自適應(yīng)信號處理

1自適應(yīng)信號處理

AdaptiveSignalProcessing

薛永林

xueyl@FIT1-410

2課程內(nèi)容C.1 自適應(yīng)信號處理（Introduction）自適應(yīng)系統(tǒng)特點,自適應(yīng)處理原理梯度和最小均方誤差，性能函數(shù)和性能曲面C.2 自適應(yīng)搜索算法性能曲面梯度搜索 牛頓法，最陡下降法學(xué)習(xí)曲線及比較C.3 LMS算法LMS算法導(dǎo)出，加權(quán)矢量的收斂性學(xué)習(xí)曲線，梯度估計對自適應(yīng)過程的影響加權(quán)矢量解中的噪聲，失調(diào)C.4 最小二乘自適應(yīng)濾波及快速算法投影矩陣，濾波算子格型濾波器，快速橫向濾波器C.5 自適應(yīng)信號處理的應(yīng)用

3參考文獻(1)張旭東、陸明泉，離散隨機信號處理，清華大學(xué)出版社，2005(2)BernardWidrow，SamuelD.Stearns， AdaptiveSignalProcessing，

Prentice-Hall，1985(3)SimonHaykin，自適應(yīng)濾波器原理，第4版，電子工業(yè)出版社，20034C.1自適應(yīng)信號處理C1.1自適應(yīng)處理概述C1.1.1自適應(yīng)系統(tǒng)特點:能自動適應(yīng)(最佳)變化的(時變)環(huán)境條件和要求可被訓(xùn)練以實現(xiàn)特定的過濾和判決可趨于自學(xué)習(xí)、自修復(fù)、自更新和自設(shè)計復(fù)雜性高，系統(tǒng)性能高（尤其是對時變信號）主要是時變的非線性系統(tǒng)5自適應(yīng)濾波器：

當(dāng)環(huán)境條件發(fā)生變化時，能自動檢測變化并調(diào)整參數(shù)使輸出性能達到最優(yōu)的濾波器

自適應(yīng)過程：

包括學(xué)習(xí)過程和跟蹤過程 性能測量：

自適應(yīng)的速度 接近最優(yōu)的程度

6C1.1.2自適應(yīng)系統(tǒng)分類開環(huán)系統(tǒng)

7

閉環(huán)系統(tǒng)8C1.1.3自適應(yīng)系統(tǒng)指標（1）收斂速率

濾波器從初始參數(shù)調(diào)節(jié)到輸出充分接近最優(yōu)所需 的迭代次數(shù)（2）失調(diào)

充分接近與最優(yōu)的偏離程度（3）計算量（復(fù)雜度）9C1.1.4自適應(yīng)算法

根據(jù)濾波器結(jié)構(gòu)和算法準則,自適應(yīng)算法主要有：梯度算法最小均方濾波器格型自適應(yīng)濾波器最小二乘自適應(yīng)濾波器快速橫向自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)無限沖激響濾波器

隨機梯度濾波算子

10C1.1.5自適應(yīng)濾波應(yīng)用范圍系統(tǒng)辨識自適應(yīng)均衡語音處理譜分析自適應(yīng)信號檢測自適應(yīng)噪聲消除自適應(yīng)動目標檢測11C1.2自適應(yīng)系統(tǒng)基本原理C1.2.1自適應(yīng)線性組合器非遞歸自適應(yīng)濾波器12輸入信號可以是多個信源信號輸入，也可以是一個信號的個連續(xù)樣本的輸入，記

或每個信號的加權(quán)因子為

輸出

或

對閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)（加權(quán)矢量）和“希望響應(yīng)”或“訓(xùn)練信號”有關(guān)，即有性能反饋13C1.2.2性能函數(shù)和均方誤差性能表面

若希望響應(yīng)為dk，誤差信號為平方誤差信號為如果該過程為統(tǒng)計平穩(wěn)的，則 設(shè)相關(guān)矩陣，希望響應(yīng)和輸入分量間的互相關(guān)用表示,則均方誤差—性能函數(shù)14

均方誤差性能表面是一個關(guān)于的碗形的二次誤差函數(shù)或二次曲面。

15C1.2.3梯度和最小均方誤差常用梯度法以尋求性能表面的最小點梯度可求得為：

為獲得均方誤差的最小值，對加權(quán)向量取其最佳值，使梯度為0，即

這是Wiener-Hopf方程的一種矩陣表示，則最小均方誤差為

16性能函數(shù)也可用下式表示（可證與2.2中性能函數(shù)相等）

若令則

欲使,則須 當(dāng)時,,Rx

正定,Rx

半正定

若梯度可有另一種表達方式若17C1.2.4二次性能曲面的性質(zhì)對于輸入相關(guān)矩陣Rx，

為Rx的特征值

為Rx的特征矢量，

則

可以證明：（1）若

，即特征矢量相互正交,即,,n=0，…L

令（3）歸一化 （2）18證明：（1），，則故（2）令，則，，故 （3）歸一化為標準正交矩陣，則19特征值和特征矢量的幾何意義

—平移—旋轉(zhuǎn)—等值線橢圓 或可表示為即另由 梯度20結(jié)論：輸入相關(guān)矩陣的特征矢量規(guī)定誤差曲面的主軸輸入相關(guān)矩陣的特征值規(guī)定誤差曲面關(guān)于其主軸的二階導(dǎo)數(shù)

21C1.2.5誤差和輸入信號的不相關(guān)性

當(dāng)時，

結(jié)論：當(dāng)濾波器響應(yīng)達到最佳時， 誤差信號與輸入信號互不相關(guān)（正交）。誤差信號22C.2自適應(yīng)搜索算法

或

或

C.2.1梯度搜索算法基本原理23在性能曲面上，以任意W0為起始尋求W*，即是決定收斂速率和穩(wěn)定性的增益常數(shù)，稱作收斂因子?；驓w納可得第K次迭代當(dāng)時，對于一維加權(quán)矢量24C.2.2牛頓搜索算法選定初值w0，預(yù)計下一估值w1其導(dǎo)數(shù)

則歸納可得求函數(shù)的解：25

而故令，則對于二次曲面，將當(dāng)時，，一次迭代即可。為估值代入26一般地對于任意加權(quán)矢量，有 ∴

一次迭代27又有最小均方誤差加權(quán)矢量梯度向量故當(dāng)時，，一次迭代即達最優(yōu)。2829

在二次性能曲面上，牛頓迭代法可一次達到最優(yōu)，但實際自適應(yīng)系統(tǒng)沒有足夠的信息量來保證這一次迭代的成功。在非穩(wěn)條件下，有兩個問題：（1）

矩陣未知，僅僅只能盡可能好地估計。（2）在每一次自適應(yīng)迭代時，梯度須利用局部觀測來加以估計。30為了預(yù)期有噪的和估計的影響，我們調(diào)整牛頓迭代法：得到一種算法，使在許多次迭代后收斂于，這小增量將有平滑在和估計中噪聲的效果， 以較小的增量調(diào)節(jié)修改后的牛頓迭代法為：使得自適應(yīng)系統(tǒng)有穩(wěn)定的性能31

在無噪聲條件下，和收斂僅取決于標量收斂因子為此代入式歸納為可以準確知道32

在無噪情況下的收斂條件為： 是一步收斂是振蕩收斂

實際自適應(yīng)系統(tǒng)中具有噪聲，的優(yōu)化在小于1/2，通常作為多次迭代的收斂因子。是平滑收斂33最陡下降法和牛頓方法不同，每一步的加權(quán)調(diào)節(jié)是在梯度方向上。最陡下降法迭代算法為：而

則

平移向量平移C.2.3最陡下降梯度搜索方法所以34旋轉(zhuǎn)座標到主軸方向，即 其中故歸納可得迭代公式35最陡下降法穩(wěn)定和收斂的條件為： 由于對角矩陣之積恰等于相應(yīng)對角元素乘積之矩陣，故36要滿足收斂條件，須其中是的最大特征值。 而則則3738C.2.4迭代的穩(wěn)定性和收斂速率

若滿足上述條件，各項公比均滿足 迭代收斂的條件為39當(dāng)，稱為過阻尼情況，穩(wěn)定收斂。，當(dāng)，稱為臨界阻尼情況，一步收斂。，當(dāng)，稱為欠阻尼情況，振蕩收斂。，當(dāng)或稱為不收斂或不穩(wěn)定情況。

時，40收斂速率隨r的減小而增大。41

自適應(yīng)系統(tǒng)中，MSE收斂于其最小值的過程，作為其性能的一種測度，我們現(xiàn)稱之為學(xué)習(xí)過程，而MSE值對應(yīng)其迭代次數(shù)的曲線稱之為學(xué)習(xí)曲線。均方誤差 利用移動座標則C.2.5自適應(yīng)搜索學(xué)習(xí)曲線42在牛頓迭代算法中：

則

為簡單幾何級數(shù)，幾何比為：

43牛頓法的學(xué)習(xí)曲線是有單一時間常數(shù)的純指數(shù)函數(shù)

44為了說明學(xué)習(xí)曲線的收斂過程，定義兩種時間常數(shù)：如果一個單位時間相應(yīng)于一次迭代，可以記為收斂特性時間常數(shù)和權(quán)值公比的關(guān)系，，，即K次迭代，一次迭代而則權(quán)值收斂時間常數(shù)45

學(xué)習(xí)曲線的時間常數(shù)定義為學(xué)習(xí)曲線的幾何比則相應(yīng)的時間常數(shù)為由此 46在最陡下降搜索算法時： 其中

和均為對角矩陣，可交換47則

故最陡下降搜索算法的學(xué)習(xí)曲線是一些遞降幾何級數(shù)之和，各個幾何級數(shù)之公比為： 最陡下降法的學(xué)習(xí)曲線是具有幾何比為即學(xué)習(xí)