高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列 市賽獲獎(jiǎng)

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．?dāng)?shù)列9,99,999,9999…的前n項(xiàng)和等于()A．10n－1 \f(10,9)(10n－1)－n\f(10,9)(10n－1) \f(10,9)(10n－1)＋n解析：an＝10n－1∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n＝eq\f(1010n－1,9)－n.答案：B2．?dāng)?shù)列1，eq\f(1,1＋2)，eq\f(1,1＋2＋3)，…，eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)的前n項(xiàng)和Sn等于()\f(3n－1,n＋1) \f(2n,n＋1)\f(3n,n＋1) \f(4n,n＋3)解析：an＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).答案：B3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n＋1，由bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)所確定的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和是()A．n(n＋2) \f(1,2)n(n＋4)\f(1,2)n(n＋5) \f(1,2)n(n＋7)解析：a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n,2)(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(nn＋5,2).答案：C4．設(shè)數(shù)列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)的前m項(xiàng)和為2036，則m的值為()A．8 B．9C．10 D．11解析：an＝2n－1，Sn＝2n＋1－n－2，代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，即得m＝10.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，則S100＝________.解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋2－an＝0，故奇數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列{1}．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋2－an＝2，故偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列．S100＝50×1＋eq\f(502＋100,2)＝2600.答案：26006．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,n2＋3n＋2)，則前n項(xiàng)和Sn＝________.解析：an＝eq\f(1,n2＋3n＋2)＝eq\f(1,n＋1n＋2)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)，Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋(eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)＝eq\f(n,2n＋4).答案：eq\f(n,2n＋4)三、解答題(每小題10分，共20分)7．(1)已知等差數(shù)列{an}．①a1＝eq\f(5,6)，an＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；②a1＝4，S8＝172，求a8和d.(2)在等比數(shù)列{an}中，①S2＝30，S3＝155，求Sn；②a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求S5.解析：(1)①由題意，得eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－\f(3,2))),2)＝－5，解得n＝15.因?yàn)閍15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，所以d＝－eq\f(1,6).②由已知，得172＝eq\f(84＋a8,2)，解得a8＝39.因?yàn)閍8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.(2)①由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6)，))從而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11).②方法一：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).方法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq\f(1,8).從而q＝eq\f(1,2).又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).8．求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2n)))的前n項(xiàng)和Sn.解析：由an＝eq\f(n,2n)得，Sn＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,8)＋…＋(n－1)×eq\f(1,2n－1)＋n×eq\f(1,2n)，①則eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,8)＋3×eq\f(1,16)＋…＋(n－1)×eq\f(1,2n)＋n×eq\f(1,2n＋1)②①－②得，eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n)－n×eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－n×eq\f(1,2n＋1)＝1－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，∴Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)－\f(n,2n＋1)))＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式