山西省忻州市輝順溝中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市輝順溝中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查．②科技報告廳有32排，每排有40個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，需要請32名聽眾進(jìn)行座談．③東方中學(xué)共有160名教職工，其中一般教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．較為合理的抽樣方法是()A．①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣B．①簡單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣，③分層抽樣D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機(jī)抽樣參考答案：A2.下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)為A．

B．

C．

D．

參考答案：D3.方程表示的曲線是（

）A．一個圓

B．兩個半圓

C．兩個圓

D．半圓參考答案：B

解析：對分類討論得兩種情況4.已知點(diǎn)A(a，b)與點(diǎn)B(1,0)在直線3x－4y＋10＝0的兩側(cè)，給出下列說法：①3a－4b＋10>0；

②>2；③當(dāng)a>0時，a＋b有最小值，無最大值；④當(dāng)a>0且a≠1，b>0時，的取值范圍為∪.其中正確的個數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B5.函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】先研究函數(shù)的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)它是一個奇函數(shù)，再研究函數(shù)在原點(diǎn)附近的函數(shù)值的符號，從而即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：此函數(shù)是一個奇函數(shù)，故可排除C，D兩個選項(xiàng)；又當(dāng)自變量從原點(diǎn)左側(cè)趨近于原點(diǎn)時，函數(shù)值為負(fù)，圖象在X軸下方，當(dāng)自變量從原點(diǎn)右側(cè)趨近于原點(diǎn)時，函數(shù)值為正，圖象在x軸上方，故可排除B，A選項(xiàng)符合，故選A．6.設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在面積為S的△ABC內(nèi)任選一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】在三角形ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，要滿足得到的三角形PBC的面積是原三角形面積的一半，P點(diǎn)應(yīng)位于過底邊BC的高AD的中點(diǎn)，且平行于BC的線段上或其下方，然后用陰影部分的面積除以原三角形的面積即可得到答案．【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的底邊長BC=a，高AD=h，則S=，若滿足△PBC的面積小于，則P點(diǎn)應(yīng)位于過AD中點(diǎn)的與BC平行的線段上或下方，所以測度比為下方梯形的面積除以原三角形的面積．即p=．故選A．8.已知，，則、的等差中項(xiàng)是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

（

）(A)[0,3]

(B)[-1,0]

(C)[-1,3]

(D)[0,2]參考答案：C略10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)，則當(dāng)

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x＞0，y＞0．且2x﹣3=（）y，則+的最小值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】2x﹣3=（）y，可得x+y=3．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵2x﹣3=（）y，∴x﹣3=﹣y，即x+y=3．又x＞0，y＞0．則+===3，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=2時取等號．∴+的最小值為3．故答案為：3．12.已知條件p：x＞a，條件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[1，+∞）【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】解不等式x2+x﹣2＞0可得x＜﹣2或x＞1，原命題等價于{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，結(jié)合數(shù)軸可得．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0可化為（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，∵p是q的充分不必要條件，∴{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，∴a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）故答案為：[1，+∞）【點(diǎn)評】本題考查充要條件，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．13.（1+x）2（x﹣）7的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)為．參考答案：﹣196【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：（1+x）2（x﹣）7=（1+2x+x2），（x﹣）7的展開式中的通項(xiàng)公式：Tr+1=x7﹣r=（﹣2）rx7﹣2r，分別令7﹣2r=3，2，1，可得r=2，無解，3．∴T3=4x3=84x3，T4=﹣8x=﹣280x，∴（1+x）2（x﹣）7的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)=﹣280×1+84=﹣196．故答案為：﹣196．14.（5分）若函數(shù)（x∈R）有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：令=0，得．作出y=與y=2a的圖象，如圖．要使函數(shù)f（x）=﹣2a﹣1有四個零點(diǎn)，則y=與y=2a的圖象有四個不同的交點(diǎn)，有﹣2＜2a＜﹣1，所以．故答案為：將方程的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點(diǎn)問題，作出函數(shù)的圖象得到a的范圍．15.對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：

略16.設(shè)平面的法向量為(1,－2,2)，平面的法向量為，若∥，則的值為

▲

參考答案：－4設(shè)平面的法向量，平面的法向量，因?yàn)椤?，所以，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以有，解得，故答案為.

17.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y，構(gòu)成數(shù)對（x，y），則所有數(shù)對（x，y）中滿足xy＝4的概率為____.參考答案：試題分析：總的數(shù)對有，滿足條件的數(shù)對有3個，故概率為考點(diǎn)：等可能事件的概率．點(diǎn)評：本題考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），試問（1）在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|？（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．參考答案：【分析】（1）若能求出y軸上點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|，則問題得到解決，故可先假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立關(guān)于參數(shù)y的方程，求y，若y值存在，則說明假設(shè)成立，在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|，否則說明不存在．（2）由（1）知，△MAB為等腰三角形，若能證明|MA|=|AB|則可以說明存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，則說明存在，否則說明不存在．【解答】解：（1）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|．因M在y軸上，可設(shè)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得，顯然，此式對任意y∈R恒成立．這就是說y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA|=|MB|．所以存在無數(shù)點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|．（2）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．由（1）可知，y軸上任一點(diǎn)都有|MA|=|MB|，所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．因?yàn)閨MA|=于是，解得故y軸上存在點(diǎn)M使△MAB等邊，M坐標(biāo)為（0，，0），或（0，，0）．【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計算，考查用兩點(diǎn)距離公式判斷點(diǎn)M的存在性問題．其規(guī)律是假設(shè)存在，建立相關(guān)等式，求解，若能解出則說明假設(shè)成立，否則說明假設(shè)的對立面成立．在存在性問題的判斷中，常用這一思路來解決問題．學(xué)習(xí)時應(yīng)好好體會其中的邏輯關(guān)系以及此方法適應(yīng)的范圍．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(Ⅰ)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，求在上的最大值；(Ⅲ)試證明：對，不等式.

參考答案：（I）函數(shù)的定義域是：

由已知

………………1分

令得，，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減…3分

即對，不等式恒成立；…………12分20.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且.（Ⅰ）證明：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由求得，利用等差數(shù)列求和公式可得，可得，從而證得結(jié)論；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，進(jìn)而得到，利用錯位相減法可求得.【詳解】（Ⅰ）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為由得：，解得

，又?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：

……①則……②①②得：【點(diǎn)睛】本題考查利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列、錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和的問題，涉及到等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型.21.(本題滿分10分)在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線. 參考答案：（1）因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，

所以AC⊥OD

又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O

所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內(nèi)的兩條相交直線

所以AC⊥平面POD；

（2）（方法一）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC

所以平面POD⊥平面PAC

在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC

連接CH，則CH是OC在平面上的射影，

所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角

在Rt△POD中，

在Rt△OHC中，。（方法二）用體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再用線面夾角的定義。22.設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù)（）．（1）求證：函數(shù)不是奇函數(shù)；（2）求函數(shù)的值域（用表示）．參考答案：（1）如果是奇函數(shù)，那么對于一切，有，從而，即，但是，矛盾．所以不是奇函數(shù)．（也可用等證明）

…（3分）（2）令，則