模糊數(shù)學(xué)3(水平截集、最大隸屬原則)

第一章模糊集合的一般概念§1.1模糊子集的定義及運算§1.2水平截集、分解定理、擴張原則§1.2.1水平截集§1.2.1水平截集引例：5位應(yīng)試者參加的選拔考試中，5位應(yīng)試者及其成績?nèi)缦卤硭荆ò俜种疲簯?yīng)試者成績10090506080如何按“擇優(yōu)錄取”的原則來挑選優(yōu)勝者設(shè)模糊子集表示“優(yōu)勝者”，以各人成績與最高分的比值作為屬于的隸屬度?！?.2.1水平截集“優(yōu)勝者”的模糊子集“及格者”應(yīng)試者成績10090506080“優(yōu)良者”“優(yōu)秀者”“滿分者”§1.2.1水平截集實際問題的某個時刻，需要判斷某個元素對模糊子集的明確歸屬，這就要求模糊子集與普通集合可以依據(jù)某種法則相互轉(zhuǎn)化。需要一種溝通模糊子集和普通集合的辦法。若對模糊子集給出一個確定的閾值，則模糊子集的元素可分成“非此即彼”的兩種情形：。于是，誘導(dǎo)出在意義下的普通集合?！?.2.1水平截集定義1.2.1水平截集給定論域U，對，稱普通集合為模糊子集的水平截集。所謂取一個模糊子集的水平截集，就是將隸屬函數(shù)按下式轉(zhuǎn)化為特征函數(shù)：“及格者”“優(yōu)良者”所謂的“擇優(yōu)錄取”，即為確定一個閾值，當(dāng)元素（應(yīng)試者）的隸屬度時，該應(yīng)試者屬于“優(yōu)勝者”，否則不屬于“優(yōu)勝者”?！?.2.1水平截集水平截集的性質(zhì)：（1）（2）§1.2.1水平截集水平截集的性質(zhì)：（1）（2）性質(zhì)（2）說明截集水平越低，越大；反之，截集水平越高，越小從圖中可見，當(dāng)?shù)娜≈祻?逐漸減小而到0時，相應(yīng)的逐漸擴展，從而得到一系列普通集合?！?.2.2分解定理定義1.2.2數(shù)乘設(shè)是論域U上的一個模糊子集()，由構(gòu)成一個新的模糊子集，記為，其隸屬函數(shù)為稱為數(shù)與模糊子集的數(shù)乘。特別地，當(dāng)為普通集合時：如果把視為模糊子集，其隸屬函數(shù)為：§1.2.2分解定理分解定理：對論域U上的一個模糊子集()，有§1.2.2分解定理分解定理：任取，可將切割為，而將所有的拼湊起來組成，就得到，即任何一個模糊子集可由一類集合套來表示當(dāng)遍取中，對的值就是含有元素的一切中的最大的值。分解定理給出利用普通集合表示模糊子集的理論依據(jù)和實際做法。當(dāng)遍取[0,1]中的實數(shù)時，按模糊子集求并運算的規(guī)則，恰好取各點隸屬函數(shù)的最大值，將這些點連成一條曲線，正是模糊子集的隸屬函數(shù)?！?.2.3擴張原則水平截集說明了模糊子集向普通集合的轉(zhuǎn)化過程；分解定理則是相反過程，利用一系列普通集合（集合套）求并得到模糊子集，從而將模糊集合論中的問題轉(zhuǎn)化到普通集合論的問題來解決。而擴張原則卻是把普通集合論的方法直接擴展到模糊集合論。設(shè)有映射如果在論域U上給定一個普通集合A，則可通過映射得到V中的一個普通集合B，記為，且。稱B是由產(chǎn)生的A的象，A是B的原象論域U上模糊子集在下的象？1975年，zadeh，公理§1.2.3擴張原則給定兩個論域U、V，以及映射則對是論域V上的一個模糊子集，即其隸屬函數(shù)為如果沒有使得，則規(guī)定

?！ぁぁ···V0.80.70.50.80.70.5···V···U0.80.70.50.80.50

映射后的隸屬度保持不變！擴張原則把普通集合論的方法直接擴展到模糊集合論?！?.3.1最大隸屬原則模式識別：對所研究的具體對象，根據(jù)它的某些特征進行識別并分類。這種分類是在已知模式的前提下進行的，也就是將整體劃分為若干類型，作為一組標(biāo)準(zhǔn)模式。對于某個具體對象，判別它屬于那個模式，即屬于那一類。整體被劃分的類型（模式）和被識別的對象，如果是某個論域中的模糊子集，這種模式識別就稱為模糊模式識別?！?.3.1最大隸屬原則整體被劃分的類型（模式）和被識別的對象，如果是某個論域中的模糊子集，這種模式識別就稱為模糊模式識別。直接方法：對象為單個確定的元素，通過直接計算被識別對象的隸屬函數(shù)以判別其屬于那個模糊子集，最大（極大）隸屬原則。間接方法：對象為群體，模糊子集，判別與那一種已知的模糊子集最“貼近”，擇近原則。研究：模式為論域U中的n個模糊子集被識別的對象分為單個確定的元素或模糊子集模式識別主要包括三個步驟:提取特征，首先需要從識別對象中提取與識別有關(guān)的特征，并度量這些特征，于是每個識別對象就對應(yīng)一個向量，建立訓(xùn)練樣本。建立標(biāo)準(zhǔn)類型的隸屬函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)類型通常是論域上的模糊子集。建立識別判決準(zhǔn)則，確定某些歸屬原則，以判定識別對象屬于哪一個標(biāo)準(zhǔn)類型。

常用的判決準(zhǔn)則有最大隸屬度原則（直接法）和擇近原則（間接法）兩種。實例：蘋果等級識別訓(xùn)練樣本集的建立：從蘋果的橫徑、色澤以及果形指數(shù)三個方面把蘋果分為四類，精品果、二級果、三級果、四級果。樣本集訓(xùn)練步驟:原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化等，建立標(biāo)準(zhǔn)類型（模式）－聚類分析。試驗結(jié)果：對52個蘋果進行訓(xùn)練，精品果、二級果、三級果、四級果各30個，正確率達(dá)到95％。

“模糊模式識別在計算機識別中的應(yīng)用研究”，張娜等，微計算機信息，2004，20（6）§1.3.1最大隸屬原則設(shè)是論域U上n個模糊子集，若有，使則認(rèn)為相對隸屬于模糊子集。例1：，論域U上有三個模糊子集（研究能力強），（一般），（差）：那么，甲、乙、丙應(yīng)歸于那一類？§1.3.2應(yīng)用實例例2：三角形識別問題機器自動識別染色體或白血球分類，應(yīng)用幾何圖形識別設(shè)三角形論域現(xiàn)給出各種類型的三角形隸屬函數(shù)。1.近似等腰三角形，其隸屬函數(shù)為A與B（或B與C）愈接近，三角形愈接近等腰三角形，即隸屬度趨于1。2.近似直角三角形，其隸屬函數(shù)為例2：三角形識別問題1.近似等腰三角形，2.近似直角三角形，3.近似正三角形，4.近似等腰直角三角形，5.非典型三角形，