ξ>2）,2)＝eq\f(1－2×,2)＝.答案：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)ξ～N(110，202)，且知滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．【解】因?yàn)棣巍玁(110，202)，所以μ＝110，σ＝20.所以P(110－20<ξ≤110＋20)＝.所以ξ>130的概率為eq\f(1,2)(1－＝5.所以ξ≥90的概率為＋5＝5.所以及格人數(shù)為54×5≈45(人)，130分以上的人數(shù)為54×5≈9(人)．eq\a\vs4\al()正態(tài)分布是最常見、應(yīng)用最廣泛的一種分布，人的身高、體重，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，產(chǎn)品的尺寸等一般都服從正態(tài)分布，在解決此類問題時(shí)，利用正態(tài)曲線的對稱性結(jié)合三個(gè)特殊概率的值求概率．3.若一批白熾燈共有10000只，其光通量ξ服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)是P(x)＝eq\f(1,6\r(2π))e－eq\f(（x－209）2,72)，x∈R.試求光通量在下列范圍內(nèi)的燈泡的個(gè)數(shù)．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解：由于ξ的概率密度函數(shù)為P(x)＝eq\f(1,6\r(2π))e－eq\f(（x－209）2,72)，所以μ＝209，σ＝6.所以μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.μ－3σ＝209－6×3＝209－18，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.因此光通量ξ的取值在區(qū)間(209－6，209＋6]，(209－18，209＋18]內(nèi)的概率應(yīng)分別是和.(1)光通量ξ在209－6～209＋6范圍內(nèi)的燈泡個(gè)數(shù)大約是10000×＝6830.(2)光通量ξ在209－18～209＋18范圍內(nèi)的燈泡個(gè)數(shù)大約是10000×＝9970.正態(tài)分布的再認(rèn)識(1)參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；σ是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．μ＝0，σ＝1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．(2)正態(tài)分布定義中的式子實(shí)際是指隨機(jī)變量X的取值區(qū)間在(a，b]上的概率等于總體密度函數(shù)在[a，b]上的定積分值．(3)從正態(tài)曲線可以看出，對于固定的μ而言，隨機(jī)變量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率隨著σ的減小而增大．這說明σ越小，X取值落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周圍的概率越大．對于固定的μ和σ，隨機(jī)變量X取值區(qū)間越大，所對應(yīng)的概率就越大，即3σ原則．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，如果P(X＜1)＝3，求P(－1＜X＜0)．【解】如圖所示，因?yàn)镻(X＜1)＝3，所以P(X≥1)＝1－3＝7.所以P(X≤－1)＝7.所以P(－1＜X＜0)＝－7＝3.(1)錯(cuò)因：X～N(0，1)，則正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，應(yīng)結(jié)合圖象找出各區(qū)間的對稱關(guān)系．(2)正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可以用來求參數(shù)μ和σ.具體方法如下：①正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求μ.②正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此性質(zhì)，結(jié)合圖象可求σ.(3)正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)，若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－P（μ－b<X<μ＋b）,2).1．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案：A2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(20，32)，若P(X≤a)＝eq\f(1,2)，則a＝________.解析：由正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱可知a＝20.答案：203．已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(3，1)，且P(2≤x≤4)＝，則P(x>4)＝________．解析：P(x>4)＝eq\f(1,2)[1－P(2≤x≤4)]＝eq\f(1,2)×(1－＝5.答案：5[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，且P(X>1)＝，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1 \r(3)C．2 D．4解析：選A.因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，所以P(X>a)＝.由P(X>1)＝，可知a＝1.2．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(（x－10）2,8)，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10解析：選B.由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈%.)A．% B．%C．% D．%解析：選B.由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈，P(－6＜ξ＜6)≈，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)≈eq\f－,2)＝5＝%，故選B.4．某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布N(105，102)，已知P(95≤X≤105)＝，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)為()A．10 B．9C．8 D．7解析：選B.因?yàn)榭荚嚨某煽僗服從正態(tài)分布N(105，102)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝105對稱．因?yàn)镻(95≤X≤105)＝，所以P(X≥115)＝eq\f(1,2)×(1－×2)＝.所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)為×50＝9.5．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實(shí)根的概率為eq\f(1,2)，則μ＝________．解析：因?yàn)榉匠蘹2＋4x＋ξ＝0無實(shí)根，所以Δ＝16－4ξ<0，所以ξ>4，即P(ξ>4)＝eq\f(1,2)＝1－P(ξ≤4)．故P(ξ≤4)＝eq\f(1,2).所以μ＝4.答案：46．在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為，則ξ在(2，＋∞)上取值的概率為________．解析：由正態(tài)分布的特征易得P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×[1－2P(0<ξ<1)]＝eq\f(1,2)×(1－＝.答案：7．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若體重大于kg小于等于kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為________．解析：依題意可知，μ＝，σ＝2，故P＜X≤＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝，從而屬于正常情況的人數(shù)為1000×＝683.答案：6838．一批燈泡的使用時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(10000，4002)，求這批燈泡中“使用時(shí)間超過10800小時(shí)”的概率．解：依題意μ＝104，σ＝400，所以P(104－800<X≤104＋800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝.由正態(tài)分布性質(zhì)知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)，故2P(X>10800)＋P(104－800<X≤104＋800)＝1，所以P(X>10800)＝eq\f(1－,2)＝.所以使用時(shí)間超過10800小時(shí)的概率為.9．如圖為某地成年男性體重的正態(tài)密度曲線圖，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)密度函數(shù)，并求出隨機(jī)變量的期望與方差．解：由圖易知，該正態(tài)密度曲線關(guān)于x＝72對稱，最大值為eq\f(1,10\r(2π))，所以μ＝72.因?yàn)閑q\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,10\r(2π))，所以σ＝10，所以正態(tài)密度函數(shù)的解析式是P(x)＝eq\f(1,10\r(2π))·eeq\s\up6(\f(－（x－72）2,200))，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機(jī)變量的期望是μ＝72，方差是σ2＝100.[B能力提升]1．某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000，502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為__________．解析：由三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000，502)得：三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為p＝eq\f(1,2)，超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4)，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為p2＝p1×p＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)2．工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，則在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3，5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有________個(gè)．解析：因?yàn)閄～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，所以μ＝4，σ＝eq\f(1,3).所以不屬于區(qū)間(3，5)的概率為P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－＝.1000×＝3(個(gè))．即不屬于(3，5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．答案：33．在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從