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(本欄目內(nèi)容,在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂!)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.?dāng)?shù)列9,99,999,9999…的前n項(xiàng)和等于()A.10n-1 \f(10,9)(10n-1)-n\f(10,9)(10n-1) \f(10,9)(10n-1)+n解析:an=10n-1∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)=(10+102+…+10n)-n=eq\f(1010n-1,9)-n.答案:B2.?dāng)?shù)列1,eq\f(1,1+2),eq\f(1,1+2+3),…,eq\f(1,1+2+3+…+n)的前n項(xiàng)和Sn等于()\f(3n-1,n+1) \f(2n,n+1)\f(3n,n+1) \f(4n,n+3)解析:an=eq\f(2,nn+1)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)-\f(1,n+1))),所以Sn=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)+\f(1,2)-\f(1,3)+…+\f(1,n-1)-\f(1,n)+\f(1,n)-\f(1,n+1)))=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,n+1)))=eq\f(2n,n+1).答案:B3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n+1,由bn=eq\f(a1+a2+a3+…+an,n)所確定的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和是()A.n(n+2) \f(1,2)n(n+4)\f(1,2)n(n+5) \f(1,2)n(n+7)解析:a1+a2+…+an=eq\f(n,2)(2n+4)=n2+2n.∴bn=n+2,∴bn的前n項(xiàng)和Sn=eq\f(nn+5,2).答案:C4.設(shè)數(shù)列1,(1+2),(1+2+4),…,(1+2+22+…+2n-1)的前m項(xiàng)和為2036,則m的值為()A.8 B.9C.10 D.11解析:an=2n-1,Sn=2n+1-n-2,代入選項(xiàng)檢驗(yàn),即得m=10.答案:C二、填空題(每小題5分,共10分)5.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+),則S100=________.解析:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2-an=0,故奇數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列{1}.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2-an=2,故偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列.S100=50×1+eq\f(502+100,2)=2600.答案:26006.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=eq\f(1,n2+3n+2),則前n項(xiàng)和Sn=________.解析:an=eq\f(1,n2+3n+2)=eq\f(1,n+1n+2)=eq\f(1,n+1)-eq\f(1,n+2),Sn=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,3)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)-\f(1,4)))+…+(eq\f(1,n+1)-eq\f(1,n+2))=eq\f(1,2)-eq\f(1,n+2)=eq\f(n,2n+4).答案:eq\f(n,2n+4)三、解答題(每小題10分,共20分)7.(1)已知等差數(shù)列{an}.①a1=eq\f(5,6),an=-eq\f(3,2),Sn=-5,求n和d;②a1=4,S8=172,求a8和d.(2)在等比數(shù)列{an}中,①S2=30,S3=155,求Sn;②a1+a3=10,a4+a6=eq\f(5,4),求S5.解析:(1)①由題意,得eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)-\f(3,2))),2)=-5,解得n=15.因?yàn)閍15=eq\f(5,6)+(15-1)d=-eq\f(3,2),所以d=-eq\f(1,6).②由已知,得172=eq\f(84+a8,2),解得a8=39.因?yàn)閍8=4+(8-1)d=39,所以d=5.(2)①由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11+q=30,,a11+q+q2=155,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=5,,q=5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=180,,q=-\f(5,6),))從而Sn=eq\f(1,4)×5n+1-eq\f(5,4)或Sn=eq\f(1080\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(5,6)))n)),11).②方法一:由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+a1q2=10,,a1q3+a1q5=\f(5,4),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=8,,q=\f(1,2),))從而S5=eq\f(a11-q5,1-q)=eq\f(31,2).方法二:由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=eq\f(1,8).從而q=eq\f(1,2).又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,從而S5=eq\f(a11-q5,1-q)=eq\f(31,2).8.求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2n)))的前n項(xiàng)和Sn.解析:由an=eq\f(n,2n)得,Sn=1×eq\f(1,2)+2×eq\f(1,4)+3×eq\f(1,8)+…+(n-1)×eq\f(1,2n-1)+n×eq\f(1,2n),①則eq\f(1,2)Sn=1×eq\f(1,4)+2×eq\f(1,8)+3×eq\f(1,16)+…+(n-1)×eq\f(1,2n)+n×eq\f(1,2n+1)②①-②得,eq\f(1,2)Sn=eq\f(1,2)+eq\f(1,4)+eq\f(1,8)+…+eq\f(1,2n)-n×eq\f(1,2n+1)=eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2n))),1-\f(1,2))-n×eq\f(1,2n+1)=1-eq\f(1,2n)-eq\f(n,2n+1),∴Sn=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2n)-\f(n,2n+1)))=2-eq\f(1,2n-1)-eq\f(n,2n).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9.(10分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析:(1)由已知,當(dāng)n≥1時(shí),an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
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