高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．5圓錐曲線的統(tǒng)一定義 第2章

圓錐曲線的統(tǒng)一定義1．了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握?qǐng)A錐曲線的離心率、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等概念．(重點(diǎn))2．理解并會(huì)運(yùn)用圓錐曲線的共同性質(zhì)，解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題和實(shí)際問題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理圓錐曲線的統(tǒng)一定義閱讀教材P56“思考”以上的部分，完成下列問題．1．平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．當(dāng)0<e<1時(shí)，它表示橢圓；當(dāng)e>1時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng)e＝1時(shí)，它表示拋物線．其中e是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線．2．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)，eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c).雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c).1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l的距離的比等于2的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．()(2)橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的準(zhǔn)線方程是x＝±eq\f(4\r(3),3).()(3)雙曲線離心率的取值范圍是(1，＋∞)．()(4)圓錐曲線的準(zhǔn)線與其對(duì)稱軸垂直．()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．雙曲線eq\f(x2,15)－y2＝1的準(zhǔn)線方程為________．【解析】易知a2＝15，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，則雙曲線的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(15,4).【答案】x＝±eq\f(15,4)3．焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(5,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390050】【解析】由題意知c＝2，則eq\f(a2,c)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(5,2)，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，則橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.【答案】eq\f(x2,5)＋y2＝14．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，右準(zhǔn)線為x＝eq\f(1,2)，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【解析】據(jù)題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,\f(a2,c)＝\f(1,2)，))解得a＝1，c＝2，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．【答案】(2,0)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]已知焦點(diǎn)和準(zhǔn)線求圓錐曲線的方程已知某圓錐曲線的準(zhǔn)線是x＝1，在離心率分別取下列各值時(shí)，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)e＝eq\f(1,2)；(2)e＝1；(3)e＝eq\f(3,2).【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)離心率決定了它是橢圓，準(zhǔn)線方程決定了它的焦點(diǎn)在x軸上，由eq\f(a2,c)＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得c＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,16)，所求方程為eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,\f(3,16))＝1.(2)離心率決定了它是拋物線，準(zhǔn)線方程決定了它的焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，eq\f(p,2)＝1，可得y2＝－4x.(3)離心率決定了它是雙曲線，準(zhǔn)線方程決定了它的焦點(diǎn)在x軸上，eq\f(a2,c)＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，解得c＝eq\f(9,4)，a＝eq\f(3,2)，b2＝eq\f(45,16).所求方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(45,16))＝1.1．本例中，由于要求的是圓錐曲線的“標(biāo)準(zhǔn)”方程，其準(zhǔn)線有固定公式，因而可直接列出基本量滿足的關(guān)系式．2．已知焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及離心率，也可直接由eq\f(MF,d)＝e求出M點(diǎn)的軌跡方程．[再練一題]1．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)，設(shè)A(x0，y0)，由題知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵|AF|＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y.用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求軌跡已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(0,3)與到定直線y＝9的距離之比為eq\f(\r(3),3)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．【精彩點(diǎn)撥】此題解法有兩種：一是定義法，二是直譯法．【自主解答】法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，P點(diǎn)的軌跡是橢圓，c＝3，eq\f(a2,c)＝9，則a2＝27，a＝3eq\r(3)，∴e＝eq\f(3,3\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，與已知條件相符．∴橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為(0，±3)，準(zhǔn)線y＝±9.b2＝18，其方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.法二：由題意得eq\f(\r(x2＋y－32),|9－y|)＝eq\f(\r(3),3).整理得eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.P點(diǎn)的軌跡是以(0，±3)為焦點(diǎn)，以y＝±9為準(zhǔn)線的橢圓．解決此類題目有兩種方法：1是直接列方程，代入后化簡(jiǎn)整理即得方程.2是根據(jù)定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程.[再練一題]2．方程eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390051】【解析】由eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|，得eq\f(\r([x－－1]2＋y2),\f(|x＋y－1|,\r(2)))＝eq\r(2).可看作動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(－1,0)的距離與到定直線x＋y－1＝0的距離比為eq\r(2)>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線．【答案】雙曲線圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求MA＋MB的最大值和最小值；(2)求MB＋eq\f(5,4)MA的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．(2)注意e＝eq\f(4,5)，則eq\f(5,4)MA＝eq\f(MA,e)＝d(d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離)，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【自主解答】(1)如圖所示，由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.所以A(4,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)(－4，0)為橢圓的左焦點(diǎn)．因?yàn)镸A＋MF＝2a＝10，所以MA＋MB＝10－MF＋MB.因?yàn)閨MB－MF|≤BF＝eq\r(－4－22＋0－22)＝2eq\r(10)，所以－2eq\r(10)≤MB－MF≤2eq\r(10).故10－2eq\r(10)≤MA＋MB≤10＋2eq\r(10)，即MA＋MB的最大值為10＋2eq\r(10)，最小值為10－2eq\r(10).(2)由題意得，橢圓的右準(zhǔn)線l的方程為x＝eq\f(25,4).由圖可知，點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為MM′，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得eq\f(MA,MM′)＝e＝eq\f(4,5)，所以eq\f(5,4)MA＝MM′.所以MB＋eq\f(5,4)MA＝MB＋MM′.由圖可知，當(dāng)B，M，M′三點(diǎn)共線時(shí)，MB＋MM′最小，即BM′＝eq\f(25,4)－2＝eq\f(17,4).當(dāng)y＝2時(shí)，有eq\f(x2,25)＋eq\f(22,9)＝1，解得x＝eq\f(5\r(5),3)(舍去負(fù)值)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(5),3)，2)).故MB＋eq\f(5,4)MA的最小值為eq\f(17,4)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(5),3)，2)).1．解答此類題目時(shí)，應(yīng)注意式子中的系數(shù)特點(diǎn)，依此恰當(dāng)?shù)剡x取定義．2．圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可以靈活地將曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程．[再練一題]3．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1和點(diǎn)A(4,1)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，求PA＋eq\f(1,2)PF的最小值．【解】由雙曲線的方程，知a＝2，b＝2eq\r(3)，∴c＝4，離心率e＝eq\f(c,a)＝2，右準(zhǔn)線的方程為x＝1，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，由圓錐曲線的定義，有eq\f(PF,d)＝2，即eq\f(1,2)PF＝d，如圖所示，過(guò)P作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則PA＋eq\f(1,2)PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以當(dāng)P，A，D三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PD的值最小，為4－1＝3.[探究共研型]圓錐曲線的統(tǒng)一定義探究1圓錐曲線的統(tǒng)一定義又稱第二定義，那么第一定義與第二定義有哪些區(qū)別？【提示】橢圓、雙曲線的第一定義突出了動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)和一條定直線的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時(shí)可根據(jù)題目條件的不同適當(dāng)選擇．利用第一定義可以把到一個(gè)定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一點(diǎn)的距離，利用第二定義可以把到定點(diǎn)與到定直線的距離互相轉(zhuǎn)化，對(duì)于拋物線，第一定義與第二定義是一致的．探究2在圓錐曲線的統(tǒng)一定義中，定點(diǎn)F和直線l是如何對(duì)應(yīng)的？【提示】在統(tǒng)一定義中，圓錐曲線是橢圓或雙曲線時(shí)，若定點(diǎn)是左焦點(diǎn)，則定直線是左準(zhǔn)線，若定點(diǎn)是右焦點(diǎn)，則定直線是右準(zhǔn)線．而拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)一條準(zhǔn)線．也就是說(shuō)，定點(diǎn)F和定直線是“相對(duì)應(yīng)”的．探究3利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，如何表示焦半徑？【提示】根據(jù)定義eq\f(PF,d)＝e，則PF＝ed(e為離心率)．(1)橢圓的焦半徑設(shè)P(x0，y0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一點(diǎn)，且F1是左焦點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，則PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.(2)雙曲線的焦半徑設(shè)P(x0，y0)是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的一點(diǎn)，且F1是左焦點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，則PF1＝|ex0＋a|，PF2＝|ex0－a|.(3)拋物線的焦半徑設(shè)P(x0，y0)是拋物線y2＝2px的一點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，則PF＝x0＋eq\f(p,2).橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(2,0)，相應(yīng)準(zhǔn)線為x＝8，離心率e＝eq\f(1,2).(1)求橢圓的方程；(2)求過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線截橢圓C所得的弦長(zhǎng)．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用統(tǒng)一定義求解；(2)利用焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式求解．【自主解答】(1)設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P(x，y)，由統(tǒng)一定義得eq\f(\r(x－22＋y2),|8－x|)＝eq\f(1,2)，兩邊同時(shí)平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，化簡(jiǎn)得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2(－2,0)，過(guò)F2且傾斜角為45°的直線方程為y＝x＋2，與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1聯(lián)立消去y，得7x2＋16x－32＝0.設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(16,7)，AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(48,7).[再練一題]4．過(guò)雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右焦點(diǎn)F，且傾斜角為45°的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．【解】易知F(5,0)，則直線的方程y＝x－5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－5，,\f(x2,16)－\f(y2,9)＝1，))得7x2－160x＋544＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(160,7).由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，知AF＝e·d＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(a2,c)))＝eq\f(c,a)x1－a，同理BF＝eq\f(c,a)x2－a，∴AB＝AF＋BF＝eq\f(c,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))－2a＝eq\f(5,4)×eq\f(160,7)－8＝eq\f(144,7).即AB的長(zhǎng)為eq\f(144,7).[構(gòu)建·體系]1．已知A(－2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P(x，y)滿足eq\f(\r(x＋22＋y2),|x＋3|)＝eq\f(\r(6),3)，則PA＋PB＝________.【解析】∵點(diǎn)P到A(－2,0)的距離與它到直線x＝－3的距離之比為eq\f(\r(6),3)，∴點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，c＝2，∴a＝eq\r(6)，故PA＋PB＝2a＝2eq\r(6).【答案】2eq\r(6)2．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線方程為________．【解析】由橢圓的方程，知a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，即c＝eq\r(3)，故橢圓的左準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(4\r(3),3)，故所求拋物線的方程為y2＝eq\f(16\r(3),3)x.【答案】y2＝eq\f(16\r(3),3)x3．到點(diǎn)F(2,0)與直線x＝eq\f(1,2)的距離的比等于2的曲線方程為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390052】【解析】由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，曲線為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且c＝2，eq\f(a2,c)＝eq\f(1,2)，即a2＝1，故b2＝3，則雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.【答案】x2－eq\f(y2,3)＝14．橢圓eq