山西省忻州市合索聯(lián)合學(xué)校高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

山西省忻州市合索聯(lián)合學(xué)校高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組，表示的平面區(qū)域的面積是A.

B.4

C.2

D.2參考答案：B2.某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A．②、④都可能為分層抽樣 B．①、③都不能為分層抽樣C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣參考答案：A【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三種抽樣方法得到數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是：系統(tǒng)抽樣方法得到的數(shù)據(jù)每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27，分層抽樣方法得到的數(shù)據(jù)在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；依次分析四組數(shù)據(jù)，判斷其可能的情況，即可得答案．【解答】解：①在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣得到的；②在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣得到的；同時，每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27，符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，可能是系統(tǒng)抽樣得到的；③一定不是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；④在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣得到的；同時，每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27，符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，可能是系統(tǒng)抽樣得到的；故選A．【點(diǎn)評】本題考查了抽樣方法的判定問題，解題時應(yīng)熟悉常用的幾種抽樣方法是什么，各種抽樣方法的特點(diǎn)是什么，是基礎(chǔ)題．3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足（3－4i）z=|4+3i|（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為 A．-4

B． C．4

D．參考答案：D略4..已知為虛數(shù)單位，且，則的值為A．4

B．

C．

D．參考答案：D略5.若函數(shù)在內(nèi)有極小值,則A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.已知為等比數(shù)列，，則（

）A．7

B．5

C．

D．參考答案：D7.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有1個白球；都是白球B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰有1個白球；恰有2個白球D．至少有一個白球；都是紅球參考答案：C【考點(diǎn)】互斥事件與對立事件．【分析】由題意知所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：“都是白球”，“1個白球，1個紅球”，“都是紅球”，再根據(jù)互斥事件的定義判斷．【解答】解：A、“至少有1個白球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是白球”，故A不對；B、“至少有1個紅球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是紅球”，故B不對；C、“恰有1個白球”發(fā)生時，“恰有2個白球”不會發(fā)生，且在一次實(shí)驗(yàn)中不可能必有一個發(fā)生，故C對；D、“至少有1個白球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是白球”，與都是紅球，是對立事件，故D不對；故選C．8.過點(diǎn)（2,1）的直線中，被圓截得弦長最長的直線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A略9.一個質(zhì)點(diǎn)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中移動，每秒移動一步，第一個四步：第一步，從原點(diǎn)出發(fā)向右移動一個單位長度，第二步，向上移動一個單位長度，第三步，向左移動一個單位長度，第四步，向上移動一個單位長度，第二個四步：與前四步方向一致，但移動長度都增加一個單位長度．第三個四步：與前四步方向一致，但移動長度都增加一個單位長度，照此規(guī)律，該質(zhì)點(diǎn)第101秒所在的坐標(biāo)為（）A．（25，625） B．（25，650） C．（26，625） D．（26，650）參考答案：D【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】由題意，前四秒質(zhì)點(diǎn)向上移動了2個單位長度，第五至八秒，質(zhì)點(diǎn)向上移動了4個單位長度，第三個四步：與前四步方向一致，但移動長度都增加一個單位長度，照此規(guī)律，由101=4×25+1，能求出該質(zhì)點(diǎn)第101秒所在的坐標(biāo)．【解答】解：由題意，前四秒質(zhì)點(diǎn)向上移動了2個單位長度，第五至八秒，質(zhì)點(diǎn)向上移動了4個單位長度，第三個四步：與前四步方向一致，但移動長度都增加一個單位長度，照此規(guī)律，由101=4×25+1，該質(zhì)點(diǎn)第101秒所在的坐標(biāo)為：（26，），即（26，650）．∴該質(zhì)點(diǎn)第101秒所在的坐標(biāo)為（26，650）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分類討論“移動4次又回到原點(diǎn)”的可能情況，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，是中檔題．10.已知a=(3,2),b=(-1,y),且a⊥b,則y=(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線f（x）=2x2﹣3x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為

．參考答案：x﹣y﹣2=0【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先由解析式求出f（1）和f′（x），再求出f′（1）的值，代入直線的點(diǎn)斜式再化為一般式方程．【解答】解：由題意得，f（1）=2﹣3=﹣1，且f′（x）=4x﹣3，則f′（1）=4﹣3=1，∴在點(diǎn)（1，﹣1）處的切線方程為：y+1=1（x﹣1），即x﹣y﹣2=0，故答案為：x﹣y﹣2=012.用數(shù)學(xué)歸納法證明

（）時，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是

．參考答案：48013.若等比數(shù)列滿足，則前項(xiàng)=_____；參考答案：；略14.已知圓交于A、B兩點(diǎn)，則AB所在的直線方程是________________________.

參考答案：2x+y=0略15.在中，已知，則

．參考答案：略16.（5分）對于函數(shù)f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常數(shù)M中，我們把M中的最大值稱為函數(shù)f（x）的“下確界”，則函數(shù)的下確界為

．

參考答案：設(shè)函數(shù)y=，則（y﹣1）x2+2yx+y﹣1=0．當(dāng)y﹣1≠0時，△=4y2﹣4（y﹣1）（y﹣1）≥0，解得且y≠1．當(dāng)y﹣1=0時，x=0成立，∴．∴函數(shù)的下確界為0.5．故答案為：0.5．利用判別式法求函數(shù)的下確界．17.已知p：對，

恒成立；q：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根；如果為真，為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)斜率不為零的直線PF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)為Q，且PQ的垂直平分線交y軸于點(diǎn)，求直線PQ的斜率.參考答案：（1）（2）或【分析】（1）由題得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)，得，解方程即得直線PQ的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓離心率為，當(dāng)P為C的短軸頂點(diǎn)時，的面積有最大值.所以，所以，故橢圓C的方程為:.（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時，代入，得:.設(shè)，線段的中點(diǎn)為，，即因?yàn)?，則，所以，化簡得，解得或，即直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使，請給出證明．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓的方程為：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入求出b2的值后，可得橢圓的方程．（2）設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為﹣k，聯(lián)立PC與橢圓方程，結(jié)合C在橢圓上，求出求xP=，同理xQ=，代入斜率公式可得kPQ=，由對稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，可得kAB=，即kPQ=kAB，即與共線，再由向量共線的充要條件得到答案．【解答】解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（2，0），設(shè)所求橢圓的方程為：=4（0＜b＜1），由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|，由?=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐標(biāo)為（1，1），∵C點(diǎn)在橢圓上∴=4，∴b2=，所求的橢圓方程為x2+3y2=4．（Ⅱ）由于∠PCQ的平分線垂直O(jiān)A（即垂直于x軸），不妨設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為﹣k，直線PC的方程為：y=k（x﹣1）+1，直線QC的方程為y=﹣k（x﹣1）+1，由得：（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）∵點(diǎn)C（1，1）在橢圓上，∴x=1是方程（*）的一個根，則其另一根為，設(shè)P（xP，yP），Q（xQ，yQ），xP=，同理xQ=，kPQ==而由對稱性知B（﹣1，﹣1），又A（2，0），∴kAB=，∴kPQ=kAB，∴與共線，且≠0，即存在實(shí)數(shù)λ，使=λ．20.從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少．本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加．（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元．寫出an，bn的表達(dá)式；（2）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？參考答案：解：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×（1﹣）萬元，，第n年投入為800×（1﹣）n﹣1萬元．所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800×（1﹣）++800×（1﹣）n﹣1==4000×[1﹣（）n]；（3分）第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×（1+）萬元，第n年旅游業(yè)收入為400×（1+）n﹣1萬元．所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400×（1+）+…+400×（1+）n﹣1==1600×[（）n﹣1]．（6分）（2）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn﹣an＞0，即1600×[（）n﹣1]﹣4000×[1﹣（）n]＞0．化簡得5×（）n+2×（）n﹣7＞0，（9分）設(shè)x=（）n，代入上式得5x2﹣7x+2＞0，解此不等式，得，x＞1（舍去）．即（）n＜，由此得n≥5．答：至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入略21.我市“金牛”公園欲在長、寬分別為34m、30m的矩形地塊內(nèi)開鑿一“撻圓”形水池（如圖），池邊由兩個半橢圓和（）組成，其中，“撻圓”內(nèi)切于矩形且其左右頂點(diǎn)A，B和上頂點(diǎn)C構(gòu)成一個直角三角形ABC．（1）試求“撻圓”方程；（2）若在“撻圓”形水池內(nèi)建一矩形網(wǎng)箱養(yǎng)殖觀賞魚，則該網(wǎng)箱水面面積最大為多少？參考答案：解：（1）由題意知解得所以“撻圓”方程為：和.（2）設(shè)為矩形在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)，為矩形在第二象限內(nèi)頂點(diǎn)，則解得 ，所以內(nèi)接矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值510.答：網(wǎng)箱水面面積最大510.

22.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=．（Ⅰ）證明：a、c、b成等差數(shù)列；（Ⅱ）求cosC的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角函數(shù)恒等變