高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理【區(qū)一等獎(jiǎng)】

“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一、三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)能認(rèn)識(shí)楊輝三角，并能利用它解決實(shí)際問(wèn)題．(2)記住二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能解決相關(guān)問(wèn)題．2．過(guò)程與方法通過(guò)觀察、分析楊輝三角數(shù)表的特點(diǎn)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)“楊輝三角”的學(xué)習(xí)，了解中華民族的歷史，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義意識(shí)．二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．難點(diǎn)：楊輝三角的結(jié)構(gòu)．教學(xué)時(shí)從先簡(jiǎn)單(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展開(kāi)式中系數(shù)出發(fā)，進(jìn)一步過(guò)渡到楊輝三角的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生由淺入深地認(rèn)識(shí)楊輝三角，從而化解難點(diǎn)．引導(dǎo)學(xué)生建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)之間關(guān)系的直覺(jué)，通過(guò)例題與練習(xí)讓學(xué)生應(yīng)用性質(zhì)解決問(wèn)題，更深地理解性質(zhì)，以強(qiáng)化重點(diǎn)、化解難點(diǎn)．三、教學(xué)建議本節(jié)課是將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái)，主要是因?yàn)椤皸钶x三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，由它可以直觀看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，教學(xué)時(shí)應(yīng)采用啟發(fā)探究式教學(xué)，讓學(xué)生在觀察中歸納總結(jié)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，在教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀，數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思考，這對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成證明思路有很大好處．四、教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出問(wèn)題．?引導(dǎo)學(xué)生回答所提問(wèn)題，認(rèn)識(shí)楊輝三角、理解二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)．?通過(guò)例1及互動(dòng)探究，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)楊輝三角的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．?通過(guò)例2及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握展開(kāi)式系數(shù)和的求法．?通過(guò)例3及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握二項(xiàng)式系數(shù)的綜合應(yīng)用．?歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)．?完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)，并進(jìn)行反饋、矯正．課標(biāo)解讀1.使學(xué)生建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)之間的直覺(jué)，并探索其中的規(guī)律．2.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．3.掌握“賦值法”并會(huì)靈活運(yùn)用.“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【問(wèn)題導(dǎo)思】(1)觀察“楊輝三角”發(fā)現(xiàn)規(guī)律①第一行中各數(shù)之和為多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎樣的結(jié)論？②觀察第3行中2與第2行各數(shù)之間什么關(guān)系？第4行中3與第2行各數(shù)之間什么關(guān)系？第5行中的4、6與第4行各數(shù)之間有什么關(guān)系？由此你能得出怎樣的結(jié)論？【提示】(1)①20,21,22,23,24，第n行各數(shù)之和為2n－1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相鄰兩行中，除1外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，設(shè)Ceq\o\al(r,n＋1)表示任一不為1的數(shù)，則它“肩上”兩數(shù)分別為Ceq\o\al(r－1,n)，Ceq\o\al(r,n)，所以Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n).1．楊輝三角的特點(diǎn)(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等．(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n).2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：在(a＋b)n的展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(2)增減性與最大值：當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的．由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\f(n,2)n取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n相等，且同時(shí)取得最大值．3．二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題圖1－3－1例1如圖1－3－1所示，在“楊輝三角”中，從1開(kāi)始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，求S16的值．【思路探究】觀察數(shù)列的特點(diǎn)、它在楊輝三角中的位置，或者聯(lián)系二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，直接對(duì)數(shù)列求和即可．【自主解答】由題意及楊輝三角的特點(diǎn)可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(1,9))＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,9))＋(2＋3＋…＋9)＝Ceq\o\al(3,10)＋eq\f(8×2＋9,2)＝164.解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路：(1)觀察：對(duì)題目進(jìn)行多角度觀察，找出每一行的數(shù)與數(shù)之間，行與行之間的數(shù)的規(guī)律．(2)表達(dá)：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)．(3)結(jié)論：由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論．本例條件不變，若改為求S21，則結(jié)果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,11)＋Ceq\o\al(1,11))＋Ceq\o\al(2,12)＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋……Ceq\o\al(2,12))＋(2＋3＋…＋11)＝Ceq\o\al(3,13)＋eq\f(2＋11×10,2)＝286＋65＝351.設(shè)(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012·x2012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2012|的值．【思路探究】先觀察所要求的式子與展開(kāi)式各項(xiàng)的特點(diǎn)，用賦值法求解．【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2012＝(－1)2012＝1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2012＝32012.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2011)＝1－32012，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2011＝eq\f(1－32012,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2023)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2012)·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2012|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2012＝32012.1．本題根據(jù)問(wèn)題恒等式的特點(diǎn)采用“特殊值”法即“賦值法”，這是一種重要的方法，適用于恒等式．2．“賦值法”是解決二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開(kāi)式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項(xiàng)，令x＝1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.【解】(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②由①、②得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094，a0＋a2＋a4＋a6＝1093.例3已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【思路探究】求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用性質(zhì)知展開(kāi)式中中間項(xiàng)(或中間兩項(xiàng))是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，必須將x，y的系數(shù)均考慮進(jìn)去，包括“＋”、“－”號(hào)．【自主解答】令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數(shù)，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是假設(shè)Tr＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5！,5－r！r！)×3≥\f(5！,6－r！r－1！)，,\f(5！,5－r！r！)≥\f(5！,4－r！r＋1！)×3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∵r∈N，∴r＝4.1．求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．2．求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得．求(1＋2x)7的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與系數(shù)最大項(xiàng)．【解】在二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(0,7)，Ceq\o\al(1,7)，Ceq\o\al(2,7)，…，Ceq\o\al(7,7)中，最大的是Ceq\o\al(3,7)與Ceq\o\al(4,7)，故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第4項(xiàng)與第5項(xiàng)，即T4＝Ceq\o\al(3,7)(2x)3＝280x3與T5＝Ceq\o\al(4,7)(2x)4＝560x4.設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Tr＋1≥Tr，,Tr＋1≥Tr＋2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,7)2r≥C\o\al(r－1,7)2r－1，,C\o\al(r,7)2r≥C\o\al(r＋1,7)2r＋1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3r≤16，,3r≥13，))由于r是整數(shù)，故r＝5，所以系數(shù)最大的是第6項(xiàng)，即T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)5＝672x5.忽視二項(xiàng)式系數(shù)和致誤例4已知(2x－1)n二項(xiàng)展開(kāi)式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值為()A．28B．28－1C．27D．27－1【錯(cuò)解】設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令A(yù)＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，由題意知B－A＝38.令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8.由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得，aeq\o\al(1,n)＋aeq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n＝28【答案】A【錯(cuò)因分析】誤將Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)看作是二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，忽略了Ceq\o\al(0,n).【防范措施】(1)解答本題應(yīng)認(rèn)真審題，搞清已知條件以及所要求的結(jié)論，避免失誤．(2)解決此類問(wèn)題時(shí)，要對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)熟練把握，尤其是賦值法，要根據(jù)題目的要求，靈活賦給字母所取的不同值．【正解】設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得：Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1.【答案】B二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的形成過(guò)程體現(xiàn)了觀