32知識講解-直線、圓的位置關系-(提高)

直、的置系【習標．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；．在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思【點理要一直與的置系1.直與的位關：(1)直線與圓相交，有兩個公共點(2)直線與圓相切，只有一個公共；(3)直線與圓相離，沒有公共2.直與的位關的定(1)代數(shù)法：判斷直線

l

與圓C方程組成的方程組是否有.如果有解，直線

l

與圓有共有兩組實數(shù)解時，直線l圓C相；有一組實數(shù)解時，直線l圓C相；無實數(shù)解時，直線(2)幾何法：

l

與圓C相.由圓的心到直線

l

的距離

與圓的半徑r

的關系判斷：當

時，直線

l

與圓相；當d時直l與C相；當d時直l與C相要詮：(1)當直線和圓相切時，求切線方，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角，由勾股定理解得.(2)當直線和圓相交時，有關弦長問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定(3)當直線和圓相離時，常討論圓的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結合來解要二圓切方的法．點

M

在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率k與心和該點連線的斜率l

k

的乘積等于即k

l

．法二：圓心到線l距離等于半徑r．．

,

在圓外，則設切線方程：

y

0

()0

，變成一般式：

kx00

，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出

．要詮：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．常見圓的切線方程：（1過圓

x2y2

上一點

Py

的切線方程是

y

；

22（2）過圓

r

上一點

P

的切線方程是

0

要三求線圓得弦的法．應用圓中直角三角形：半徑r

，圓心到直線的距離

，弦長

l

具有的關系r

2

2

2

，這也是求弦長最常用的方法．．用交點坐標：若直線與圓的交坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計弦長．．利用弦長公式：設直l:ykx

，與圓的兩交點

,

,y2

，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關系得弦長：

l2|1

=

x

．要四圓圓位關1.圓圓位置系(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(切或外)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(含或外)，沒有公共2.圓圓位置系判：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；有一組實數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離.(2)幾何法：設

的徑為r，O的半徑為r，圓的圓心距為.112當

r21

時，兩圓相交；當當

r1r1

時，兩圓外切；時，兩圓外離；

000000000000000當當

r2r2

時，兩圓內(nèi)切；時，兩圓內(nèi)含.要詮：判定圓與圓的位置關系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關系來確定這種方法運算量小也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解，兩圓的位置關系不明確還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關系來確因此在理圓與圓的位置關系時，一般不用代數(shù)法.3.兩公弦長求有種方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．．圓切的數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1兩圓外離時，有條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條（2兩圓外切時，有條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條（3兩圓相交時，只有條外公切線；（4兩圓內(nèi)切時，只有條外公切線；（5兩圓內(nèi)含時，無公切線．要五圓方．過直線

By

與圓

x22F

的交點的圓系方程是x

2

y

2

DxF

By．以

心系方程是：

(

；．與圓

x22F同的圓系方程是xy2Dx

；．過同一定點

是

12

．【型題類一直與的置系例．已知P（x，y）圓x2

2=R2

的內(nèi)部，試判斷直線xy=R

與圓的位置關系．【答案】相離【解析】∵點（x，y）在圓22

=R2

的內(nèi)部，∴

．又圓心O，0）到直線xy=R

的距離為d

x2y0

20

，且

y20

，∴

12y00

1，∴2RR

，即＞．∴直線y=R

與圓x2

相離．【總結升華】判定直線與圓的位置關系采用幾何法比采用代數(shù)法的計算量要小得多，因此，我一般

392采用幾何法來解決直線與圓的位置關系的有關問題．392【清堂與有的置系370892例2】例．已知直線lk與曲線:x2y2x21.（1求:論為何值直l和線C恒兩個交點（2求當直線l被線C截的線段最短時此線段所在的直線的方【答案）（）

【證明）證法一：將直線

l

與曲線的程聯(lián)立得kx2x21

，消去y得(

)x

+k+3)x+2(8k+4k+3)=0③∵+k+3)―8(1―k2)(8k+4k+3)2―8k+12=

812，∴方程③有兩相異實根，從而，由①②組成的方程組有兩組解，即直線l與線恒兩個交點．證法二：將曲線的程配方得x―3)2+(y2=4，表示以（，4為圓心，2為徑的圓．設圓心到線

l

的距離為d則

2

k|k

2

2

kk21

，即

2r

，∴直線l與線C恒兩個交點．證法三：注意到直線l：―y―4k+3=0可為―3=k(x―4)，可知直線l恒定點A（4∵曲線是（3，4為圓心，為半徑的圓證二）又22

－－8×3+21＜0即點A圓C內(nèi)∴直線

l

與曲線C有兩個交點．（2設直線

l

被曲線C所的線段為AB當AB時|AB|最，直線PQ的率k，所以直線的率AB

k

PQ

43

，其方程l：

【總結升華】證一抓住了直與圓的位置關系的代數(shù)特征，從而轉(zhuǎn)化為對方程的解的研究，這是研究直線與曲線的位置關系的基本方法；證法二抓住了直線與圓的位置關系的幾何特征，從而化為研究圓心到直線的距離，抓住幾何特征對于研究圓的問題特別有效；證法三通過判定直線過圓內(nèi)一點，從而使問題獲證．由上述三種解法可知，解題的切入點不同，解法就有優(yōu)劣之分．因此，在解題時審題要慢，要仔細地分析題意，透徹地理解題意，挖掘其中的隱含條件，從而找到解決問題的捷徑．舉反：【變式】若直線與線

y

有公共點，則的范圍是（）A

[

B

2]

11121111111112111111C．

2,3]

D．

2,3]【答案C【解析】曲線方程可化簡為

，即表示圓心為2,3徑2的半圓，依據(jù)數(shù)形結合，當直線

y

與此半圓相切時須滿足圓心（2,3到直線

y

距離等于2，解得

或

因為是下半圓故可得

（舍線（時解得

，故

2

，所以C確．【變式】已知直線

l

：，：(x2+(y―2)

=25則為意實數(shù)時，

l

與C是必相交？【答案】相交類二切問例．過點A4，―3）作圓(x2+(y―1)2=1的線，求此切線方程．【思路點撥判點在圓上或外果點在圓上則有一條切線果在圓外有條切線例中很明顯點在圓外．【答案】15x+8y―36=0【解析】∵2―32＞1∴點A圓外．①若所求直線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為―4)．因為圓心（3，）到切線的距離等于半徑1，所以

|kk|

，得k

158

．所以切線方程為

y

158

(

，即．②若切線斜率不存在，圓心（，1）到直線距離也為，這時直線與圓也相，所以另一條切線方程是x=4，綜上，所求切線方程為15x+8y―36=0或．【總結升華】求圓的切線方程一般有三種方法：（1直接法：應用常見結論，直接寫出切線方程；（2待定系數(shù)法；（3定義法．一般地，過圓外一點可向圓作兩條切線，在后兩種方法中，應注意斜率不存在的情況．舉反：【變式2016春長春末）已知圓C：(―

y―4)2，直線l過定點（1，0（1若l與圓C切，求l的程；（2若l一圓C交于，Q兩，求三角形CPQ面積的最大值，并求此時直線l的程．【思路點撥）通過直線l的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，即可求l的程；（2）設直線方程為kx―y―k，求出圓心到直線的距離，弦長，得到三角C的積的表達式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值的距離，然后求出直線的斜率，即可得到l的線方程．【答案）=1x―y―3=0）=―1或=7―【解析）若直線l的斜率不存，則直線l=1，符合題意．

11111②若直線l斜存在，設直線l的方程為=k(―，即kx―y―k．由題意知，圓心3）到已知直線l的離等于半徑，11111即：

|3k|

，之得k

34

．所求直線l的程是x=1或x―4y―3=0（2直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0設直線方程為―y―k=0則圓心到直線l的離

|2k|又∵三角形面積

S

12

d2422∴當

時，S取最大值．∴

|2k|2

2

，k=1或k=7∴直線方程為y=―1，或y=7x7【變式】已知點P(

x

0

，

y

0

)是圓

:2y

上一點，求證：過

()00

的圓

的切線方程是：

x

【解析】當

x0

時，過P點線方程為

當

x0

時，可設切線斜率為k.法一：方程組，判別式為；過P切方程

yy(x0

∴

y(xy代00

2

y

2

r

2∴

x

2()]2r0由eq\o\ac(△,)，解

(繁瑣，過程略從而可得切線方程：

y0()即

x

法二：∵

OP

，由

OP切線l

，∴

∴切方程為：

y0()

即

x

法三：平面幾何點到線l的離為半徑；設過P線方程

yy(x0

即

kxykx0

121121(121121(k2k2∴

d

y0k2

∴

r(k2y00

0∴

k(x2)kxy00∴

2kkxy00

∴

()

∴

下同法二.類三弦問例．直線

l

經(jīng)過點（，）并且與圓：x2

2

=25相截得的弦長為

，求

l

的方程．【思路點撥】求弦長問題主要使用幾何方法，即解由半徑、弦心距和弦長的一半組成的直角三形，進一步求弦長．【答案】或2x―y―5=0【解析】法一：根據(jù)題意知直線

l

的斜率存在，設直線

l

的方程為y―5=k(x―5)圓心（0，0）到直線的距離

|5

，在由弦長的一半、半徑和距離

構成的直角三角形中，|k

2

2

，解得

12

或k=2故直線

l

的方程為x或2x―y―5=0．法二：根據(jù)意知直線l的率存在，設直線l的程y―5=k(x―5)與C相于A（x，yx，）聯(lián)立方程

y(x225

，消去y，得(2+1)x2―k)x+25k(k∴―k)]+1)·25k(k＞0，解得k＞0又

x12

10k(1)25(k，xxk2k2

．由斜率公式，得y―y=k(x―x)∴

||

()

)

(1))[()2xx21

2

)

k2(1)k(2)

．兩邊平方，整理得2k2―5k+2=0，

001212001212解得

k

12

或，合題意故直線l的程x或2x―y―5=9【總結升華設線l的程為圓O的程為x―x)2+(y―y2=r，弦長的方法有以下兩種：．（1何法由圓的性質(zhì)知圓作中，|BC|=r―d

l

的垂線足為段的點圖所示則弦長，即

ABr

2

2

．（2代數(shù)法：解方程組

()2)220

，消元后可得關于x+x，x·x或y，y·y的關系式，則|AB|2)x221[()22舉反：

2

y](12【變式】已知圓C經(jīng)坐標原點和2，2圓在軸上．（Ⅰ）求圓的程；（Ⅱ）設直線l經(jīng)點（，2l與C相所得弦長為2，直線l的程【思路點撥根據(jù)圓C過坐標原點和，2圓在x軸上，求出圓心與半徑，即可求圓的程；（Ⅱ）分類討論，利用圓心到直線的距離公式，求出斜率，即可得出直線方程．【答案）

x

2y2

）―1=0或3x+4－11=0【解析）圓C的心坐標為（，依題意，有

|

(a2)

22

，即

2

，解得a，所以圓的程為

2y

．（Ⅱ）依題意，圓C的心到直線l的離為1所以直線x=1符題．設直線l方為(x即yk，|k則，3解得，4所以直線l的程為

34

(x

，

12121212121212121212121211即x+4．12121212121212121212121211綜上，直線l的程為―1=0或x+4y11=0類四圓圓位關例5．已知圓Cx2+y22―5=0，圓C+y+2x―2my+m―3=0，問m為值時圓C和圓C相外切？2）圓C與內(nèi)？【答案）―5或）―2＜＜―1．【解析】對圓C，C的程，配方得C：―m)2

=9C：+(y―．（1如果圓與圓C相外切，則有

(mm

，即(m+1)

+(m+2)

=25，解得―5或m=2．（2如果圓與圓C內(nèi)含，則有

(2

2

，即(m+1)

+(m+2)

＜12

+3m+2＜0解―2＜＜．故（）當―5或m=2時圓與圓相外切）＜m―1時圓C與圓內(nèi)含．【總結升華】利幾何法判定圓的位置關系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡捷些，但需要注意的是，我們這里所說的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓方程及兩點間距離公式求出兩圓圓心距d和圓的半徑R和r根據(jù)R+r與R―r的小關系判定即可．舉反：【變式】當a何值時，圓：x2

+y2―2ax+4y+(a―5)=0和圓C：x2

+y2+2x2相．【答案】當＜＜或＜＜2時圓與圓相【變式】已知圓C：2+y+2x，Cx2+y2―4x+2y―11=0，求兩圓的共弦所在的直線方程及公共弦長．【解析】因圓的交點坐標同滿足兩個圓的方程，聯(lián)立方程組，消去x所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長．

和y

項，即得兩圓的交點設兩圓交點為A（x，y（x，yA兩坐標是方程組

yy

①②的解，①②3x．∵A、兩坐標都滿足此方程，∴即兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓的圓心為―13徑r=3．又到直線AB的離為

||32

．∴

ABr

3

24，即兩圓的公共弦長為．5【總結升華兩的公共弦所的直線方程需兩個圓的方程相減即可是為若兩圓相，其交點坐標必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程在求兩圓的公共弦長時應意數(shù)形結合思想方法的靈運用．類五最問例．已知實數(shù)x、y滿方程x―4x+1=0，求）

yx

的最大值）y的最小值．

2222【思路點撥】將x

+y2―4x+1=0、

yx

、―x賦幾何意義，利用數(shù)形合來解決．【答案）

3

（2

【解析】將實數(shù)x、y看點（，）的坐標，滿足x+y2的（x，y）組成的圖形是以M（2，0為圓心，半徑為3的，如圖所示．（1設

y即是圓上的點與點O連的斜率xxx由圖知，直線y=kx圓M在一象限相切時，k取大值．此時有⊥PM，

||

3

，，∴∠POM=60°此時

k60

，∴

yx

的最大值為

3

．（2設―x=b，則b直線在y上截距．由圖知，當直線y和圓M在四象限相切時，b（＜0）取最小值，此時有

|2

，解得

6

，∴―x的小值是

．【總結升華】利用數(shù)形結合解決最值問題時，首先從代數(shù)演算入手，將代數(shù)表達式賦予幾何意，看成某幾何量的大小，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，觀察出最值出現(xiàn)的時機和位置，從而解決求代數(shù)表式的最值問題這用幾何方法解決代數(shù)題的常用方法數(shù)形結合常的數(shù)形結合點是直線方程的程、過兩點的斜率公式、平面內(nèi)兩點間距離公式、直線在y軸的截距等．舉反：【清堂與有的置系370892例4】【變式】已知實數(shù)x，y滿

y-2

，求(22

的最大值；的小值．【答案）（2

2【解析】

2-23y以化為(-于是(x，y)可看作是以如圖

(-1,3)

為圓心，2為徑的圓上的點．（1x+y2可作是圓上的點到原點的距離的平方，由圖顯然最大為2r=4，所以2（2）解法同例（2

+y

的最大值為16【變式】直線

2與x

2

y

2

相交于A、B兩（其中、b是數(shù)是直角三角形（O是坐標原點點P（，）與點，1之間距離的最大值為A

B．2C．