山西省大同市同煤集團四老溝中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析

山西省大同市同煤集團四老溝中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.歐拉公式為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)在復平面中位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：B【分析】由歐拉公式,可得=cos2+isin2，表示的復數(shù)在復平面中的象限.【詳解】解：由歐拉公式，可得=cos2+isin2，此復數(shù)在復平面中對應的點為（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，可得此點位于第二象限，故選B.2.若復數(shù)z滿足2z+=3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i參考答案：B【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】設出復數(shù)z，通過復數(shù)方程求解即可．【解答】解：復數(shù)z滿足2z+=3﹣2i，設z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故選：B．3.復數(shù)z=在復平面上對應的點位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A考點：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．專題：計算題．分析：首先進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分母根據(jù)平方差公式得到一個實數(shù)，分子進行復數(shù)的乘法運算，得到最簡結(jié)果，寫出對應的點的坐標，得到位置．解答： 解：∵z===+i，∴復數(shù)z在復平面上對應的點位于第一象限．故選A．點評：本題考查復數(shù)的乘除運算，考查復數(shù)與復平面上的點的對應，是一個基礎題，在解題過程中，注意復數(shù)是數(shù)形結(jié)合的典型工具．4.設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【分析】利用雙曲線的定義與余弦定理可得到a2與c2的關系，從而可求得該雙曲線的離心率．【解答】解：設該雙曲線的離心率為e，依題意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=4a2，不妨設|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|?|PF2|=y，上式為：x﹣2y=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|?cos60°=4c2，②即x﹣y=4c2，②又|OP|=3b，+=2，∴2+2+2||?||?cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|?|PF2|=36b2，即x+y=36b2，③由②+③得：2x=4c2+36b2，①+③×2得：3x=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，∴=，∴e==．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的定義與余弦定理的應用，得到a2與c2的關系是關鍵，也是難點，考查分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．5.已知直線（為參數(shù)）與圓（為參數(shù)），則直線的傾斜角及圓心的直角坐標分別是

A.

B.

C.

D.參考答案：C直線消去參數(shù)得直線方程為，所以斜率，即傾斜角為。圓的標準方程為，圓心坐標為，所以選C.6.已知等差數(shù)列的公差為不為0，等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù)，若，且是正整數(shù)，則的值可以是

A.

B.-

C.

D.參考答案：C由題意知，，所以，因為是正整數(shù)，所以令，為正整數(shù)。所以，即，解得，因為為正整數(shù)，所以當時，。符合題意，選C.7.若x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最小值為（）A．﹣6 B．﹣2 C．﹣1 D．3參考答案：B【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．【解答】解：變量x，y滿足約束條件的可行域如圖：由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直線y=x﹣z，由圖象可知當直線y=x﹣z，過點A時，直線y=x﹣z的截距最大，此時z最小，由得A（2，2），代入目標函數(shù)z=x﹣2y，得z=2﹣4=﹣2．∴目標函數(shù)z=x﹣2y的最小值是﹣2．故選：B．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．8.6個人排成一排，其中甲、乙兩人中間至少有一人的排法有（）A．480種 B．720種 C．240種 D．360種參考答案：A【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】所有的排法共有種，其中甲乙二人相鄰的排法有?種，相減即得甲、乙兩人中間至少有一人的排法．【解答】解：所有的排法共有=720種，其中甲乙二人相鄰的排法有?=240種，故甲、乙兩人中間至少有一人的排法有720﹣240=480種，故選A．【點評】本題主要考查排列與組合及兩個基本原理的應用，相鄰的問題用捆綁法，屬于中檔題．9.已知平面向量，則實數(shù)等于A．

B．C．

D．參考答案：A10.在中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c,則等于A、

B、

C、

D、參考答案：【知識點】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B解析：解：根據(jù)正弦定理可得【思路點撥】根據(jù)正弦定理可求出角B的正弦值，再根據(jù)邊的關系可求出角的大小.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則=

.參考答案：12.已知雙曲線上一點，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A、B兩點，記直線AC、BC的斜率分別為，當最小時，雙曲線離心率為

參考答案：

【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)．H6解析：設A（x1，y1），C（x2，y2），由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線的交點，∴由雙曲線的對稱性得A，B關于原點對稱，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵點A，C都在雙曲線上，∴﹣=1，﹣=1，兩式相減，可得：k1k2=＞0，對于=+ln|k1k2|，函數(shù)y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2時，y′＞0，0＜x＜2時，y′＜0，∴當x=2時，函數(shù)y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴當+ln（k1k2）最小時，k1k2==2，∴e==．故答案為：．【思路點撥】設A（x1，y1），C（x2，y2），由雙曲線的對稱性得B（﹣x1，﹣y1），從而得到k1k2=?=，再由構造法利用導數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線的離心率．13.對于，有如下命題：①若，則為等腰三角形；②若，則為直角三角形；③若，則為鈍角三角形.其中正確命題的序號是

參考答案：③14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k=．參考答案：4略15.已知函數(shù)f（x）=mx2+lnx﹣2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m范圍為

．參考答案：【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因為函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，即要說明f′（x）大于等于0，分離參數(shù)求最值，即可得到m的范圍．【解答】解：求導函數(shù)，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0，函數(shù)f（x）=mx2+lnx﹣2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以f′（x）≥0成立，所以2mx+﹣2≥0，x＞0時恒成立，所以，所以﹣2m≤﹣1所以m≥時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．故答案為．【點評】考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，會找函數(shù)單調(diào)時自變量的取值范圍，屬于基礎題16.在正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，且側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積為___________.參考答案：36略17.在二項式的展開式中，常數(shù)項等于．參考答案：160【考點】二項式定理．【分析】展開式的通項為=，要求常數(shù)項，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展開式的通項為=令6﹣2r=0可得r=3常數(shù)項為=160故答案為：160三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題15分）已知函數(shù)，其中a＞0（1）a=2時，求函數(shù)在x∈(-1,6)上的值域（2）若函數(shù)在x∈(-1,6)上既有最大值又有最小值，求a的范圍參考答案：（1），時，時，，值域（2），即

（如圖）

要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,6)內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a時取得，最大值在時取得……10分而f(a)=－a2,所以

………13分解得4≤a＜6

………15分19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵設，求使對任意恒成立的實數(shù)的取值范圍.參考答案：：⑴時，

………1分時，.所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列

.………4分（）

.………6分⑵……8分對恒成立，即對恒成立設，則當或時，取得最小值為.

……12分20.(本小題滿分13分)已知函數(shù)，（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．參考答案：函數(shù)的定義域為…………1分（1）當時＝……3分∴，∴曲線在點處的切線方程為即……6分（2）…………7分①當時，，函數(shù)為上的減函數(shù)，∴無極值……9分②當時，由解得又當時，當時，…………11分∴在處取得極小值，且極小值為………12分綜上，當時，無極值當時，在處取得極小值，無極大值…13分21.已知點是橢圓E：（）上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，是坐標原點，軸．（1）求橢圓的方程；（2）設、是橢圓上兩個動點，．求證：直線的斜率為定值；ks5u參考答案：解：（Ⅰ）∵PF1⊥x軸，∴F1（-1，0），c=1，F(xiàn)2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，橢圓E的方程為：；ks5u（Ⅱ）設A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=（1,-），所以x1+x2=-2，y1+y2=（2-）………①又，，兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②以①式代入可得AB的斜率k=為定值；略22.（本題滿分14分）本大題共有2小題，