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山西省朔州市親和中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2(a2+c2)﹣ac=2b2,則sinB=()A. B. C. D.參考答案:C【考點】余弦定理.【分析】利用余弦定理,結(jié)合條件,兩邊除以ac,求出cosB,即可求出sinB的值.【解答】解:在△ABC中,由余弦定理得:a2+c2﹣b2=2accosB,代入已知等式得:2accosB=ac,即cosB=,∴sinB==,故選:C.【點評】此題考查了余弦定理,考查學(xué)生的計算能力,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.2.若點(x,y)在橢圓上,則的最小值為(
)A.1
B.-1
C.-
D.以上都不對參考答案:C3.已知i是虛數(shù)單位,若iz=1+2i,則=
A.2+i
B.2-i
C.
D.參考答案:A4.若命題“p或q”為真,“非p”為真,則()A.p真q真 B.p假q真 C.p真q假 D.p假q假參考答案:B【考點】復(fù)合命題的真假.【分析】根據(jù)“非p”為真,得到p假,根據(jù)命題“p或q”為真,則p真或q真,從而得到答案.【解答】解:若命題“p或q”為真,則p真或q真,若“非p”為真,則p為假,∴p假q真,故選:B.5.過平面區(qū)域內(nèi)一點P作圓O:x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,記∠APB=α,則當α最小時cosα的值為(
)A. B. C. D.參考答案:C【考點】簡單線性規(guī)劃.【專題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當α最小時,P的位置,利用余弦函數(shù)的倍角公式,即可得到結(jié)論.【解答】解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖,要使α最小,則P到圓心的距離最大即可,由圖象可知當P位于點D時,∠APB=α最小,由,解得,即D(﹣4,﹣2),此時|OD|=,|OA|=1,則,即sin=,此時cosα=1﹣2sin2=1﹣2()2=1﹣=,故選:C【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,要求熟練掌握兩角和的倍角公式.6.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,則下列各式正確的是(
)A. B. C.a(chǎn)sinB=bsinA D.a(chǎn)sinC=csinB參考答案:C【考點】正弦定理.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;分析法;解三角形.【分析】△ABC中,由正弦定理可得,變形可得結(jié)論.【解答】解:在△ABC中,由正弦定理可得,即asinB=bsinA,故選:C.【點評】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.給定兩個命題p,q.若¬p是q的必要而不充分條件,則p是¬q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷;命題的否定.【專題】簡易邏輯.【分析】根據(jù)互為逆否命題真假性相同,可將已知轉(zhuǎn)化為q是?p的充分不必要條件,進而根據(jù)逆否命題及充要條件的定義得到答案.【解答】解:∵?p是q的必要而不充分條件,∴q是?p的充分不必要條件,即q??p,但?p不能?q,其逆否命題為p??q,但?q不能?p,則p是?q的充分不必要條件.故選A.【點評】本題考查的知識點是充要條件的判斷,其中將已知利用互為逆否命題真假性相同,轉(zhuǎn)化為q是?p的充分不必要條件,是解答的關(guān)鍵.8.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4),若P(X<2a+3)=P(X>a﹣2),則a的值為() A. B. 3 C. 5 D. 參考答案:A略9.在棱長為1的正方體ABCD—中,M和N分別為和的中點,那么直線AM與CN所成角的余弦值是A.
B.
C.
D.參考答案:A略10.已知結(jié)論:“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點,G是三角形ABC的重心,則”,若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:“在棱長都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等,則=() A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:C【考點】類比推理. 【專題】計算題. 【分析】類比平面幾何結(jié)論,推廣到空間,則有結(jié)論:“=3”.設(shè)正四面體ABCD邊長為1,易求得AM=,又O到四面體各面的距離都相等,所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則有r=,可求得r即OM,從而可驗證結(jié)果的正確性. 【解答】解:推廣到空間,則有結(jié)論:“=3”. 設(shè)正四面體ABCD邊長為1,易求得AM=,又O到四面體各面的距離都相等, 所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心,設(shè)內(nèi)切球半徑為r, 則有r=,可求得r即OM=, 所以AO=AM﹣OM=,所以=3 故答案為:3 【點評】本題考查類比推理、幾何體的結(jié)構(gòu)特征、體積法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題. 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線與直線所圍成平面圖形的面積為__________.參考答案:略12.已知函數(shù)f(x)=lnx+x,若函數(shù)f(x)在點P(x0,f(x0))處切線與直線3x﹣y+1=0平行,則x0=.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】求出導(dǎo)函數(shù),利用切線斜率,然后即可.【解答】解:函數(shù)f(x)=lnx+x,可得函數(shù)f′(x)=+1,函數(shù)f(x)在點P(x0,f(x0))處切線與直線3x﹣y+1=0平行,可得:,解得x0=.故答案為:.13.計算
參考答案:16
14..(幾何證明選講)如圖:若,,與交于點D,且,,則
.參考答案:715.某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為____________
參考答案:略16.某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:廣告費用(萬元)3456銷售額(萬元)25304045根據(jù)上表可得回歸方程中的為7.據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為10萬元時銷售額為
(萬元).參考答案:73.517.已知函數(shù)f(x)=x﹣4lnx,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為.參考答案:3x+y﹣4=0【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【專題】計算題.【分析】在填空題或選擇題中,導(dǎo)數(shù)題考查的知識點一般是切線問題.【解答】解:函數(shù)f(x)=x﹣4lnx,所以函數(shù)f′(x)=1﹣,切線的斜率為:﹣3,切點為:(1,1)所以切線方程為:3x+y﹣4=0故答案為:3x+y﹣4=0【點評】考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點的切線方程,考查計算能力,注意正確求導(dǎo).三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.用分析法證明:若a>0,則參考答案:證明:要證-≥a+-2,只需證+2≥a++.∵a>0,∴兩邊均大于零,因此只需證(+2)2≥(a++)2,只需證a2++4+4≥a2++2+2(a+),只需證≥(a+),只需證a2+≥(a2++2),即證a2+≥2,它顯然是成立,∴原不等式成立.
略19.(本大題滿分12分)如圖,、為橢圓的左右焦點,P為橢圓上一點,且位于軸上方,過點P作x軸的平行線交橢圓右準線于點M,連接,(1)若存在點P,使為平行四邊形,求橢圓的離心率e的取值范圍;(2)若存在點P,使為菱形;①求橢圓的離心率;②設(shè)、,求證:以為直徑的圓經(jīng)過點B.參考答案:(1)設(shè),則,∵,∴,由;(2)①,,∵,∴;②以為直徑的圓方程為,下證滿足方程,即…(*),∵,∴,∴,∴(*)成立,∴以為直徑的圓經(jīng)過點B.20.東莞市某高級中學(xué)在今年4月份安裝了一批空調(diào),關(guān)于這批空調(diào)的使用年限x(單位:年,x∈N*)和所支出的維護費用y(單位:萬元)廠家提供的統(tǒng)計資料如下:使用年限x(年)12345維護費用y(萬元)677.589
(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù),用最小二乘法原理求出維護費用y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若規(guī)定當維護費用y超過13.1萬元時,該批空調(diào)必須報廢,試根據(jù)(1)的結(jié)論預(yù)測該批空調(diào)使用年限的最大值.參考公式:最小二乘估計線性回歸方程中系數(shù)計算公式:,,其中表示樣本均值.參考答案:(1),
故線性回歸方程為.(2)當維護費用超過13.1萬元時,即
從第12年開始這批空調(diào)必須報廢,該批空調(diào)使用年限的最大值為11年.答:該批空調(diào)使用年限的最大值為11年.21.一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊,欲分幾次訂貨,如果每次訂貨要付手續(xù)費30元,每千冊書存放一年要耗庫費40元,并假設(shè)該書均勻投放市場,問此書店分幾次進貨、每次進多少冊,可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少?參考答案:假設(shè)每次進書x千冊,手續(xù)費與庫存費之和為y元,由于該書均勻投放市場,則平均庫存量為批量之半,即,故有y=×30+×40,y′=-+20,令y′=0,得x=15,且y″=,f″(15)>0,所以當x=15時,y取得極小值,且極小值唯一,故
當x=15時,y取得最小值,此時進貨次數(shù)為=10(次).即該書店分10次進貨,每次進15000冊書,所付手續(xù)費與庫存費之和最少.略22.(本小題滿分14分)命題不等式在區(qū)間上恒成立,命題:存在,使不等式成立,若“或為真”,“且為假”,求實數(shù)的取值范圍.參考答案:當為真命題時,不等式在區(qū)間上恒成立,令,則,………
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