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2023年中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.下列四個(gè)幾何體,正視圖與其它三個(gè)不同的幾何體是()A. B.C. D.2.如圖,是由幾個(gè)相同的小正方形搭成幾何體的左視圖,這幾個(gè)幾何體的擺搭方式可能是()A. B. C. D.3.如圖,PA切⊙O于點(diǎn)A,PO交⊙O于點(diǎn)B,點(diǎn)C是⊙O優(yōu)弧弧AB上一點(diǎn),連接AC、BC,如果∠P=∠C,⊙O的半徑為1,則劣弧弧AB的長(zhǎng)為()A.π B.π C.π D.π4.下列運(yùn)算正確的是()A.a(chǎn)4+a2=a4 B.(x2y)3=x6y3C.(m﹣n)2=m2﹣n2 D.b6÷b2=b35.甲、乙兩人參加射擊比賽,每人射擊五次,命中的環(huán)數(shù)如下表:次序第一次第二次第三次第四次第五次甲命中的環(huán)數(shù)(環(huán))67868乙命中的環(huán)數(shù)(環(huán))510767根據(jù)以上數(shù)據(jù),下列說(shuō)法正確的是()A.甲的平均成績(jī)大于乙 B.甲、乙成績(jī)的中位數(shù)不同C.甲、乙成績(jī)的眾數(shù)相同 D.甲的成績(jī)更穩(wěn)定6.如圖,已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿(mǎn)足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A.48 B.60C.76 D.807.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為P,若S△APB=1,則b與c滿(mǎn)足的關(guān)系是()A.b2-4c+1=0 B.b2-4c-1=0 C.b2-4c+4=0 D.b2-4c-4=08.如圖所示圖形中,不是正方體的展開(kāi)圖的是()A. B.C. D.9.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A. B.C. D.10.如圖是由5個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體,則該幾何體的主視圖是()A. B. C. D.11.2014年底,國(guó)務(wù)院召開(kāi)了全國(guó)青少年校園足球工作會(huì)議,明確由教育部正式牽頭負(fù)責(zé)校園足球工作.2018年2月1日,教育部第三場(chǎng)新春系列發(fā)布會(huì)上,王登峰司長(zhǎng)總結(jié)前三年的工作時(shí)提到:校園足球場(chǎng)地,目前全國(guó)校園里面有5萬(wàn)多塊,到2020年要達(dá)到85000塊.其中85000用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A.0.85105 B.8.5104 C.8510-3 D.8.510-412.如圖,在?ABCD中,∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,AG與BH交于點(diǎn)O,連接BE,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.14.七巧板是我國(guó)祖先創(chuàng)造的一種智力玩具,它來(lái)源于勾股法,如圖①整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小塊(其中:五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形)組成,如圖②是由七巧板拼成的一個(gè)梯形,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm,則梯形MNGH的周長(zhǎng)是cm(結(jié)果保留根號(hào)).15.拋物線y=(x﹣3)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____.16.如圖是一組有規(guī)律的圖案,圖案1是由4個(gè)組成的,圖案2是由7個(gè)組成的,那么圖案5是由個(gè)組成的,依此,第n個(gè)圖案是由個(gè)組成的.17.在函數(shù)y=x-4中,自變量x的取值范圍是_____.18.用一條長(zhǎng)60cm的繩子圍成一個(gè)面積為216的矩形.設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm,則可列方程為_(kāi)_____.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19.(6分)計(jì)算:4cos30°﹣+20180+|1﹣|20.(6分)華聯(lián)超市準(zhǔn)備代銷(xiāo)一款運(yùn)動(dòng)鞋,每雙的成本是170元,為了合理定價(jià),投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷(xiāo).據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,銷(xiāo)售單價(jià)是200元時(shí),每天的銷(xiāo)售量是40雙,而銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元,每天就可多售出5雙,設(shè)每雙降低x元(x為正整數(shù)),每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元.求y與x的函數(shù)關(guān)系式;每雙運(yùn)動(dòng)鞋的售價(jià)定為多少元時(shí),每天可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?21.(6分)閱讀下面材料:已知:如圖,在正方形ABCD中,邊AB=a1.按照以下操作步驟,可以從該正方形開(kāi)始,構(gòu)造一系列的正方形,它們之間的邊滿(mǎn)足一定的關(guān)系,并且一個(gè)比一個(gè)小.操作步驟作法由操作步驟推斷(僅選取部分結(jié)論)第一步在第一個(gè)正方形ABCD的對(duì)角線AC上截取AE=a1,再作EF⊥AC于點(diǎn)E,EF與邊BC交于點(diǎn)F,記CE=a2(i)△EAF≌△BAF(判定依據(jù)是①);(ii)△CEF是等腰直角三角形;(iii)用含a1的式子表示a2為②:第二步以CE為邊構(gòu)造第二個(gè)正方形CEFG;第三步在第二個(gè)正方形的對(duì)角線CF上截取FH=a2,再作IH⊥CF于點(diǎn)H,IH與邊CE交于點(diǎn)I,記CH=a3:(iv)用只含a1的式子表示a3為③:第四步以CH為邊構(gòu)造第三個(gè)正方形CHIJ這個(gè)過(guò)程可以不斷進(jìn)行下去.若第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an,用只含a1的式子表示an為④請(qǐng)解決以下問(wèn)題:(1)完成表格中的填空:①;②;③;④;(2)根據(jù)以上第三步、第四步的作法畫(huà)出第三個(gè)正方形CHIJ(不要求尺規(guī)作圖).22.(8分)已知:如圖,平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊BC和AD上的點(diǎn),且BE=DF,求證:AE=CF23.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣4,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)連接AC、BC,判斷△ABC的形狀,并證明;(3)若點(diǎn)P為二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn),求出使△PBC周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo).24.(10分)計(jì)算:2﹣1+|﹣|++2cos30°25.(10分)已知AB是⊙O的直徑,PB是⊙O的切線,C是⊙O上的點(diǎn),AC∥OP,M是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn),A與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值為d,B與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值為f.(1)求證:PC是⊙O的切線;(2)設(shè)OP=AC,求∠CPO的正弦值;(3)設(shè)AC=9,AB=15,求d+f的取值范圍.26.(12分)如圖,一次函數(shù)y1=﹣x﹣1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為M(﹣2,m).(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)求點(diǎn)B到直線OM的距離.27.(12分)已知關(guān)于x的一元二次方程.求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;如果方程的兩實(shí)根為,,且,求m的值.
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、C【解析】
根據(jù)幾何體的三視圖畫(huà)法先畫(huà)出物體的正視圖再解答.【詳解】解:A、B、D三個(gè)幾何體的主視圖是由左上一個(gè)正方形、下方兩個(gè)正方形構(gòu)成的,而C選項(xiàng)的幾何體是由上方2個(gè)正方形、下方2個(gè)正方形構(gòu)成的,故選:C.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)幾何體三視圖的理解,掌握幾何體的主視圖是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】
根據(jù)左視圖的概念得出各選項(xiàng)幾何體的左視圖即可判斷.【詳解】解:A選項(xiàng)幾何體的左視圖為;
B選項(xiàng)幾何體的左視圖為;
C選項(xiàng)幾何體的左視圖為;
D選項(xiàng)幾何體的左視圖為;
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖判斷幾何體,解題的關(guān)鍵是熟練掌握左視圖的概念.3、A【解析】
利用切線的性質(zhì)得∠OAP=90°,再利用圓周角定理得到∠C=∠O,加上∠P=∠C可計(jì)算寫(xiě)出∠O=60°,然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng).【詳解】解:∵PA切⊙O于點(diǎn)A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∵∠C=∠O,∠P=∠C,∴∠O=2∠P,而∠O+∠P=90°,∴∠O=60°,∴劣弧AB的長(zhǎng)=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理和弧長(zhǎng)公式.4、B【解析】分析:根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng),積的乘方,完全平方公式,同底數(shù)冪相除的性質(zhì),逐一計(jì)算判斷即可.詳解:根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義,可知a4與a2不是同類(lèi)項(xiàng),不能計(jì)算,故不正確;根據(jù)積的乘方,等于個(gè)個(gè)因式分別乘方,可得(x2y)3=x6y3,故正確;根據(jù)完全平方公式,可得(m-n)2=m2-2mn+n2,故不正確;根據(jù)同底數(shù)冪的除法,可知b6÷b2=b4,不正確.故選B.點(diǎn)睛:此題主要考查了合并同類(lèi)項(xiàng),積的乘方,完全平方公式,同底數(shù)冪相除的性質(zhì),熟記并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.5、D【解析】
根據(jù)已知條件中的數(shù)據(jù)計(jì)算出甲、乙的方差,中位數(shù)和眾數(shù)后,再進(jìn)行比較即可.【詳解】把甲命中的環(huán)數(shù)按大小順序排列為:6,6,7,8,8,故中位數(shù)為7;把乙命中的環(huán)數(shù)按大小順序排列為:5,6,7,7,10,故中位數(shù)為7;∴甲、乙成績(jī)的中位數(shù)相同,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可知,甲的眾數(shù)是8環(huán),乙的眾數(shù)是7環(huán),∴甲、乙成績(jī)的眾數(shù)不同,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;甲命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為:x甲乙命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為:x乙∴甲的平均數(shù)等于乙的平均數(shù),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;甲的方差S甲2=15[(6?7)2+(7?7)2+(8?7)2+(6?7)2乙的方差=15[(5?7)2+(10?7)2+(7?7)2+(6?7)2+(7?7)2因?yàn)?.8>0.8,所以甲的穩(wěn)定性大,故選項(xiàng)D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查方差的意義.方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量,方差越大,表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大,即波動(dòng)越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;反之,方差越小,表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中,各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小,即波動(dòng)越小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.同時(shí)還考查了眾數(shù)的中位數(shù)的求法.6、C【解析】試題解析:∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選C.考點(diǎn):勾股定理.7、D【解析】
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(?,),設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(,0)、B(,0)則AB=,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把AB的長(zhǎng)度用b、c表示,而S△APB=1,然后根據(jù)三角形的面積公式就可以建立關(guān)于b、c的等式.【詳解】解:∵,∴AB==,∵若S△APB=1∴S△APB=×AB×=1,∴?××,∴,設(shè)=s,則,故s=2,∴=2,∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)情況與判別式的關(guān)系、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形的面積公式等知識(shí),綜合性比較強(qiáng).8、C【解析】
由平面圖形的折疊及正方形的展開(kāi)圖結(jié)合本題選項(xiàng),一一求證解題.【詳解】解:A、B、D都是正方體的展開(kāi)圖,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、帶“田”字格,由正方體的展開(kāi)圖的特征可知,不是正方體的展開(kāi)圖.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的展開(kāi)圖,難度不大,但是需要空間想象力才能更好的解題9、C【解析】
分別求出每一個(gè)不等式的解集,根據(jù)口訣:大小小大中間找確定不等式組的解集,在數(shù)軸上表示時(shí)由包括該數(shù)用實(shí)心點(diǎn)、不包括該數(shù)用空心點(diǎn)判斷即可.【詳解】解:解不等式﹣x+7<x+3得:x>2,解不等式3x﹣5≤7得:x≤4,∴不等式組的解集為:2<x≤4,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組,正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ),熟知“同大取大;同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.10、A【解析】試題分析:觀察圖形可知,該幾何體的主視圖是.故選A.考點(diǎn):簡(jiǎn)單組合體的三視圖.11、B【解析】
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義,科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.在確定n的值時(shí),等于這個(gè)數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.【詳解】解:85000用科學(xué)記數(shù)法可表示為8.5×104,
故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.12、D【解析】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AH∥BG,AD=BC,∴∠H=∠HBG.∵∠HBG=∠HBA,∴∠H=∠HBA,∴AH=AB.同理可證BG=AB,∴AH=BG.∵AD=BC,∴DH=CG,故C正確.∵AH=AB,∠OAH=∠OAB,∴OH=OB,故A正確.∵DF∥AB,∴∠DFH=∠ABH.∵∠H=∠ABH,∴∠H=∠DFH,∴DF=DH.同理可證EC=CG.∵DH=CG,∴DF=CE,故B正確.無(wú)法證明AE=AB,故選D.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、9【解析】解:360÷40=9,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是914、24+24【解析】
仔細(xì)觀察梯形從而發(fā)現(xiàn)其各邊與原正方形各邊之間的關(guān)系,則不難求得梯形的周長(zhǎng).【詳解】解:觀察圖形得MH=GN=AD=12,HG=AC,AD=DC=12,AC=12,HG=6.梯形MNGH的周長(zhǎng)=HG+HM+MN+NG=2HM+4HG=24+24.故答案為24+24.【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)的運(yùn)用及觀察分析圖形的能力.15、(3,1)【解析】分析:已知拋物線解析式為頂點(diǎn)式,可直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo).詳解:∵y=(x﹣3)2+1為拋物線的頂點(diǎn)式,根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1).故答案為(3,1).點(diǎn)睛:主要考查了拋物線頂點(diǎn)式的運(yùn)用.16、16,3n+1.【解析】
觀察不難發(fā)現(xiàn),后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多3個(gè)基礎(chǔ)圖形,然后寫(xiě)出第5個(gè)和第n個(gè)圖案的基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)即可.【詳解】由圖可得,第1個(gè)圖案基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)為4,第2個(gè)圖案基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)為7,7=4+3,第3個(gè)圖案基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)為10,10=4+3×2,…,第5個(gè)圖案基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)為4+3(5?1)=16,第n個(gè)圖案基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)為4+3(n?1)=3n+1.故答案為16,3n+1.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型:圖形的變化類(lèi),根據(jù)圖像發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.17、x≥4【解析】試題分析:二次根式有意義的條件:二次根號(hào)下的數(shù)為非負(fù)數(shù),二次根式才有意義.由題意得,.考點(diǎn):二次根式有意義的條件點(diǎn)評(píng):本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題,只需學(xué)生熟練掌握二次根式有意義的條件,即可完成.18、【解析】
根據(jù)周長(zhǎng)表達(dá)出矩形的另一邊,再根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程.【詳解】解:由題意可知,矩形的周長(zhǎng)為60cm,∴矩形的另一邊為:,∵面積為216,∴故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19、【解析】
先代入三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)二次根式、計(jì)算零指數(shù)冪、取絕對(duì)值符號(hào),再計(jì)算乘法,最后計(jì)算加減可得.【詳解】原式===【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及零指數(shù)冪、絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì).20、(1)y=﹣5x2+110x+1200;(2)售價(jià)定為189元,利潤(rùn)最大1805元【解析】
利潤(rùn)等于(售價(jià)﹣成本)×銷(xiāo)售量,根據(jù)題意列出表達(dá)式,借助二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可;【詳解】(1)y=(200﹣x﹣170)(40+5x)=﹣5x2+110x+1200;(2)y=﹣5x2+110x+1200=﹣5(x﹣11)2+1805,∵拋物線開(kāi)口向下,∴當(dāng)x=11時(shí),y有最大值1805,答:售價(jià)定為189元,利潤(rùn)最大1805元;【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際應(yīng)用中利潤(rùn)的求法,二次函數(shù)的應(yīng)用;能夠根據(jù)題意列出合理的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.21、(1)①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等②(﹣1)a1;③(-1)2a1;④(-1)n-1a1;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)①由題意可知在Rt△EAF和Rt△BAF中,AE=AB,AF=AF,所以Rt△EAF≌Rt△BAF;②由題意得AB=AE=a1,AC=a1,則CE=a2=a1﹣a1=(﹣1)a1;③同上可知CF=CE=(-1)a1,F(xiàn)H=EF=a2,則CH=a3=CF﹣FH=(-1)2a1;④同理可得an=(-1)n-1a1;(2)根據(jù)題意畫(huà)圖即可.【詳解】解:(1)①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等;理由是:如圖1,在Rt△EAF和Rt△BAF中,∵,∴Rt△EAF≌Rt△BAF(HL);②∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=a1,∠ABC=90°,∴AC=a1,∵AE=AB=a1,∴CE=a2=a1﹣a1=(﹣1)a1;③∵四邊形CEFG是正方形,∴△CEF是等腰直角三角形,∴CF=CE=(-1)a1,∵FH=EF=a2,∴CH=a3=CF﹣FH=(-1)a1﹣(-1)a1=(-1)2a1;④同理可得:an=(-1)n-1a1;故答案為①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等②(﹣1)a1;③(-1)2a1;④(-1)n-1a1;(2)所畫(huà)正方形CHIJ見(jiàn)右圖.22、詳見(jiàn)解析【解析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△ABE≌△CDF,再利用全等三角形的性質(zhì):即可得到AE=CF.【詳解】證:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,∠B=∠D,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.(其他證法也可)23、(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC為直角三角形,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,)時(shí),△PBC周長(zhǎng)最小【解析】
(1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+4)(x-1),展開(kāi)得到-4a=2,然后求出a即可得到拋物線解析式;
(2)先利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=25,然后利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形;
(3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-,連接AC交直線x=-于P點(diǎn),如圖,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到PB+PC的值最小,則△PBC周長(zhǎng)最小,接著利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+2,然后進(jìn)行自變量為-所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣1),即y=ax2+3ax﹣4a,∴﹣4a=2,解得a=﹣,∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC為直角三角形.理由如下:當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2﹣x+2=2,則C(0,2),∵A(﹣4,0),B(1,0),∴AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=52=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC為直角三角形,∠ACB=90°;(3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣,連接AC交直線x=﹣于P點(diǎn),如圖,∵PA=PB,∴PB+PC=PA+PC=AC,∴此時(shí)PB+PC的值最小,△PBC周長(zhǎng)最小,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,∴直線AC的解析式為y=x+2,當(dāng)x=﹣時(shí),y=x+2=,則P(﹣,)∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,)時(shí),△PBC周長(zhǎng)最?。军c(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化解.關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和最短路徑問(wèn)題.24、+4.【解析】
原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則,二次根式性質(zhì),以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值.【詳解】原式=++2+2×=+4.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,涉及了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡(jiǎn)等,熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.25、(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3)【解析】
(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠OCA,由平行線的性質(zhì)得到∠A=∠BOP,∠ACO=∠COP,等量代換得到∠COP=∠BOP,由切線的性質(zhì)得到∠OBP=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)過(guò)O作OD⊥AC于D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD?OP=OC2,根據(jù)已知條件得到,由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論;
(3)連接BC,根據(jù)勾股定理得到BC==12,當(dāng)M與A重合時(shí),得到d+f=12,當(dāng)M與B重合時(shí),得到d+f=9,于是得到結(jié)論.【詳解】(1)連接OC,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∵AC∥OP,
∴∠A=∠BOP,∠ACO=∠COP,
∴∠COP=∠BOP,
∵PB是⊙O的切線,AB是⊙O的直徑,
∴∠OBP=90°,
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