2021屆高考數(shù)學(xué)教學(xué)案第章 第7講 解三角形應(yīng)用舉例含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精屆數(shù)學(xué)人教一輪創(chuàng)新學(xué)案：第第講解三形應(yīng)用舉含解析第

解三角應(yīng)舉例［考綱解讀]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題重點(diǎn)）2．利用正、余弦定理解決際問題，主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．點(diǎn))［考向預(yù)測(cè)]從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)考查內(nèi)容．預(yù)計(jì)會(huì)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)用問題的考查．以與三角形有關(guān)的應(yīng)用問題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量實(shí)際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度．試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主。對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P0821.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線錯(cuò)!上方的角叫仰角，在水平線錯(cuò)!下方的角叫俯角圖①)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角如B點(diǎn)的方位角為α(圖②3．方向角相對(duì)于某一正方向的水平角．（1）北偏東α,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③)．北偏西α,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．）南偏西其他方向角類似．4．坡角與坡度（1）角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④i為坡度坡度又稱為坡比．1．概念辨析東北方向就是北偏東45°的方向

)從望的仰角為α從處望的俯角為β則αβ的關(guān)系為α＋β＝180°

)（方位角方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．()位角大小的范圍是[0,2π角大小的范圍一般是誤.（）答案

(1)√

（）（3）

（4)√

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．小題熱身某測(cè)量中設(shè)A在B的南偏東34°27′則在（

)A．北偏西34°27′．北偏西55°33′

B．北偏東55°33′．南偏西34°27′答案解析

A由方向角的概念知，B在北偏西34°27′.（2）已知AB兩地間的距離為10km，，兩地間的距離為20，現(xiàn)測(cè)得∠＝120°，則A兩地間的距離為（）A．10km．10錯(cuò)!km

B．10錯(cuò)誤km．10錯(cuò)!答案

D10

解析由余弦定理可得，AC22＋202×10×20×錯(cuò)＝700。

＝AB

＋

－ABCB＝∴AC＝10誤!(km)．如圖所示設(shè),B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出,的距離為m∠ACB＝45°∠＝105°后就可以計(jì)算出，B兩點(diǎn)的距離為_。答案解析

502在△ABC中，ACB＝∠CAB＝，所以ABC＝180°－－＝30°，又因?yàn)椋?0m，所以由正弦定理得＝錯(cuò)!＝誤!＝錯(cuò)誤!（．

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（如圖從無人機(jī)A上測(cè)得正前方的河流的兩岸，C的俯角分別為，此時(shí)無人機(jī)的高是m則河的度約于________m用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0。92cos67°≈0.39，n37°≈0.60cos37°≈0.80，≈1。73)答案解析

60由圖可知＝錯(cuò)!在△ABC中由正弦定理可錯(cuò)誤＝錯(cuò)!，所以BC＝誤＝錯(cuò)!錯(cuò)!＝60(m題型一

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P083測(cè)量距離問題1．一艘船以每小時(shí)15的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M北偏東60°方，行駛h，船到達(dá)處，看到這個(gè)燈塔在北偏東方向，這時(shí)船與燈塔的距離為（）A．15誤km．45錯(cuò)!km

B．30錯(cuò)誤km．60錯(cuò)!答案解析

B作出示意圖如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠＝60°,∠＝，∴∠MAB，∠＝在△AMB中，由正弦定理，得錯(cuò)誤!＝誤，解得BM＝302.

sin15°學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精sin15°2．(2019·寧德模擬)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，D得＝80,∠＝135°，∠＝∠DCA，∠ACB120°則，B兩點(diǎn)的距離為________．答案

80

錯(cuò)解析

由已知，在△ACD中，＝，∠＝150°，所以∠＝15°，由正弦定理，得80sin150°＝＝誤＝錯(cuò)誤＋錯(cuò)誤)，在△BCD，∠＝∠＝135°，所以∠＝由正弦定理錯(cuò)!＝誤!，得＝錯(cuò)!＝誤!＝160sin15°＝40(誤－錯(cuò)誤）;

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精在△ABC中，由余弦定理,AC2＋2－2·∠1600×（8＋錯(cuò)誤）＋（8－錯(cuò)誤＋2×1600×（誤＋錯(cuò)!（錯(cuò)!－誤)×錯(cuò)!＝1600×161600×4＝32000，解得＝誤，則，點(diǎn)的距離為80誤。（1）測(cè)量距離問題無論題型如何變化，即兩點(diǎn)的情況如何變化，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離，無非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素的所知情況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺嫵稣页觯┻m合解決問題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角是解題的關(guān)鍵．）求距離題的兩個(gè)策略①選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解．②確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．如圖在海岸線上相距錯(cuò)!千的A兩地分別測(cè)得小島B在A的北西α方向在的北偏西錯(cuò)!－向，且＝誤!,則，之間的距離是（

)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．30誤千米．12錯(cuò)!千米

B．30米．12千米答案解析

D由題意得AC＝26,＝錯(cuò)!＝cos＝誤，＝錯(cuò)!＝cos2＝21＝錯(cuò)!，在△ABC中由正弦定理得＝錯(cuò)!＝誤!＝12，則B與的距離是12千米．題型二

測(cè)量高度問題12019·長(zhǎng)沙一中模擬）如在路邊安裝路燈，路寬為OD燈柱高為10，燈桿AB長(zhǎng)為1m，且燈桿與燈柱成，路燈采用圓錐形燈罩,其軸截面的頂角為2，燈罩軸線AC與燈桿垂直．若燈罩截面的兩條母線所在直線中的一條恰好經(jīng)過點(diǎn)，另一條與地面的交點(diǎn)為E則該路燈照在路面上的寬度OE長(zhǎng)是________。答案解析

錯(cuò)!在△AOB,由余弦定理可得＝誤!由正弦定理得sin∠BAO＝錯(cuò)誤!，因?yàn)椤螧AOθ＝錯(cuò)誤!，所以cos＝∠BAO＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)!,則sin2θ＝2sinθ＝錯(cuò)誤!

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精易知∠＝60°，則sin∠＝（－錯(cuò)!，在△AOE，由正弦定理可得OE錯(cuò)!＝誤m.2．如圖小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在處測(cè)得公路上，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且＝若山高AD＝m,汽車從B點(diǎn)到點(diǎn)歷時(shí)這輛汽車的速度約為_______m/s（精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：錯(cuò)!≈1.414，錯(cuò)!。答案解析

22。因?yàn)樾∶髟谔帨y(cè)得公路上BC兩點(diǎn)的俯角分別為30°，所以∠BAD＝∠CAD＝設(shè)這輛汽車的速度為，則BC＝v在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，錯(cuò)!＝誤＝200。在eq\o\ac(△,Rt)ADC中＝錯(cuò)!＝誤!＝誤!.在△ABC中由余弦定理，得2＝ACAB2ACBAC，所以14v)＝（100錯(cuò)!）2＋22×100誤!所以v＝誤≈226,所這輛汽車的速度約為22.6m/s.求解高度問題的注意事項(xiàng)（1）理解仰角、俯角（它是在鉛垂面上所成的角)方向(位）角（它是在水平面上所成的角）等的定義．（在實(shí)際題中可能會(huì)遇到空間與平（地面)時(shí)研究的

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖,一平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．如舉例說明。注意山或塔垂直于地面或海平面空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．如,在地面高的熱氣球上，觀測(cè)到山頂處的仰角為山腳A的俯角為已知∠BAC＝60°，則山的高為()A．700m．600m

B．m．560m答案解析

在eq\o\ac(△,Rt)AMD中AM＝誤＝錯(cuò)!＝400誤（在△MAC中，∠AMC＝15°＝，∠＝45°－＝75°，∠MCA－∠－MAC＝正弦定理得AC＝錯(cuò)誤＝錯(cuò)!＝錯(cuò)（eq\o\ac(△,Rt)ABCBC＝sin∠＝400錯(cuò)誤!＝（m2．如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N選擇A和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從測(cè)得M的仰角∠MAN＝C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°及∠MAC＝從C點(diǎn)測(cè)得∠＝60°.已知山高＝100m,則山高M(jìn)N＝

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精________m.答案解析

150在△ABC中,＝1002在△MAC中誤＝錯(cuò)!解得MA＝錯(cuò)誤!在△中錯(cuò)誤!sin60°＝誤故MN＝，即山高為150m題型三

測(cè)量角度問題1在某點(diǎn)測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θBE方向前進(jìn)30至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為θ繼續(xù)前10錯(cuò)!至D點(diǎn)，測(cè)得頂端仰角為4則θ的大小為________答案解析

在△ACD中，AC＝＝，＝CD＝10錯(cuò)!,∠＝180°－θ,由正弦定理得錯(cuò)!＝誤!，所以錯(cuò)!＝誤，＝錯(cuò)!，所以θ＝，＝2．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東向，相距12mile水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)n的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)若紅方偵察艇以每小時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精14mile的速度沿北偏東α向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α正弦值．解

如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過小時(shí)后在C處攔截住藍(lán)方的小艇則AC＝14x＝10x∠＝120°.根據(jù)余弦定理得x

＝12

2

＋(10

－240cos120°，解得x＝故AC＝28，＝20。根據(jù)正弦定理得錯(cuò)!＝錯(cuò)!，解得sin＝誤!＝誤。所以紅方偵察艇所需的時(shí)間為小時(shí)，角α正弦值為錯(cuò)!.解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)（1）測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．（求角的小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．（3在解應(yīng)用題時(shí)要根據(jù)題意正確畫出示意圖通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理"使用的優(yōu)點(diǎn)．如圖所示位于處的信息中心獲悉:在處的正東方向相距海的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30°相距海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線前往救援則cos等于(

）A。錯(cuò)!

B.

錯(cuò)。

錯(cuò)!

D.

錯(cuò)!答案解析

B在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝由余弦定理得BC2＝ABAC2－AB＝以＝207.由正弦定理得ACB＝誤·sin∠＝錯(cuò)誤!。由∠＝120°知∠ACB為銳角故cos＝錯(cuò)!故cos＝∠ACB＋30°）＝cos∠·cos30°－∠ACB＝錯(cuò)!.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P285組

基礎(chǔ)關(guān)1．如圖所示，為了測(cè)量某泊兩側(cè)AB間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與，B不共線的一點(diǎn)C（△ABC的角，B，所對(duì)的邊分別記為a,c然后給出了三種測(cè)量方案：①測(cè)量，,②測(cè)量，b,C；③測(cè)量，B，a。則一定能確定A間的距離的所有方案的序號(hào)為（）A．①②

B．②③

sin45學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精．①③sin45

．①②③答案解析

D知兩角一邊可用正弦定理解三角形故案①③可以確定B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定,B間距離．2．如圖所示，一座建筑物的高為(30－10，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD。在它們之間的地面上的點(diǎn)M(，M，D三共線）處測(cè)得樓頂A，塔頂仰角分別是在樓頂測(cè)得塔頂C的仰角為，則通信塔CD的高為()A．30．303

B．60m．403m答案解析

B在eq\o\ac(△,Rt)ABM中AM＝誤＝錯(cuò)!＝錯(cuò)!＝20錯(cuò)誤m點(diǎn)A作AN⊥CD于點(diǎn)，如圖所示．易知∠＝∠AMB15°,所以∠MAC＝30°＋15°45°.又∠15°－60°105°,MC所以∠＝。在△AMC中，由正弦定理得＝錯(cuò)誤，解得MC＝40誤．在eq\o\ac(△,Rt)CMD中,CD＝40誤×sin60°＝故通信塔的高為60m.

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．如圖，兩座相距60的建筑物AB，的度分別為BD為水平面則從建筑物AB的頂端建筑物CD張角∠等于（

)A．．

B．45°．答案解析

B依題意可得AD＝2010＝305m,又CD＝50，所以在△中，由余弦定理得cos∠＝錯(cuò)!＝誤＝錯(cuò)誤＝錯(cuò)!,又

0°<∠CAD所以∠＝，所以從頂端A看建筑物的張角為45°.4．如圖所示，一艘海輪從出發(fā),測(cè)燈塔在海輪的北偏東向，與海輪相距20nmile，海輪按北偏西60°的方向航行了min到達(dá)處，又測(cè)得燈塔在海的北偏東75°的方向上，則海輪的速度為()A。錯(cuò)!nmile/min．錯(cuò)!nmile/min

B。誤!nmile/min．10錯(cuò)!答案

A

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精解析錯(cuò)!所以

由已知得∠ACB45°，B，由正弦定理得錯(cuò)!＝＝錯(cuò)!＝錯(cuò)!＝10錯(cuò)!,所以海輪航行的速度為錯(cuò)誤!＝錯(cuò)!mile/min)5如圖測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得∠BCD＝15°,∠＝＝30，并在點(diǎn)處測(cè)得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于（）A．6

B．15．

錯(cuò)!

．15

錯(cuò)答案解析

D在△BCD中，∠CBD＝－＝135°。正弦定理得錯(cuò)!＝誤所以BC＝15錯(cuò)!在eq\o\ac(△,Rt)中＝BC∠ACB＝15錯(cuò)!×誤!＝15錯(cuò)!。6．線段AB外有一點(diǎn),∠ABC＝60°,AB＝200km，汽車以km/h速度由A向行駛,同時(shí)摩托車以50km/h的速度由C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始________后，兩車的距離最小．答案解析

錯(cuò)!如圖所示設(shè)t后汽車由A行駛到D摩托車由駛到E則AD＝，BE＝50t因?yàn)椋剿訠D＝200－t問題就是求DE最小時(shí)t的．由余弦定理得＝BD22BD＝80t)2＋25002－－t）t＝t242000＋。

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精當(dāng)t＝錯(cuò)誤時(shí)DE最小．組

能力關(guān)1．如圖，為了測(cè)量某濕，點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)D，E。從D點(diǎn)測(cè)得∠＝67。5°，從點(diǎn)測(cè)得∠ACD＝45°,∠BCE＝75°，從E點(diǎn)測(cè)得∠＝測(cè)得＝錯(cuò)誤!，＝錯(cuò)誤(位：百米)，則,B兩的距離為（

)A.

錯(cuò)!

B．2

錯(cuò)．

．

錯(cuò)答案解析

根據(jù)題意，在△ADC中，∠＝45°,∠＝67.5°3，則＝－－67.5°＝。則＝23在△BCE，∠BCE＝∠BEC＝60°,＝錯(cuò)誤則∠EBC＝180°－－＝則有誤＝錯(cuò)!,變形可得BC＝誤＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)!,在△ABC中AC＝錯(cuò)誤＝錯(cuò)誤∠ACB＝180°－－∠BCE＝60°,則AB2

＝AC2

＋2

－ACBCACB＝9，則AB＝22019·惠州調(diào)研)如圖所示在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角山坡的A處測(cè)得∠＝，沿山坡前進(jìn)50到達(dá)，又測(cè)得∠DBC＝

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos＝________。答案解析

3－由∠＝15°，∠DBC＝，可得∠＝135°，＝在△ABD中，根據(jù)正弦