高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量7向量應(yīng)用舉例 2023版第2章7向量應(yīng)用舉例

§7向量應(yīng)用舉例點(diǎn)到直線的距離公式向量的應(yīng)用舉例1．了解直線法向量的概念，掌握點(diǎn)到直線的距離．(重點(diǎn))2．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題及一些實(shí)際問題．(難點(diǎn))3．進(jìn)一步體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具．[基礎(chǔ)·初探]教材整理向量應(yīng)用舉例閱讀教材P101～P103，完成下列問題．1．點(diǎn)到直線的距離公式若M(x0，y0)是平面上一定點(diǎn)，它到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離為：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).2．直線的法向量(1)定義：稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線的法向量．(2)公式：設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，則直線l的法向量n＝(A，B)．3．向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用主要有兩方面：一是在幾何中的應(yīng)用；二是在物理中的應(yīng)用．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)△ABC是直角三角形，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.()(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則直線AB與CD平行．()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角與直線AB，CD的夾角相等或互補(bǔ)．()(4)直線y＝kx＋b的一個(gè)法向量是(k，－1)．()【解析】△ABC是直角三角形，若∠A＝90°，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))≠0，∴(1)×；兩向量平行，對(duì)應(yīng)的兩直線可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正確．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√[小組合作型]向量在平面幾何中的應(yīng)用已知D是△ABC中AC邊上一點(diǎn)，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求證：AB是△BCD外接圓的切線．【自主解答】設(shè)△BCD外接圓的圓心為O，半徑為R，如圖所示，連接OB，OC，OD，取eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，則|b|＝|c|＝|d|，又由題意，知eq\o(\s\up12(︵),BDC)和eq\o(\s\up12(︵),BD)分別為120°和90°的?。郻·d＝0，b·c＝|b||c|cos120°＝－eq\f(1,2)R2.又∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝c＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝c＋3(d－c)＝3d－2c，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－3d＋2C．∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(b－3d＋2c)·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴AB是⊙O的切線．1．解決此類問題，通常利用平面向量基本定理，將一些相關(guān)向量用選定的基底來表示，再利用運(yùn)算法則，運(yùn)算律以及一些重要性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，最后把結(jié)果還原為幾何關(guān)系．2．本題是將切線問題轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直關(guān)系．[再練一題]1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n，若D為斜邊AB的中點(diǎn)，(1)求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，求AF的長(zhǎng)度(用m，n表示).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：69992028】【解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(n，－m)．(1)證明：∵D為AB的中點(diǎn)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(m2＋n2)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E為CD的中點(diǎn)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，設(shè)F(x,0)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．∵A，E，F(xiàn)共線，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))，解得(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))即x＝eq\f(n,3)，即Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，－m))，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).向量在物理中的應(yīng)用某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)km/h.(1)如果他徑直游向河對(duì)岸，水的流速為4km/h，他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少？(2)他必須朝哪個(gè)方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(求出其與河岸夾角的余弦值即可)？他實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？【精彩點(diǎn)撥】解本題首先要根據(jù)題意作圖，再把物理問題轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運(yùn)算求解．【自主解答】(1)如圖①，設(shè)人游泳的速度為eq\o(OB,\s\up6(→))，水流的速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則此人的實(shí)際速度為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，根據(jù)勾股定理，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人實(shí)際沿與水速夾角60°的方向前進(jìn)，速度大小為8km/h.(2)如圖②，設(shè)此人的實(shí)際速度為eq\o(OB,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→)).∵實(shí)際速度＝游速＋水速，故游速為eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，在Rt△AOB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).∴cos∠BAO＝eq\f(\r(3),3)，故此人的前進(jìn)方向與河岸夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，且逆著水流方向，實(shí)際前進(jìn)速度的大小為4eq\r(2)km/h.1．用向量解決物理問題首先要建立數(shù)學(xué)模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次要注意物理中的矢量與數(shù)學(xué)中向量的區(qū)別與聯(lián)系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算，求解時(shí)常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則．3．在數(shù)學(xué)中，向量數(shù)量積的運(yùn)算是由物理中力對(duì)物體所做的功抽象出來的，這也是向量在物理中的主要應(yīng)用之一．[再練一題]2．如圖2-7-1所示，一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)B地，因大霧無法降落，故轉(zhuǎn)向C地飛行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移．圖2-7-1【解】法一：由題意得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1000，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2000，∠BAC＝60°，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－2|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos60°＝20002＋10002－2×1000×2000×eq\f(1,2)＝3×106，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1000eq\r(3)(km)，∠ABC＝90°.取AC的中點(diǎn)D，由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|且∠BAD＝60°，知eq\o(BD,\s\up6(→))為正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000eq\r(3)km，方向?yàn)槟掀?0°.法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，并取a＝500，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2acos150°，2asin150°)＝(－eq\r(3)a，a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4acos210°，4asin210°)＝(－2eq\r(3)a，－2a)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)a，－3a)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)a，即|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1000eq\r(3)(km)．又cosC＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(6a2＋6a2,4a×2\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∠C＝30°.結(jié)合圖形可知eq\o(BC,\s\up6(→))的方向?yàn)槟掀?0°，所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000eq\r(3)km，方向?yàn)槟掀?0°.[探究共研型]向量在解析幾何中的應(yīng)用探究1教材中在證明點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，為什么有d＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n0|?【提示】如圖所示，過M作MN⊥l于N，則d＝|eq\o(NM,\s\up6(→))|.在Rt△MPN中，|eq\o(NM,\s\up6(→))|是eq\o(PM,\s\up6(→))在eq\o(NM,\s\up6(→))方向上的射影的絕對(duì)值，則eq\o(|NM,\s\up6(→))|＝||eq\o(PM,\s\up6(→))|cos∠PMN|＝||eq\o(PM,\s\up6(→))|×1×cos∠PMN|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|×|n0|×|cos∠PMN|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n0|，∴d＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n0|.探究2你認(rèn)為利用向量方法解決幾何問題的關(guān)鍵是什么？【提示】關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的運(yùn)算．已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及點(diǎn)A(1,1)，M是⊙C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長(zhǎng)線上，且eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，求點(diǎn)N的軌跡方程．【精彩點(diǎn)撥】要求點(diǎn)N的軌跡方程，需設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用已知條件，轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再利用代入法求解．【自主解答】設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)，由eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－1，,1－y0＝2y－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3－2x，,y0＝3－2y，))代入⊙C方程，得(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4，即x2＋y2＝1.∴點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2＝1.向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點(diǎn)之一.解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標(biāo)表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).[再練一題]3．已知過點(diǎn)A(0,2)，且方向向量為a＝(1，k)的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，求k及直線l的方程．【解】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由題意知，l的方程為y＝kx＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x－22＋y－32＝1，))得(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝eq\f(4＋2k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋k2).∵eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12，y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝12，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0，∴(1＋k2)×eq\f(4,1＋k2)＋2k×eq\f(4＋2k,1＋k2)－8＝0，解得k＝eq\f(1,2)，∴直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋2，即x－2y＋4＝0.1．一物體受到相互垂直的兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的作用，兩力大小都為5eq\r(3)N，則兩個(gè)力的合力的大小為()A．5N B．5eq\r(2)NC．5eq\r(3)N D．5eq\r(6)N【解析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，合力F的大小為eq\r(2)×5eq\r(3)＝5eq\r(6)(N)．【答案】D2．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形【解析】由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))平行且相等，從而四邊形ABCD是矩形．【答案】C3．過點(diǎn)P(1，－1)且垂直于向量n＝(2，－1)的直線方程為.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470059】【解析】所求直線的方向向量為m＝(1,2)，∴所求直線的斜率為k＝2，∴所求直線方程為y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.【答案】2x－y－3＝04．已知點(diǎn)A(1,1)，M(x，y)，且A與M不重合，若向量eq\o(AM,\s\up6(→))