高中數(shù)學人教A版2第二章推理與證明 獲獎作品

第二章2.2.一、選擇題(每小題5分，共20分)1．關(guān)于反證法的說法正確的有()①反證法的應(yīng)用需要逆向思維；②反證法是一種間接證明方法，否定結(jié)論時，一定要全面否定；③反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾；④使用反證法必須先否定結(jié)論，當結(jié)論的反面出現(xiàn)多種可能時，論證一種即可．A．①② B．①③C．②③ D．③④解析：容易判斷①②是正確的；反證法推出的矛盾可以與已知相矛盾，故③錯誤；當結(jié)論的反面出現(xiàn)多種可能時，應(yīng)對這幾種可能全部進行論證，故④錯誤．故選A.答案：A2．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)不能被5整除解析：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B3．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的假設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)解析：“恰有一個偶數(shù)”的反面是“沒有偶數(shù)或至少有2個偶數(shù)”．故選D.答案：D4．對于定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，如果存在實數(shù)x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函數(shù)f(x)的一個好點．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點，那么a的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋1存在好點，亦即方程f(x)＝x有實數(shù)根，所以x2＋(2a－1)x則Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2)，故當f(x)不存在好點時，a的取值范圍是－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2023·衡水中學高二檢測)命題“a，b是實數(shù)，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝1，b＝1”，用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為________________解析：“a＝1，b＝1”的反面是“a，b不都等于1”，即“a，b中至多有一個等于答案：a，b中至多有一個等于16．在用反證法證明“已知p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2”時的反設(shè)為________，得出的矛盾為________________解析：假設(shè)p＋q>2，則p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，將p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0，∴(q－1)2<0這不可能．(同理也可得到(p－1)2<0)∴p＋q≤2.答案：p＋q>2(q－1)2<0(或(p－1)2<0)三、解答題(每小題10分，共20分)7．若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y(tǒng)2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求證：a，b，c中至少有一個大于0.證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一個大于0.8．已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．9.(10分)若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，試求實數(shù)a解析：假設(shè)三個方程均無實數(shù)根，則有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16a2－4－4a＋3<0，,Δ2＝a－12－4a2<0，,Δ3＝4a2－4－2a<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs