計(jì)量地理學(xué)-35-主成分分析

主成分分析的基本原理主成分分析的計(jì)算步驟主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例主成分分析問題的提出地理系統(tǒng)是多變量要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中，多變量問題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無疑會(huì)增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，人們會(huì)很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強(qiáng)有力的工具。主成分分析是把原來多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。主成分分析的基本原理在某多要素地理系統(tǒng)中，假定有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣：地理數(shù)據(jù)樣本數(shù)n，自然是越大越好，也即數(shù)據(jù)矩陣的行數(shù)n越大越好。地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值較大時(shí)，一方面在p維空間中考察問題較為麻煩，另一方面大量變量之間可能有相關(guān)性的重復(fù)。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理。地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值應(yīng)該是少而精。主成分分析是用較少幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新的綜合變量指標(biāo)，則考慮每個(gè)新變量都是由原所有變量的線性加權(quán)總和所構(gòu)成：lij如何確定這些系數(shù)lij？系數(shù)lij的確定原則：①

zi與zj（i≠j;i,j=1,2,…,m）相互無關(guān)；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者；z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者;…

……………………………zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP的所有線性組合中方差最大者。保證新變量之間彼此獨(dú)立沒有相關(guān)性新變量依次分別降序排列地保留原變量所包含的信息這樣得到的新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷系數(shù)lij分別是原變量相關(guān)系數(shù)矩陣的m個(gè)較大特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量。從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分變量zi（i=1，2，…，m）上的荷載

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。載荷系數(shù)lij的確定遵循兩個(gè)原則主成分分析的計(jì)算步驟①計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣②計(jì)算特征值與特征向量③計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率④計(jì)算主成分載荷⑤各主成分的得分?jǐn)?shù)據(jù)基礎(chǔ)求解出待定的系數(shù)lij確定主成分變量個(gè)數(shù)求解主成分變量載荷系數(shù)lij確定主成分變量的數(shù)據(jù)內(nèi)容及貢獻(xiàn)程度①計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣rij(i,j=1,2,…,p)為原變量xi與xj的單相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計(jì)算公式為：②計(jì)算特征值與特征向量求解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列；相關(guān)系數(shù)矩陣特征根個(gè)數(shù)與相關(guān)系數(shù)矩陣的階數(shù)一致，即原變量有p個(gè)，特征根也有p個(gè)。然后再分別求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個(gè)分量。p個(gè)特征根對(duì)應(yīng)于p個(gè)主成分變量，與原變量個(gè)數(shù)相同，沒有達(dá)到數(shù)據(jù)降維要求？③計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率主成分貢獻(xiàn)率：主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率：一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85%~95%的特征值所對(duì)應(yīng)的第1、第2、…、第m（m≤p）個(gè)主成分。一方面新的主成分變量保留了超過85%的原變量信息內(nèi)容；另一方面主成分個(gè)數(shù)m少于原變量個(gè)數(shù)p，達(dá)到了數(shù)據(jù)降維效果。④計(jì)算主成分載荷系數(shù)第i個(gè)主成分的載荷系數(shù)lij的求解：第i個(gè)特征根第i個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量的第j個(gè)分量⑤計(jì)算各主成分的得分Z1Z2Zm主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例對(duì)下表的某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析：解：（1）將原數(shù)據(jù)表中的變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式單相關(guān)系數(shù)公式中來計(jì)算，得出9個(gè)變量的9×9相關(guān)系數(shù)矩陣：（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣R構(gòu)成的特征方程，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的特征值，按照特征根的數(shù)值大小進(jìn)行降序排序，在此基礎(chǔ)上計(jì)算各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率：第3主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），即第1、2、3主成分已可代表原變量的86.596%的信息內(nèi)容。因此，只需要求出第1、第2、第3主成分z1，z2，z3即可。

（3）對(duì)于選擇的3個(gè)主成分的3個(gè)特征值λ1=4.6610，λ2=2.0890，λ3=1.0430，分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式計(jì)算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷lij：第1主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第1主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。第2主成分z2與x2，x4，x5呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第2主成分z2代表了人均資源量。第3主成分z3與x8呈現(xiàn)出的正相關(guān)程度最高，其次是x6，而與x7呈負(fù)相關(guān)，因此可以認(rèn)為第3主成分z3在一定程度上代表了農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)。另外，表中最后一列（占方差的百分?jǐn)?shù)）