高中數(shù)學(xué)北師大版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)階段質(zhì)量評(píng)估2

第二章變化率與導(dǎo)數(shù)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的)1．某物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則該物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt) \x\to(v)＝eq\f(sΔt,Δt)\x\to(v)＝eq\f(st,t) \x\to(v)＝eq\f(st＋Δt－sΔt,Δt)解析：由平均速度的定義可知，物體在t到Δt，Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是其位移改變量與時(shí)間改變量的比．所以eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt).答案：A2．下列各式正確的是()A．(lna)′＝eq\f(1,a)(a為常數(shù)) B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosx D．(x－3)′＝－eq\f(1,3)x－4解析：因?yàn)閍為常數(shù)，(lna)′＝0，故A錯(cuò)．由導(dǎo)數(shù)公式表易知B、D錯(cuò)誤．答案：C3．設(shè)f(x)＝xlnx＋x，若f′(x0)＝3，則x0＝()A．e2 B．e\f(ln2,e) D．ln2解析：∵f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2.又∵f′(x0)＝3，∴x0＝e.答案：B4．設(shè)f(x)＝eq\f(1,\r(3,x2))－eq\f(1,x\r(x))，則f′(1)等于()A．0 \f(1,2)\f(5,6) D．－eq\f(5,6)解析：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\s\up7(\f(2,3))－x－eq\s\up7(\f(3,2))))′＝－eq\f(2,3)x－eq\s\up7(\f(5,3))＋eq\f(3,2)x－eq\s\up7(\f(5,2))，∴f′(1)＝－eq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(5,6).答案：C5．若點(diǎn)P在曲線y＝x3－3x2＋(3－eq\r(3))x＋eq\f(3,4)上移動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)P的切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))解析：y′＝3x2－6x＋3－eq\r(3)＝3(x－1)2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3).又α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).答案：B6．曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2解析：由題可知，點(diǎn)(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導(dǎo)可得y′＝3x2－2，所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(diǎn)(1,0)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得切線方程為y＝x－1.答案：A7．已知f(x)＝eq\f(x3,3)＋3xf′(0)，則f′(1)＝()A．1 B．－1C．0 D．3解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)令x＝0，則f′(0)＝3f′(0)，則f′(0)∴f′(1)＝1＋3f′(0)答案：A8．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．3 B．2C．1 \f(1,2)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－3lnx))′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，令eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)，結(jié)合x＞0，得x＝3.答案：A9．已知y＝eq\f(1,2)sin2x＋sinx，則y′()A．僅有最小值的奇函數(shù)B．既有最大值又有最小值的偶函數(shù)C．僅有最大值的偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x＋sinx))′＝eq\f(1,2)(sin2x)′＋(sinx)′＝eq\f(1,2)·cos2x·2＋cosx＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,4)))2－eq\f(9,8)，∴y′max＝2，y′min＝－eq\f(9,8)，且y′＝2cos2x＋cosx－1為偶函數(shù)．答案：B10．若曲線C：y＝x3－2ax2＋2ax上任意點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，那么整數(shù)a的值等于()A．－2 B．0C．1 D．－1解析：y′＝3x2－4ax＋2a∵曲線在任意點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，∴3x2－4ax＋2a＞0恒成立∴Δ＝16a2－24a＜0，∴0＜a＜eq\f(3,2).又a∈Z，∴a＝1.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．設(shè)曲線y＝xn＋1－2(n∈N＋)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值為________________．解析：由y＝xn＋1－2，得y′＝(n＋1)xn，則在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴l(xiāng)og2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010＝log2011(x1·x2·…·x2010)＝log2011eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(2010,2011)))＝log2011eq\f(1,2011)＝－1.答案：－112．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程是________________．解析：∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y′有最小值3，即斜率最小為3.此時(shí)切點(diǎn)為(－1，－14)，所以切線方程為3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝013．已知過曲線y＝x3＋bx＋c上一點(diǎn)A(1,2)的切線為y＝x＋1，則bc的值為_________．解析：f′(1)＝(3x2＋b)|x＝1＝3＋b＝1，所以b＝－2.所以y＝x3－2x＋c，所以2＝1－2＋c，所以c＝3，從而bc＝－6.答案：－614．若曲線f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．解析：∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，∴由題知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)，∴a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(x5＋\r(x)＋sinx,x2)；(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(3)y＝eq\f(1－sinx,1＋cosx)；(4)y＝a3xcos(2x＋1)．解析：(1)y＝eq\f(x5＋\r(x)＋sinx,x2)＝x3＋x－eq\f(3,2)＋x－2sinx.∴y′＝3x2－eq\f(3,2)x－eq\f(5,2)－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5.∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－sinx,1＋cosx)))′＝eq\f(1－sinx′1＋cosx－1－sinx1＋cosx′,1＋cosx2)＝eq\f(sinx－cosx－1,1＋cosx2).(4)y′＝[a3xcos(2x＋1)]′＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′＝a3xlna·(3x)′cos(2x＋1)＋a3x·[－sin(2x＋1)]·(2x＋1)′＝3a3xlna·cos(2x＋1)－2a3xsin(2＝a3x[3lna·cos(2x＋1)－2sin(2x＋1)]．16．(本小題滿分12分)偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖像過點(diǎn)P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解析：∵f(x)的圖像過P(0,1)點(diǎn)，∴e＝1.又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2，∴可知切點(diǎn)為(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a∴a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2).∴函數(shù)y＝f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．解析：(1)f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率k＝f′(2)＝13，∴切線方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵l過點(diǎn)(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.∴直線l：y＝13x.切點(diǎn)(－2，－26)．18．(本小題滿分14分)已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2，若直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程．解析：依題意，設(shè)直線l與C1相切于點(diǎn)P(x1，xeq\o\al(2,1))，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，－(x2－2)2)．對(duì)于C1：y′＝2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)；對(duì)于C2：y′＝－2(x－2)，則與C2相切于點(diǎn)