高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念單元測試 分段函數(shù)問題的解答方法

分段函數(shù)問題的解答方法所謂分段函數(shù)是指函數(shù)的定義域分為幾段，且每一段的解析式又不一樣的函數(shù)。歸結(jié)起來分段函數(shù)問題主要包括：①分段函數(shù)解析式的求法；②求分段函數(shù)值的基本方法；③分段函數(shù)值域與最值的求法；④分段函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）；⑤分段函數(shù)奇偶性的判斷（或證明）等幾種類型。各種類型問題的結(jié)構(gòu)具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答分段函數(shù)問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地予以解答呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題?！镜淅?】解答下列問題：某汽車以52千米/小時的速度從A地到260千米遠處的B地，在B地停留1小時后，再以65千米/小時的速度返回A地，試將汽車離開A地后行走的路程S表示成時間t的函數(shù)；【解析】【知識點】①行駛問題的結(jié)構(gòu)特征；②行駛問題中涉及的基本量及其關(guān)系；③解答行駛問題的基本思路與方法；=4\*GB3④求函數(shù)解析式的基本方法。【解題思路】問題是行駛問題，行駛問題的基本量包括行駛速度，行駛時間和行駛路程，這三個基本量的關(guān)系為，行駛路程=行駛速度行駛時間；根據(jù)題意，問題中包含三個行駛過程：①從A地出發(fā)到達B地；②在B地停留；③從B地返回A地，根據(jù)行駛路程=行駛速度行駛時間分別求出三個過程行駛路程與時間的關(guān)系式就可得出結(jié)果。【詳細(xì)解答】問題中包含三個行駛過程：52t，0<t5，①從A地出發(fā)到達B地，S=52t；②在B地S=260，5<t，停留,S=260；③從B地返回A地,S=65(t-6)；65（t-）,<t，2、已知f(x)=2x-1，g(x)=，（x≥0），-1，(x＜0)。①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕；【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求值的基本方法?！窘忸}思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)又是一個分段函數(shù)，從而得到f〔g(x)〕也是一個分段函數(shù)，且自變量的分段與g(x)的分段一致，從而得到函數(shù)f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由g(x)是分段函數(shù)，需先確定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范圍，從而得到函數(shù)g〔f(x)〕的解析式；【詳細(xì)解答】f(x)=2x-1，f〔g(x)〕=2-1，（x≥0），g〔f(x)〕=，x≥，g(x)=，（x≥0），-3，(x＜0)，-1，x＜；-1，(x＜0），3、已知f(x)=ln(x+1)，（x＞-1），g(x)=-x+2。，（x-1），求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕?！窘馕觥俊局R點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求值的基本方法?！窘忸}思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)的函數(shù)值需滿足-x+2＞-1或-x+2-1，且自變量的分段為x＜3或x≥3，從而得到函數(shù)f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由f(x)是分段函數(shù)，得到g〔f(x)〕也是一個分段函數(shù)，自變量的分段與f(x)的分段一致，從而得到函數(shù)g〔f(x)〕的解析式?！驹敿?xì)解答】g(x)=-x+2，f(x)=ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕=ln(-x+3)，（x＜3），-ln(x+1)+2，（x＞-1），，（x-1），，（x≥3）；g〔f(x)〕=-+2，（x-1）；『思考問題1』（1）【典例1】是求分段函數(shù)解析式的問題，解答這類問題需要理解分段函數(shù)的定義，掌握分段函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)解析式的基本方法；（2）【典例1】中1題是應(yīng)用問題，解答時只需分辨清楚應(yīng)用問題的類型，結(jié)合該類應(yīng)用問題解答的基本方法就可求出結(jié)果；（3）【典例1】中2，3兩題是求復(fù)合函數(shù)f(g(x))（或g〔f(x)〕）解析式的問題，這類問題的特點是：①已知兩個函數(shù)的解析式，其中一個函數(shù)是分段函數(shù)；②求復(fù)合函數(shù)的解析式，涉及到確定自變量屬于哪一段的問題；解答的基本思路是整體代入，由分段函數(shù)各段的定義域確定出分段函數(shù)中自變量x的取值范圍，再求復(fù)合函數(shù)的解析式。〔練習(xí)1〕解答下列問題：1、函數(shù)f(x)=〔x〕的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如〔〕=-4，,〔〕=2，當(dāng)x∈（,3〕時，寫出函數(shù)f(x)的解析式，并畫出函數(shù)的圖像；2、已知f(x)=3x-6，+x（x≥0） g(x)=1(x＜0)①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕；3、已知f(x)=2x-1，g(x)=-3x+2，求f〔g(x)〕?！镜淅?】解答下列問題：1、設(shè)函數(shù)f(x)=+1，x1，則f(f(3))=（）A，x＞1，B3CD【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)值的基本方法。【解題思路】根據(jù)自變量3，確定求函數(shù)值的解析式，并求出f(3)的函數(shù)值，把求出的結(jié)果作為自變量，確定求函數(shù)值的解析式，運用求函數(shù)值的基本方法就可求出結(jié)果?！驹敿?xì)解答】3>1，f(3)=，1，f()=+1=，f(f(3))=，D正確，選D。2、設(shè)函數(shù)f(x)=3x-1，x＜1，則滿足f(f(a))=，的a的取值范圍是（），x≥1，A［，1］B［0，1］C［，+）D［1，+）【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)值的基本方法；③指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④參數(shù)分類討論的原則與方法?！窘忸}思路】運用分段函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件，應(yīng)該從a≥1和a<1兩種情況考慮去解答問題?！驹敿?xì)解答】①當(dāng)a≥1時，f(a)=>1，f(f(a))==；②當(dāng)a<1時，f(a)=3a-1，若3a-1≥1，即a≥時，f(f(a))==，若3a-1<1，即a<時，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4；當(dāng)f(f(a))=時，實數(shù)a的取值范圍是[，+）。3、已知函數(shù)f(x)=f(x+1)，x＜4，求f(2+3)的值；，x≥4，【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)值的基本方法；③對數(shù)的定義與性質(zhì)?！窘忸}思路】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知，3<2+3<4，確定求函數(shù)值的解析式，并求出f(2+3)的函數(shù)值，把求出的結(jié)果作為自變量，由4<3+3<5，確定求函數(shù)值的解析式，運用求函數(shù)值的基本方法就可求出結(jié)果?！驹敿?xì)解答】3<,2+3<4，f(2+3)=f(2+3+1)=f(3+3)，4<3+3<5，f(3+3)====，f(2+3)=f(3+3)=。4、已知函數(shù)f(x)=+1，x≥0，若f(x)=10，則x=；-2x，x＜0，【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)值的基本方法?！窘忸}思路】這里是已知f(x)的函數(shù)值，求自變量的問題，現(xiàn)在是自變量未知，需要從x<0和x≥0兩種情況分別考慮去解答問題?！驹敿?xì)解答】①當(dāng)x<0時，f(x)=-2x=10，x=-5；②當(dāng)x≥0時，f(x)=+1=10，x=3；當(dāng)f(x)=10時，x=-5或x=3。5、已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)=2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，則實數(shù)a的值為；-x-2a，x≥1，【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)值的基本方法；③參數(shù)分類討論的基本原則和基本方法；【解題思路】運用分段函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件，根據(jù)a0，應(yīng)該從a>0和a<0兩種情況考慮去解答問題?！驹敿?xì)解答】①當(dāng)a>0時，1-a<1，1+a>1，f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此時無解；②當(dāng)a<0時，1-a>1，1+a<1，f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=-<0，當(dāng)a0，f(1-a)=f(1+a)時，a=-。6、某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時期段進行分別計價，該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表高峰月用電量高峰電價低谷月用電量低谷電價（單位：千瓦時）（單位：元/千瓦時）（單位：千瓦時）（單位：元/千瓦時）50及以下的部分50及以下的部分超過50至200的部分超過50至200的部分超過200的部分超過200的部分時，則按這種計費方式該家庭本月應(yīng)付的電費為元（用數(shù)字作答）【解析】【知識點】①求函數(shù)解析式的基本方法；②分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；③求函數(shù)值的基本方法?！窘忸}思路】設(shè)該家庭高峰時間段的用電量為千瓦時，應(yīng)付電費為，低谷時間段的用電量為千瓦時，應(yīng)付電費為，該家庭本月應(yīng)付的電費為y元，運用求函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出，的解析式，利用求函數(shù)值的基本方法求出，的值，從而求出y的值。【詳細(xì)解答】設(shè)該家庭高峰時間段的用電量為千瓦時，應(yīng)付電費為，低谷時間段的用電量為千瓦時，應(yīng)付電費為，該家庭本月應(yīng)付的電費為y元，由題意可得：，0＜50，，0＜50，=+（-50），50＜250，=+（-50），50＜250，+（-250），＞250，+（-250），＞250，y=+=+++=（元）；『思考問題2』（1）【典例2】是分段函數(shù)求值的問題，解答這類問題需要理解分段函數(shù)的定義，注意分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，掌握分段函數(shù)求值的基本方法；（2）分段函數(shù)求值的基本方法是：①確定給定的自變量屬于哪一段，在此基礎(chǔ)上選定函數(shù)求值時符合的解析式；②把自變量代入選定的解析式，并通過運算求出結(jié)果?！簿毩?xí)2〕解答下列各題：1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域為R，那么a的取值范圍是（）（2023唐山期末）A（-，-1］lnx，x≥1，B（-1，）C［-1，）D（0，）2、根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為f(x)=，x＜A，（A，c為常數(shù)），已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品，x≥A，用時15分鐘，那么c和A的值分別是（）A71,25，x＜1，B75,16C60,25D60，163、設(shè)函數(shù)f(x)=，x≥1，則使得f(x)2成立的x的取值范圍是；4、《中華人民共和國個人所得稅》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過2000的部分不必納稅，超過2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額。此項稅款按下表分段累計計算：全月應(yīng)納稅所得額稅率（℅）不超過500元部分5超過500元至2000元部分10超過2000元至5000部分15某人一月份應(yīng)交納此項稅款為元，那么他當(dāng)月的工資、薪金所得是多少？【典例3】解答下列問題；1、已知函數(shù)f(x)=-2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，設(shè)（x）=max{f(x)，g(x)}，（x）=min{f(x)，g(x)}，max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值，記（x）的最小值為A，（x）的最大值為B，則A-B=（）A16B-16C-2a-16D+2a-16【解析】【知識點】①函數(shù)圖像的定義與作法；②分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；③一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；④求函數(shù)最值的基本方法；⑤數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與基本方法?！窘忸}思路】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)y與g(x)的圖像如圖所示：由函數(shù)f(x)圖像的頂點坐標(biāo)為（a+2，-4a-4），函數(shù)g(x)圖像的頂點坐標(biāo)f(x)為（a-2，-4a+12），且每個函數(shù)圖像的頂點都在另g(x)一個函數(shù)的圖像上，由A，B分別是二次函數(shù)f(x)，Oxg(x)的頂點的縱坐標(biāo)，從而求出A-B的值就可得出選項?！驹敿?xì)解答】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖像如圖所示：函數(shù)f(x)圖像的頂點坐標(biāo)為（a+2，-4a-4），g(x)圖像的頂點坐標(biāo)為（a-2，-4a+12），且每個函數(shù)圖像的頂點都在另一個函數(shù)的圖像上，由題意可知A，B分別是二次函數(shù)f(x)，g(x)的頂點的縱坐標(biāo)，A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16，B正確，選B。2、用min｛a,b,c｝表示a、b、c三個數(shù)中的最小值，設(shè)f(x)=min｛,x+2,10-x｝(x≥0)，則f(x)的最大值為。【解析】【知識點】①一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)的定義，圖像與性質(zhì)；③分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；④求函數(shù)最值的基本方法。y【解題思路】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)=，h（x）=x+2，u(x)=10-x的圖像如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)f(x)的解析式，利用求函數(shù)最值的基本方法求出函數(shù)f(x)的最大值。0x【詳細(xì)解答】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)=，h（x）=x+2，u(x)=10-x的圖像如圖所示，由圖可得：，0x2，當(dāng)0x2，f(x)單增，=f（2）==4；f(x)=x+2，2＜x4，當(dāng)2＜x4，f(x)單增，=f（4）=10-4=6，10-x，x＞4，當(dāng)x＞4時，f(x)單減，＜f（4）=4+2=6；4＜6，當(dāng)x≥0時，=f（4）=4+2=6?！核伎紗栴}3』（1）【典例3】是求分段函數(shù)值域或最值的問題，解答這類問題時，需注意分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大值，最小值是各段最小值中的最小值；（2）解答分段函數(shù)值域與最值的問題，還要注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法的靈活運用，通過函數(shù)的圖像尋找解答問題的突破口，從而達到解決問題的目的?！簿毩?xí)3〕解答下列各題：1、對于每個實數(shù)x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三個函數(shù)中的最小值，求函數(shù)f(x)的最大值；，x＜1，2、設(shè)函數(shù)f(x)=，x≥1，則使得f(x)2成立的x的取值范圍是?！镜淅?】解答下列問題：1、函數(shù)f(x)=|x|(1-x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是（）A（-∞，0）B［0，］C〔0，+∞）D（，+∞）【解析】1、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③函數(shù)單調(diào)性判斷（或證明）的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)絕對值的意義把函數(shù)化為分段函數(shù)，對每一段的函數(shù)運用判斷單調(diào)性的基本方法判斷其單調(diào)性，從而得出結(jié)果；【詳細(xì)解答】f(x)=-+x，x≥0，作出函數(shù)f(x)的y-x，x<0，圖像如圖所示，由圖知，函數(shù)f(x)在［0，］上單調(diào)遞增，B正確，01x選B。2、函數(shù)f(x)=-+2|x|+3的單調(diào)遞增區(qū)間為；【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③函數(shù)單調(diào)性判斷（或證明）的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)絕對值的意義把函數(shù)化為分段函數(shù)，對每一段的函數(shù)運用判斷單調(diào)性的基本方法判斷其單調(diào)性，從而得出結(jié)果；【詳細(xì)解答】f(x)=-+2x+3，x≥0，作出函數(shù)f(x)的y--2x+3，x<0，圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），(0，1)，-101x函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），(0，1)。判斷函數(shù)f(x)=+的單調(diào)性；【解析】【知識點】①二次根式的定義與性質(zhì)；②分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；③函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；④函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)二次根式的定義與性質(zhì)把函數(shù)化為分段函數(shù)，對每一段的函數(shù)運用判斷單調(diào)性的基本方法判斷其單調(diào)性，從而得出結(jié)果；【詳細(xì)解答】f(x)=+①當(dāng)x≥3時,f(x)=2x，顯然是單調(diào)=|x-3|+|x+3|=2x，x≥3,遞增函數(shù)；②當(dāng)-3x<3時，f(x)=6是常值函數(shù)，不具有單調(diào)性；6,-3x<3，③當(dāng)x<-3時，f(x)=-2x，顯然是單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)f(x)在-2x，x<-3，〔3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-3）上單調(diào)遞減。2-1(x≥0)4、判斷函數(shù)f(x)=的單調(diào)性。-3x(x＜0)【解析】4、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)分段函數(shù)的定義與性質(zhì)，先判斷函數(shù)在各段上的單調(diào)性，再綜合得出結(jié)果；【詳細(xì)解答】①當(dāng)x≥0時，f(x)=2-1，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖知，函f(x)在〔0，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)x<0時，f(x)=-3x，顯y然函數(shù)f(x)在（-∞，0）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在〔0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，0x『思考問題4』（1）【典例4】是分段函數(shù)單調(diào)性判斷（或證明）的問題，解答時注意分段函數(shù)在各段上的解析式不一樣的特征；（2）分段函數(shù)單調(diào)性判斷（或證明）的基本方法是：①判斷（或證明）函數(shù)在各段上的單調(diào)性；②綜合得出結(jié)果?！簿毩?xí)4〕解答下列問題：，x≥0，1、判斷分段函數(shù)f(x)=-x+1，x＜0的單調(diào)性；2、判斷函數(shù)f(x)=的單調(diào)性?！镜淅?】:解答下列問題：1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：x+2，(x＜-1），（1）f(x)=+x，(x＜0)；（2）f(x)=0，(|x|≤1)。-+x，（x＞0）-x+2，(x＞1)，【解析】【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)奇偶性的定義與性質(zhì)；③函數(shù)奇偶性判斷（或證明）的基本方法?！窘忸}思路】根據(jù)分段函數(shù)的特征，判斷函數(shù)在各段上f(-x)與f(x)的關(guān)系，結(jié)合奇偶性判斷（或證明）的基本方法綜合得出結(jié)果；【詳細(xì)解答】（1）從函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的定義域顯然關(guān)于原點對稱，①當(dāng)x＞0時，-x＜0，f(-x)=-x=-x=-（-+x）=-f(x)；②當(dāng)x<0時，-x>0，f(-x)=--x=--x=-（+x）=-f(x)；函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（2）從函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的定義域顯然關(guān)于原點對稱，①當(dāng)x＞1時，-x＜-1，f(-x)=-x+2=f(x)；②當(dāng)x<-1時，-x>1，f(-x)=-（-x）+2=x+2=f(x)；③當(dāng)-1≤x≤1時，-1≤-x≤1，，f(-x)=f(x)顯然成立；函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。2、函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，當(dāng)x∈(0,1〕時，f(x)=(2-x)(a＞0)。（1）當(dāng)x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值為，解關(guān)于x的不等式f(x)＞?！窘馕觥俊局R點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)奇偶性的定義與性質(zhì)；③函數(shù)周期性的定義與性質(zhì)；④對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)?！窘忸}思路】（1）根據(jù)函數(shù)是R上的偶函數(shù)和f(x)在(0,1〕上的解析式，求出函數(shù)f(x)在,[-1，0）上的解析式，由f(x+2)=f(x)在R上恒成立可知，函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，從而得到當(dāng)x∈〔2k-1,2k+1〕時，f(x)的解析式；（2）運用周期函數(shù)的性質(zhì)，只需考慮函數(shù)f(x)在[-1，1]的情況，就可解答問題；【詳細(xì)解答】（1）設(shè)x∈[-1，0），則-x∈(0,1〕，函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，f(x)=f(-x)=(2+x)，f(x)=(2-x)，x∈(0,1〕，對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，（2+x），x∈[-1，0）