山西省忻州市韓曲中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析

山西省忻州市韓曲中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是（

）

A.

B．

C.

D．參考答案：C2.已知z是純虛數，是實數，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i參考答案：D【考點】復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算．【專題】計算題．【分析】設出復數z，代入，它的分子、分母同乘分母的共軛復數，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由題意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，則a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故選D【點評】本題考查復數的基本概念，復數代數形式的乘除運算，考查計算能力，是基礎題．3.已知等差數列中，，，若，則數列的前5項和等于

A．30

B．45

C．90

D．186參考答案：C略4.已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為，則此雙曲線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知直線x﹣y+2=0與圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圓心為C）交于點A，B，則∠ACB的大小為（）A．30° B．60° C．90° D．120°參考答案：C【考點】直線與圓的位置關系．【分析】求出圓心到直線的距離，利用三角函數，即可得出結論．【解答】解：由題意，圓心到直線的距離d==，圓的半徑為2，∴cos∠ACB=，∴∠ACB=90°，故選C．6.在R上定義運算*：a*b=ab+2a+b,則滿足x*(x-2)<0的實數x的取值范圍為（

）

A．（-2,1）

B．（0,2）

C．

D．（-1,2）參考答案：A7.復數的值是

（）A．-1 B．1 C． D．參考答案：A略8.設函數f（x）=，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）參考答案：D考點：對數函數的單調性與特殊點．專題：分類討論．分析：分類討論：①當x≤1時；②當x＞1時，再按照指數不等式和對數不等式求解，最后求出它們的并集即可．解答：解：當x≤1時，21﹣x≤2的可變形為1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．當x＞1時，1﹣log2x≤2的可變形為x≥，∴x≥1，故答案為[0，+∞）．故選D．點評：本題主要考查不等式的轉化與求解，應該轉化特定的不等式類型求解．9.函數y=的圖象與函數y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2參考答案：A【考點】數列與函數的綜合；數列的求和．【分析】函數y1=與y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心（1，0），作出兩個函數的圖象，利用數形結合思想能求出結果．【解答】解：函數y1=，y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心（1，0），作出兩個函數的圖象，如圖，當1＜x≤4時，y1＜0而函數y2在（1，4）上出現1.5個周期的圖象，在（1，）和（，）上是減函數；在（，）和（，4）上是增函數．∴函數y1在（1，4）上函數值為負數，且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H相應地，y1在（﹣2，1）上函數值為正數，且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標之和為8．故選：A．10.已知函數，的最小值為a，則實數a的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：C因為的最小值為且時，故恒成立，也就是，當時，有；當時，有，故，所以選C．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設復數z滿足:z(2－i)=4+3i（其中i為虛數單位），則z的模等于

.參考答案：；12.給出下列六個命題：①不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集為{x|a＜x＜3a}；②若函數y＝f（x＋1）為偶函數，則y＝f（x）的圖象關于x＝1對稱；③若不等式|x－4|＋|x－3|＜a的解集為空集，必有a≤1；④函數y＝f（x）的圖象與直線x＝a至多有一個交點；⑤若角α，β滿足cosα·cosβ＝1，則sin（α＋β）＝0;⑥命題“”的否定是“”．其中所有正確命題的序號是

．參考答案：②③④_⑤_略13.如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結果為_________.參考答案：略14.函數的定義域為

．參考答案：15.設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為

.參考答案：64試題分析：設等比數列{an}的公比為q(q≠0)，由得，解得，所以，于是當n=3或n=4時，a1a2…an取得最大值26=64.16.△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、，asinAsinB+bcos2A=2a，則角A的取值范圍是．參考答案：（0，]【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；解三角形．【分析】利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內角，且根據余弦函數的單調性，即可得到A的范圍．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理化簡已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，∴sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，由余弦定理得：cosA===≥=，∵A為三角形ABC的內角，且y=cosx在（0，π）上是減函數，∴0＜A≤，則A的取值范圍是：（0，]．故答案為：（0，]．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，基本不等式，以及余弦函數的單調性，熟練掌握定理是解本題的關鍵．17.函數在區(qū)間上的最大值是________.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極值；（Ⅱ）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；（Ⅲ）若對任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）將a=1代入函數求出導函數得到單調區(qū)間，從而求出極值，（Ⅱ）先求出導函數，再分別討論a＞2，a=2，a＜2時的情況，綜合得出單調區(qū)間；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）時，f（x）在[2，3]上遞減，x=1時，f（x）最大，x=2時，f（x）最小，從而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）=﹣+ln2，進而證出ma+ln2＞﹣+ln2．經整理得m＞﹣，由2＜a＜3得；﹣＜﹣＜0，從而m≥0．【解答】解；（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），a=1時，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，令f′（x）=0，得x=1，∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴f（x）極小值=f（1）=1，無極大值；（Ⅱ）f′x）=（1﹣a）x+a﹣=，當=1，即a=2時，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上遞減；當＜1，即a＞2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＞0，得＜x＜1，當＞1，即a＜2時，矛盾舍，綜上，a=2時，f（x）在（0，+∞）遞減，a＞2時，f（x）在（0，）和（1，+∞）遞減，在（，1）遞增；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上遞減，x=1時，f（x）最大，x=2時，f（x）最小，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）=﹣+ln2，∴ma+ln2＞﹣+ln2．a＞0時，經整理得m＞﹣，由2＜a＜3得；﹣＜﹣＜0，∴m≥0．19.對于無窮數列{an}，{bn}，若－…，則稱{bn}是{an}的“收縮數列”.其中，，分別表示中的最大數和最小數.已知{an}為無窮數列，其前n項和為Sn，數列{bn}是{an}的“收縮數列”.（1）若，求{bn}的前n項和；（2）證明：{bn}的“收縮數列”仍是{bn}；（3）若，求所有滿足該條件的{an}.參考答案：（1）（2）證明見解析（3）所有滿足該條件的數列為【分析】（1）由可得為遞增數列，，，從而易得；（2）利用，，可證是不減數列（即），而，由此可得的“收縮數列”仍是.（3）首先，由已知，當時，；當時，，；當時，（*），這里分析與的大小關系，，均出現矛盾，，結合(*)式可得，因此猜想（），用反證法證明此結論成立，證明時假設是首次不符合的項，則，這樣題設條件變?yōu)椋?），仿照討論的情況討論，可證明．【詳解】解：（1）由可得遞增數列，所以，故的前項和為.（2）因為，，所以所以.又因為，所以，所以的“收縮數列”仍是.（3）由可得當時，；當時，，即，所以；當時，，即（*），若，則，所以由（*）可得，與矛盾；若，則，所以由（*）可得，所以與同號，這與矛盾；若，則，由（*）可得.猜想：滿足的數列是：.經驗證，左式，右式.下面證明其它數列都不滿足（3）的題設條件.法1：由上述時的情況可知，時，是成立的.假設是首次不符合的項，則，由題設條件可得（*），若，則由（*）式化簡可得與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號，這與矛盾；所以，則，所以由（*）化簡可得.這與假設矛盾.所以不存在數列不滿足的符合題設條件.法2：當時，，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等號成立的條件是，所以，所有滿足該條件的數列為.【點睛】本題考查數列的新定義問題，考查學生創(chuàng)新意識．第（1）（2）問直接利用新概念“收縮數列”結合不等關系易得，第（3）問考查學生的從特殊到一般的思維能力，考查歸納猜想能力，題中討論與大小關系是解題關鍵所在．本題屬于難題．20.（14分）已知函數f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）當a=0時，求f（x）在x=1處的切線方程；（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍；（3）設g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．當a=時，若對于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求實數b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【專題】分類討論；分類法；導數的概念及應用；導數的綜合應用．【分析】（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，可得切線的方程；（2）令，由題意可得g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的導數，對a討論，①若，②若，判斷單調性，求出極值點，即可得到所求范圍；（3）由題意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，運用單調性分別求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范圍．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的導數為f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1處的切線斜率為0，切點為（1，﹣），則f（x）在x=1處的切線方程為；（2）令，則g（x）的定義域為（0，+∞）．在區(qū)間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g（x）＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得極值點x1=1，，當x2＞x1=1，即時，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此時g（x）在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數，并且在該區(qū)間上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合題意；當x2≤x1=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；②若，則有2a﹣1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數；要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此求得a的范圍是[，]．綜合①②可知，當a∈[，]時，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方．（3）當時，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函數，在（1，2）上是減函數，所以對任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．因為，所以，解得，所以實數b的取值范圍是．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調性，考查不等式恒成立問題及任意性和存在性問題，注意轉化為求最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．21.（14分）已知數列{}的前項和,（Ⅰ）求數列的通項公式-；（Ⅱ）設