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文檔簡介
山西省忻州市韓曲中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形,且體積為,則該幾何體的俯視圖可以是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C2.已知z是純虛數,是實數,那么z等于()A.2i B.i C.﹣i D.﹣2i參考答案:D【考點】復數的基本概念;復數代數形式的乘除運算.【專題】計算題.【分析】設出復數z,代入,它的分子、分母同乘分母的共軛復數,化簡為a+bi(a,b∈R)的形式.【解答】解:由題意得z=ai.(a∈R且a≠0).∴==,則a+2=0,∴a=﹣2.有z=﹣2i,故選D【點評】本題考查復數的基本概念,復數代數形式的乘除運算,考查計算能力,是基礎題.3.已知等差數列中,,,若,則數列的前5項和等于
A.30
B.45
C.90
D.186參考答案:C略4.已知雙曲線的左、右焦點分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為,則此雙曲線的方程為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C5.已知直線x﹣y+2=0與圓C:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4(圓心為C)交于點A,B,則∠ACB的大小為()A.30° B.60° C.90° D.120°參考答案:C【考點】直線與圓的位置關系.【分析】求出圓心到直線的距離,利用三角函數,即可得出結論.【解答】解:由題意,圓心到直線的距離d==,圓的半徑為2,∴cos∠ACB=,∴∠ACB=90°,故選C.6.在R上定義運算*:a*b=ab+2a+b,則滿足x*(x-2)<0的實數x的取值范圍為(
)
A.(-2,1)
B.(0,2)
C.
D.(-1,2)參考答案:A7.復數的值是
()A.-1 B.1 C. D.參考答案:A略8.設函數f(x)=,則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()A.[﹣1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)參考答案:D考點:對數函數的單調性與特殊點.專題:分類討論.分析:分類討論:①當x≤1時;②當x>1時,再按照指數不等式和對數不等式求解,最后求出它們的并集即可.解答:解:當x≤1時,21﹣x≤2的可變形為1﹣x≤1,x≥0,∴0≤x≤1.當x>1時,1﹣log2x≤2的可變形為x≥,∴x≥1,故答案為[0,+∞).故選D.點評:本題主要考查不等式的轉化與求解,應該轉化特定的不等式類型求解.9.函數y=的圖象與函數y=2sinπx,(﹣2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于()A.8 B.6 C.4 D.2參考答案:A【考點】數列與函數的綜合;數列的求和.【分析】函數y1=與y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數的圖象,利用數形結合思想能求出結果.【解答】解:函數y1=,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數的圖象,如圖,當1<x≤4時,y1<0而函數y2在(1,4)上出現1.5個周期的圖象,在(1,)和(,)上是減函數;在(,)和(,4)上是增函數.∴函數y1在(1,4)上函數值為負數,且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H相應地,y1在(﹣2,1)上函數值為正數,且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D且:xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標之和為8.故選:A.10.已知函數,的最小值為a,則實數a的取值范圍是A.
B.
C.
D.參考答案:C因為的最小值為且時,故恒成立,也就是,當時,有;當時,有,故,所以選C.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設復數z滿足:z(2-i)=4+3i(其中i為虛數單位),則z的模等于
.參考答案:;12.給出下列六個命題:①不等式x2-4ax+3a2<0的解集為{x|a<x<3a};②若函數y=f(x+1)為偶函數,則y=f(x)的圖象關于x=1對稱;③若不等式|x-4|+|x-3|<a的解集為空集,必有a≤1;④函數y=f(x)的圖象與直線x=a至多有一個交點;⑤若角α,β滿足cosα·cosβ=1,則sin(α+β)=0;⑥命題“”的否定是“”.其中所有正確命題的序號是
.參考答案:②③④_⑤_略13.如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結果為_________.參考答案:略14.函數的定義域為
.參考答案:15.設等比數列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為
.參考答案:64試題分析:設等比數列{an}的公比為q(q≠0),由得,解得,所以,于是當n=3或n=4時,a1a2…an取得最大值26=64.16.△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、,asinAsinB+bcos2A=2a,則角A的取值范圍是.參考答案:(0,]【考點】余弦定理;正弦定理.【專題】計算題;轉化思想;數形結合法;解三角形.【分析】利用正弦定理化簡已知的等式,整理后利用同角三角函數間的基本關系化簡,得到sinB=2sinA,再利用正弦定理化簡得:b=2a,由余弦定理表示出cosA,整理后利用基本不等式求出cosA的范圍,再由A為三角形的內角,且根據余弦函數的單調性,即可得到A的范圍.【解答】解:在△ABC中,由正弦定理化簡已知的等式得:sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=2sinA,∴sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a,由余弦定理得:cosA===≥=,∵A為三角形ABC的內角,且y=cosx在(0,π)上是減函數,∴0<A≤,則A的取值范圍是:(0,].故答案為:(0,].【點評】此題考查了正弦、余弦定理,同角三角函數間的基本關系,基本不等式,以及余弦函數的單調性,熟練掌握定理是解本題的關鍵.17.函數在區(qū)間上的最大值是________.參考答案:2略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設函數f(x)=x2+ax﹣lnx(a∈R)(Ⅰ)當a=1時,求函數f(x)的極值;(Ⅱ)當a≥2時,討論函數f(x)的單調性;(Ⅲ)若對任意a∈(2,3)及任意x1,x2∈[1,2],恒有ma+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實數m的取值范圍.參考答案:【考點】利用導數研究函數的極值;利用導數研究函數的單調性.【分析】(Ⅰ)將a=1代入函數求出導函數得到單調區(qū)間,從而求出極值,(Ⅱ)先求出導函數,再分別討論a>2,a=2,a<2時的情況,綜合得出單調區(qū)間;(Ⅲ)由(Ⅱ)得;a∈(2,3)時,f(x)在[2,3]上遞減,x=1時,f(x)最大,x=2時,f(x)最小,從而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)=﹣+ln2,進而證出ma+ln2>﹣+ln2.經整理得m>﹣,由2<a<3得;﹣<﹣<0,從而m≥0.【解答】解;(Ⅰ)函數的定義域為(0,+∞),a=1時,f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣=,令f′(x)=0,得x=1,∴f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,∴f(x)極小值=f(1)=1,無極大值;(Ⅱ)f′x)=(1﹣a)x+a﹣=,當=1,即a=2時,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上遞減;當<1,即a>2時,令f′(x)<0,得0<x<,或x>1,令f′(x)>0,得<x<1,當>1,即a<2時,矛盾舍,綜上,a=2時,f(x)在(0,+∞)遞減,a>2時,f(x)在(0,)和(1,+∞)遞減,在(,1)遞增;(Ⅲ)由(Ⅱ)得;a∈(2,3)時,f(x)在[1,2]上遞減,x=1時,f(x)最大,x=2時,f(x)最小,∴|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)=﹣+ln2,∴ma+ln2>﹣+ln2.a>0時,經整理得m>﹣,由2<a<3得;﹣<﹣<0,∴m≥0.19.對于無窮數列{an},{bn},若-…,則稱{bn}是{an}的“收縮數列”.其中,,分別表示中的最大數和最小數.已知{an}為無窮數列,其前n項和為Sn,數列{bn}是{an}的“收縮數列”.(1)若,求{bn}的前n項和;(2)證明:{bn}的“收縮數列”仍是{bn};(3)若,求所有滿足該條件的{an}.參考答案:(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數列為【分析】(1)由可得為遞增數列,,,從而易得;(2)利用,,可證是不減數列(即),而,由此可得的“收縮數列”仍是.(3)首先,由已知,當時,;當時,,;當時,(*),這里分析與的大小關系,,均出現矛盾,,結合(*)式可得,因此猜想(),用反證法證明此結論成立,證明時假設是首次不符合的項,則,這樣題設條件變?yōu)椋?),仿照討論的情況討論,可證明.【詳解】解:(1)由可得遞增數列,所以,故的前項和為.(2)因為,,所以所以.又因為,所以,所以的“收縮數列”仍是.(3)由可得當時,;當時,,即,所以;當時,,即(*),若,則,所以由(*)可得,與矛盾;若,則,所以由(*)可得,所以與同號,這與矛盾;若,則,由(*)可得.猜想:滿足的數列是:.經驗證,左式,右式.下面證明其它數列都不滿足(3)的題設條件.法1:由上述時的情況可知,時,是成立的.假設是首次不符合的項,則,由題設條件可得(*),若,則由(*)式化簡可得與矛盾;若,則,所以由(*)可得所以與同號,這與矛盾;所以,則,所以由(*)化簡可得.這與假設矛盾.所以不存在數列不滿足的符合題設條件.法2:當時,,所以即由可得又,所以可得,所以,即所以等號成立的條件是,所以,所有滿足該條件的數列為.【點睛】本題考查數列的新定義問題,考查學生創(chuàng)新意識.第(1)(2)問直接利用新概念“收縮數列”結合不等關系易得,第(3)問考查學生的從特殊到一般的思維能力,考查歸納猜想能力,題中討論與大小關系是解題關鍵所在.本題屬于難題.20.(14分)已知函數f(x)=(a﹣)x2+lnx.(a∈R)(1)當a=0時,求f(x)在x=1處的切線方程;(2)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方,求a的取值范圍;(3)設g(x)=f(x)﹣2ax,h(x)=x2﹣2bx+.當a=時,若對于任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使g(x1)≤h(x2),求實數b的取值范圍.參考答案:【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程;利用導數研究函數的單調性;利用導數求閉區(qū)間上函數的最值.【專題】分類討論;分類法;導數的概念及應用;導數的綜合應用.【分析】(1)求出f(x)的導數,求得切線的斜率和切點,可得切線的方程;(2)令,由題意可得g(x)<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.求出g(x)的導數,對a討論,①若,②若,判斷單調性,求出極值點,即可得到所求范圍;(3)由題意可得任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],只要g(x1)max≤h(x2)max,運用單調性分別求得g(x)和h(x)的最值,解不等式即可得到所求b的范圍.【解答】解:(1)f(x)=﹣x2+lnx的導數為f′(x)=﹣x+,f(x)在x=1處的切線斜率為0,切點為(1,﹣),則f(x)在x=1處的切線方程為;(2)令,則g(x)的定義域為(0,+∞).在區(qū)間(1,+∞)上,函數f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方等價于g(x)<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.①①若,令g'(x)=0,得極值點x1=1,,當x2>x1=1,即時,在(0,1)上有g'(x)>0,在(1,x2)上有g'(x)<0,在(x2,+∞)上有g'(x)>0,此時g(x)在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數,并且在該區(qū)間上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合題意;當x2≤x1=1,即a≥1時,同理可知,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合題意;②若,則有2a﹣1≤0,此時在區(qū)間(1,+∞)上恒有g'(x)<0,從而g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數;要使g(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,由此求得a的范圍是[,].綜合①②可知,當a∈[,]時,函數f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方.(3)當時,由(Ⅱ)中①知g(x)在(0,1)上是增函數,在(1,2)上是減函數,所以對任意x1∈(0,2),都有,又已知存在x2∈[1,2],使g(x1)≤h(x2),即存在x2∈[1,2],使,即存在x2∈[1,2],,即存在x2∈[1,2],使.因為,所以,解得,所以實數b的取值范圍是.【點評】本題考查導數的運用:求切線的方程和單調性,考查不等式恒成立問題及任意性和存在性問題,注意轉化為求最值問題,考查運算能力,屬于中檔題.21.(14分)已知數列{}的前項和,(Ⅰ)求數列的通項公式-;(Ⅱ)設
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