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單元測評(一)計數(shù)原理(A卷)(時間:90分鐘滿分:120分)第Ⅰ卷(選擇題,共50分)一、選擇題:本大題共10小題,共50分.1.從甲、乙等10個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動,要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有()A.70種 B.112種C.140種 D.168種解析:方法一(直接法):分類完成:第1類,甲參加或乙參加,有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)種挑選方法;第2類,甲、乙都參加,有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,8)種挑選方法.所以不同的挑選方法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)+Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,8)=140種.方法二(間接法):從甲、乙等10人中挑選4人共有Ceq\o\al(4,10)種挑選方法,甲、乙兩人都不參加挑選方法有Ceq\o\al(4,8)種,所以甲、乙兩人中至少有1人參加的不同的挑選方法有Ceq\o\al(4,10)-Ceq\o\al(4,8)=140種.答案:C2.五本不同的書在書架上排成一排,其中甲,乙兩本必須連排,而丙,丁兩本不能連排,則不同的排法共有()A.12種 B.20種C.24種 D.48種解析:甲,乙看作一本,除去丙,丁后排列,再將丙,丁插入,共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)=2×3×2×2=24種.答案:C3.在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2-\f(1,x)))5的展開式中,含x4的項的系數(shù)是()A.-5 B.5C.-10 D.10解析:Tk+1=Ceq\o\al(k,5)·(x2)5-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,x)))k=Ceq\o\al(k,5)·x10-2k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k·(-1)k=Ceq\o\al(k,5)·x10-3k·(-1)k.由10-3k=4知k=2,即含x4的項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)(-1)2=10.答案:D4.如圖,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同的涂色方法種數(shù)為()A.320 B.160C.96 D.60解析:按③→①→②→④的順序涂色,有Ceq\o\al(1,5)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)=5×4×4×4=320種不同的方法.答案:A5.一次考試中,要求考生從試卷上的9個題目中選出6個進行答題,要求至少包含前5個題目中的3個,則考生答題的不同選法的種數(shù)是()A.40 B.74C.84 D.200解析:可按包括前5個題的個數(shù)分類,共有不同的選法Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)+Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(1,4)=74種.答案:B6.從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24 B.18C.12 D.6解析:若選0,則0只能在十位,此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是Aeq\o\al(2,3)=6;若選2,則2只能在十位或百位,此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是2×Aeq\o\al(2,3)=12,根據(jù)分類加法計數(shù)原理得總個數(shù)為6+12=18.答案:B7.若(2x+eq\r(3))4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為()A.1 B.-1C.0 D.2解析:(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+eq\r(3))4×(-2+eq\r(3))4=1.答案:A8.4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場音樂會,出場的順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手,共有出場方案的種數(shù)是()A.6Aeq\o\al(3,3) B.3Aeq\o\al(3,3)C.2Aeq\o\al(3,3) D.Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)解析:先選一名男歌手排在兩名女歌手之間,有Aeq\o\al(1,4)種選法,這兩名女歌手有Aeq\o\al(2,2)種排法,把這三人作為一個元素,與另外三名男歌手排列有Aeq\o\al(4,4)種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種出場方案.答案:D9.有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照,其中甲不排在乙的左邊,又不與乙相鄰,則不同的站法有()A.24種 B.36種C.60種 D.66種解析:先排甲、乙外的3人,有Aeq\o\al(3,3)種排法,再插入甲、乙兩人,有Aeq\o\al(2,4)種方法,又甲排在乙的左邊和甲排在乙的右邊各占eq\f(1,2),故所求不同的站法有eq\f(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)=36(種).答案:B10.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是()A.72 B.96C.108 D.144解析:從2,4,6三個偶數(shù)中選一個數(shù)放在個位,有Ceq\o\al(1,3)種方法,將其余兩個偶數(shù)全排列,有Aeq\o\al(2,2)種排法,當(dāng)1,3不相鄰且不與5相鄰時有Aeq\o\al(3,3)種方法,當(dāng)1,3相鄰且不與5相鄰時有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)種方法,故滿足題意的偶數(shù)個數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)(Aeq\o\al(3,3)+Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3))=108個.答案:C第Ⅱ卷(非選擇題,共70分)二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.11.從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選出三名同學(xué),分別參加三個不同科目的競賽,其中甲同學(xué)必須參賽,則不同的參賽方案共有__________種.解析:從除甲外的乙,丙,丁三名同學(xué)中選出兩人有Ceq\o\al(2,3)種選法,再將3人安排到三個科目,有Aeq\o\al(3,3)種不同排法,因此共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)=18種不同方案.答案:18\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)+\f(1,x)+\r(2)))5的展開式中的常數(shù)項為__________(用數(shù)字作答).解析:(化簡三項為二項):原式=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2+2\r(2)x+2,2x)))5=eq\f(1,32x5)·[(x+eq\r(2))2]5=eq\f(1,32x5)·(x+eq\r(2))10.求原式的展開式中的常數(shù)項,轉(zhuǎn)化為求(x+eq\r(2))10的展開式中含x5項的系數(shù),即Ceq\o\al(5,10)·(eq\r(2))5.所以所求的常數(shù)項為eq\f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)=eq\f(63\r(2),2).答案:eq\f(63\r(2),2)13.今有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加以區(qū)分,將這9個球排成一列有__________種不同的方法(用數(shù)字作答).解析:只需找到不同顏色的球所在的位置即可,有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)=1260種.答案:126014.某校邀請6位學(xué)生的父母共12人,請這12位家長中的4位介紹其對子女的教育情況,如果這4位家長中恰有一對是夫妻,那么不同的選擇方法有__________種.解析:先從6對夫妻中任選出一對,有Ceq\o\al(1,6)種不同的選法,再從其余的10人中任選出2人,有Ceq\o\al(2,10)種選法,其中這2人恰好是一對夫妻的選法有Ceq\o\al(1,5)種,所以共有Ceq\o\al(1,6)(Ceq\o\al(2,10)-Ceq\o\al(1,5))=240種不同選法.答案:240三、解答題:本大題共4小題,滿分50分.15.(12分)已知二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x-\f(1,\r(x))))n展開式中各項系數(shù)之和比各二項式系數(shù)之和大240,(1)求n;(2)求展開式中含x項的系數(shù);(3)求展開式中所有含x的有理項.解:(1)由已知得:4n-2n=240,2n=16,n=4.(2分)(2)二項展開式的通項為:Ceq\o\al(r,4)(5x)4-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,\r(x))))r=Ceq\o\al(r,4)54-r(-1)rx4-eq\f(3,2)r,令4-eq\f(3,2)r=1?r=2所以含x項的系數(shù):Ceq\o\al(2,4)52(-1)2=150.(7分)(3)由(2)得:4-eq\f(3,2)r∈Z,(r=0,1,2,3,4),即r=0,2,4.所以展開式中所有含x的有理項為:第1項625x4,第3項150x,第5項x-2.(12分)16.(12分)一棟7層的樓房備有電梯,在一樓有甲、乙、丙三人進了電梯,求滿足有且僅有一人要上7樓,且甲不在2樓下電梯的所有可能情況的種數(shù).解:由題意知需要分兩類:第1類,甲上7樓,乙和丙在2,3,4,5,6層樓每個人有5種下法,共有52種;(5分)第2類,甲不上7樓,則甲有4種下法,乙和丙選一人上7樓,另一人有5種下法,共有4×2×5種.(10分)根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共有52+4×2×5=65種可能情況.(12分)17.(12分)現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,315是從小到大排列的第幾個數(shù)?(3)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(4)選出一個偶數(shù)和三個奇數(shù),組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),這樣的四位數(shù)共有多少個?(5)如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由大到小的順序排列,則稱此正整數(shù)為“漸減數(shù)”,那么由這十個數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有多少個?解:(1)可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)Aeq\o\al(1,9)Aeq\o\al(2,9)=648(個);(2分)(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,315是從小到大排列的第Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)+Aeq\o\al(1,8)+Aeq\o\al(1,4)=156(個);(4分)(3)可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)Aeq\o\al(3,9)+Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,8)Aeq\o\al(2,8)=2296(個).(分0占個位和0不占個位兩種情況).(6分)(4)選出一個偶數(shù)和三個奇數(shù),組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),這樣的四位數(shù)有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)=1140(個).(分選出的偶數(shù)是0和不是0兩種情況)(9分)(5)由這十個數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有Ceq\o\al(2,10)+Ceq\o\al(3,10)+Ceq\o\al(4,10)+…+Ceq\o\al(10,10)=210-Ceq\o\al(0,10)-Ceq\o\al(1,10)=1013(個).(12分)18.(14分)10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中,從中任意取出4只,試求出現(xiàn)如下結(jié)果時,各有多少種情況?(1)4只鞋子沒有成雙的;(2)4只鞋子恰成兩雙;(3)4只鞋子有2只成雙,另兩只不成雙.解:(1)從10雙鞋子中選取4雙,有Ceq\o
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