概率論和數(shù)理分析第七章

第七章假設(shè)檢驗(yàn)

統(tǒng)計推斷的另一類重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)問題.

在總體的分布函數(shù)類型已知，但參數(shù)未知或分布函數(shù)完全未知的情況下，為了推斷總體的某些未知特性，需要提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從二項(xiàng)分布的假設(shè)，或者，對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望等于的假設(shè)等，然后根據(jù)樣本所提供的信息去檢驗(yàn)所作的假設(shè)是否合理.經(jīng)檢驗(yàn)后，若假設(shè)合理，就接受這個假設(shè)，否則就拒絕這個假設(shè).這種首先提出假設(shè)，然后由樣本信息來決策是否接受假設(shè)的過程稱為假設(shè)檢驗(yàn).本章主要內(nèi)容

第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)概述第二節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)兩個正態(tài)總體參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)重點(diǎn)介紹第一節(jié)和第二節(jié)一、三種典型問題:已知總體的樣本資料,要求推斷①該總體的均值是否等于某值?②兩總體的方差是否相等?③該總體的分布是否為某種分布?0.4970.5060.5180.5240.4480,5110.5100.5150.512問這天包裝機(jī)的工作是否正常?問題1

某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖,額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重0.5公斤.設(shè)包裝機(jī)稱得的糖重服從正態(tài)分布,并知起標(biāo)準(zhǔn)差=0.015(公斤).某天開工后,為檢驗(yàn)包裝機(jī)的工作是否正常,速記抽取它包裝的糖9袋,稱得凈重為:

第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)概述總體的均值是否等于額定值0.5？問題2在甲乙兩臺機(jī)床上加工同一種零件的外圓(公差要求相同),現(xiàn)從它們加工的產(chǎn)品中各抽取8件,測得其外徑如下:甲:10.28,10.34,10.45,10.29,10.247,10.30乙:10.30,10.34,10.36,10.24,10.38,10.48,問它們的加工質(zhì)量有無差別?設(shè)X、Y分別表示甲乙機(jī)床加工零件的外徑，問題為檢驗(yàn)假設(shè)H0:“E(X)=E(Y)”嗎?即兩總體期望相等嗎？問題3

如測得總體X的一組樣本值(x1,x2,…xn),

問X是否服從N(,2)?即檢驗(yàn)假設(shè)H0:“X~N(,2)”是否成立假設(shè)檢驗(yàn):從樣本出發(fā),判斷一種假設(shè)“H0”是否成立的問題稱為假設(shè)檢驗(yàn)問題.問題1、2是參數(shù)檢驗(yàn),問題3是分布檢驗(yàn)

所以假設(shè)檢驗(yàn)按檢驗(yàn)對象分類可分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)（我們只講參數(shù)檢驗(yàn)）假設(shè)檢驗(yàn)就是對總體X作某種假設(shè)，然后依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，判定假設(shè)“H0”是否成立的推斷方法。假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法：類似于反證法，但是帶有概率性質(zhì)，具體說就是為了檢驗(yàn)一個假設(shè)是否成立，先假定這個假設(shè)成立，在此前提之下進(jìn)行推導(dǎo)，看會得到什么結(jié)果，如果導(dǎo)致了一個不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則表明假定該假設(shè)成立不正確，即原假設(shè)不能成立，此時，拒絕這個假設(shè)；如果沒有導(dǎo)致不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則接受這個假設(shè)，其中“不合理想象”的標(biāo)準(zhǔn)是：小概率原理

可以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中小概率事件不會發(fā)生.在假設(shè)成立的前提下，如果小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，則實(shí)屬反常，有理由懷疑假設(shè)不成立.引例1

某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖，額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重0.5公斤。設(shè)實(shí)際袋重服從正態(tài)分布，且=0.015。某天開工后，隨機(jī)抽取9袋，稱得凈重為

0.497,0.560,0.518,0.524,0.489,0.511,0.510,0.515,0.512.

問包裝機(jī)的工作是否正常?

二、問題的引出思考：怎樣算是“包裝機(jī)的工作正?！?？總體的均值是否等于0.5？平均袋重應(yīng)當(dāng)穩(wěn)定在額定標(biāo)準(zhǔn)！當(dāng)H0為真時如果過分大,則有理由懷疑H0的正確性，從而拒絕H0分析記包裝機(jī)所包裝的糖的重量為X,則假設(shè)H0：=0=0.5

，代入樣本值，計算可得小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此，我們有理由認(rèn)為，假設(shè)H0不真，而拒絕之。有理由認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常。{|U|≥1.96}是一個概率很小的事件！比如取=0.05，就有當(dāng)H0為真時從而拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為包裝機(jī)的工作不正常。臨界值點(diǎn)解:假設(shè)H0：=0=0.5，記H1：≠0=0.5，由于X～N(0，2),故檢驗(yàn)統(tǒng)計量對于給定的=0.05，檢驗(yàn)水平有P{|U|>z/2=1.96}=0.05拒絕域?qū)嶋H計算得原假設(shè)備擇假設(shè)當(dāng)H0為真時，說明接受域和拒絕域/2/2接受域拒絕域拒絕域原假設(shè):是接受檢驗(yàn)的假設(shè),記作H0備擇假設(shè):當(dāng)原假設(shè)被否定時生效的另一種假設(shè),記作H1.也叫對立假設(shè)注意:原假設(shè)和備擇假設(shè)是相互對立的.原假設(shè)和備擇假設(shè)統(tǒng)稱為統(tǒng)計假設(shè).例如,關(guān)于總體平均值的假設(shè)有三種:①H0:=0

H1:≠0

②H0:=0

H1:<0

③H0:=0

H1:>0

第一種類型的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙邊檢驗(yàn),第二種為左邊檢驗(yàn)、第三種為右邊檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)按拒絕域分類可分為雙邊檢驗(yàn)、左邊檢驗(yàn)和右邊檢驗(yàn)三、假設(shè)檢驗(yàn)方法分析:1、假設(shè)檢驗(yàn)的一般方法:“棄真”錯誤概率：兩種易犯的錯誤P{拒絕H0|H0為真}=P{U落入拒絕域|H0為真}=

。“納偽”錯誤概率：P{接受H0|H0為假}=P{U沒落入拒絕域|H0為假}大小沒法確定??！事實(shí):n一定時,其一減小必導(dǎo)致另一個的增大;n充分大時,

二者可同時減小.顯著性檢驗(yàn):只控制“棄真”錯誤概率,而不考慮“納偽”錯誤概率的檢驗(yàn).顯著性檢驗(yàn)水平:顯著性檢驗(yàn)中“棄真”錯誤概率的控制水平.四、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟:⑴提出假設(shè)：提出原假設(shè)H0.及備擇假設(shè)H1⑵選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計量：該檢驗(yàn)統(tǒng)計量必須包含待檢驗(yàn)的參數(shù)，且在原假設(shè)成立的條件下知其分布.⑶確定拒絕域：根據(jù)顯著性水平,即所允許犯第一類錯誤的概率,求出拒絕域或臨界點(diǎn),并注意是單邊檢驗(yàn)還是雙邊檢驗(yàn).⑷做出判決：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算統(tǒng)計量的實(shí)測值,將實(shí)測值與拒絕域?qū)φ?若實(shí)測值落入拒絕域,則否定原假設(shè),否則接受原假設(shè).一、均值μ的假設(shè)檢驗(yàn)二、方差σ2的假設(shè)檢驗(yàn)2.方差σ2未知的情況1.方差σ2已知的情況第二節(jié)單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1、單個正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)例2一種燃料的辛烷等級服從正態(tài)分布，其平均等級,標(biāo)準(zhǔn)差,現(xiàn)抽取25桶新油，算得平均等級為97.7，假定標(biāo)準(zhǔn)差與原來一樣，問新油的辛烷平均等級是否比原燃料的辛烷平均等級偏低?解

按題意需在水平下檢驗(yàn)假設(shè)：因已知，取檢驗(yàn)統(tǒng)計量

拒絕域（參閱表7-1）為,即拒絕域?yàn)橛嬎憬y(tǒng)計值作出統(tǒng)計結(jié)論

故落在拒絕域，所以應(yīng)拒絕，接受H1即認(rèn)為新油的辛烷平均等級在給定水平下比原燃料的辛烷平均等級偏低例3

某工廠所產(chǎn)某種產(chǎn)品的壽命X～Ｎ(,2),在正常情況0=40,0=2.技術(shù)革新后隨機(jī)取產(chǎn)品25件,測得壽命均值為40.75.設(shè)革新后方差沒變,問革新后產(chǎn)品質(zhì)量是否較以前有顯著提高(=0.05)？分析：故假設(shè)H0

:=0=40；H1:>0=40由于只考慮質(zhì)量是否提高,所以是單邊檢驗(yàn).因已知，取檢驗(yàn)統(tǒng)計量

拒絕域（參閱表7-1）為,即拒絕域?yàn)橛嬎憬y(tǒng)計值所以拒絕H0,而接受H1；也就是說,技術(shù)革新后,產(chǎn)品的壽命在水平=0.05下有了顯著提高。與正態(tài)總體期望的假設(shè)檢驗(yàn)類似，在水平

下，方差檢驗(yàn)也有以下三種類型：①

，②，③，

二、單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

不論總體的期望是否已知，當(dāng)為真時，均選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計量雙邊檢驗(yàn)情形由于:

故方差的雙邊檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)橛疫厵z驗(yàn)和左邊檢驗(yàn)的拒絕域分別是如下圖7所示：檢驗(yàn)法.因檢驗(yàn)統(tǒng)計量服從分布，故此類檢驗(yàn)法稱為解：厘米，現(xiàn)隨機(jī)抽取了5個部件，測得它們的例4某公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑服從正態(tài)分布.公司稱它的標(biāo)準(zhǔn)差問（1）我們能認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為厘米嗎？（2）我們能否認(rèn)為？直徑為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取選取檢驗(yàn)統(tǒng)計量因是雙邊檢驗(yàn)，故拒絕域?yàn)閷τ诒绢}:得拒絕域?yàn)橛嬎鉑的數(shù)值落入拒絕域了，故拒絕即認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差不是

厘米例4某公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑服從正態(tài)分布.公司稱它的標(biāo)準(zhǔn)差厘米，現(xiàn)隨機(jī)抽取了5個部件，測得它們的問（1）我們能認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為厘米嗎？（2）我們能否認(rèn)為？直徑為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取選取檢驗(yàn)統(tǒng)計量因是右邊檢驗(yàn)，故拒絕域?yàn)椴榉植急?故拒絕域?yàn)橛嬎鉑的數(shù)值落入拒絕域了，故拒絕即認(rèn)為發(fā)動機(jī)部件直徑的方差超過一、均值差μ1-μ2的假設(shè)檢驗(yàn)二、總體方差比12∕22的檢驗(yàn)2.總體方差σ21,σ22未知的情況1.總體方差σ21,σ22已知的情況第三節(jié)兩個正態(tài)總體參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)一、兩總體X與Y的均值差1-2的檢驗(yàn)（H0：1=2）兩總體X與Y的方差12、22已知時，用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計量——U檢驗(yàn)法。兩總體X與Y的方差12、22未知，但12=22=

2，用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計量——T檢驗(yàn)法。無論兩總體X與Y的均值1、2是否已知，均用

二、兩總體X與Y方差比12∕22的檢驗(yàn)

（H0：12∕

22=1）作為檢驗(yàn)統(tǒng)計量

——F—檢驗(yàn)法。以上這些統(tǒng)計量,你是否已經(jīng)記熟?練習(xí)

一臺車床生產(chǎn)某一型號的滾珠.已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布,規(guī)定直徑的標(biāo)準(zhǔn)值為1(cm),均方差不能超過0.02(cm).現(xiàn)從這臺車床生產(chǎn)的滾珠中抽出9個,測得其直徑為:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？(取檢驗(yàn)水平=0.05)分析：（2）對期望的假設(shè)檢驗(yàn)，單邊還是雙邊?（3）對方差的檢驗(yàn)假設(shè)，單邊還是雙邊?（1）要判斷工作是否正常，需檢驗(yàn)什么？備擇假設(shè)H1應(yīng)取作什么？檢驗(yàn)統(tǒng)計量用哪一個？備擇假設(shè)H1應(yīng)取作什么？檢驗(yàn)統(tǒng)計量用哪一個？設(shè)滾珠的直徑為X，計算其樣本均值為x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。設(shè)滾珠的直徑為X，計算其樣本均值為x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。（1）先在水平=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)

H0：=0=1H1：≠0=1。

取統(tǒng)計量則T～t（9-1）由P{|T|>t0.025}=0.05，查t分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒絕域?yàn)?－,－2.306)∪(2.306，+)，=0.23<2.306故接受H0。解:而|T|的數(shù)值:（2）再在水平=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)

H0：2≤02=0.022,H1：2>02

=0.022取統(tǒng)計量：則Y～2（8）由P{Y>20.05}=0.05,查2分布表得:20.05(8)=15.507,從而拒絕域?yàn)?15.507,+)而Y的數(shù)值y=(8?0.022)0.0262=9.69<15.507,故接受H0。綜合（1）和（2）可以認(rèn)為車床工作正常。1、單個正態(tài)總體均值的總體方差2已知時，總體方差2未知時，檢驗(yàn)統(tǒng)計量檢驗(yàn)統(tǒng)計量—U檢驗(yàn)法—T檢驗(yàn)法①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒絕域①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒絕域本次課小結(jié)檢驗(yàn)樞軸量—2檢驗(yàn)法①H0:2=02

H