節(jié)矩陣的初等變換

§1.6

矩陣的初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣求逆矩陣的初等變換法一、矩陣的初等變換與初等矩陣1.初等變換的定義定義1.13

設(shè)A=(aij

)m

n,則以下三種變換：(1)

交換A

的某兩行(列)；(2)

用一個(gè)非零的數(shù)乘以A

的某一行(列)；(3)

將A

的某一行(列)的k

倍加到另一行(列)上.稱為矩陣A

的行(列)初等變換.一般將矩陣的行、列初等變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.2.初等矩陣的定義定義1.14

由單位矩陣E

經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.3.三種初等矩陣三種初等變換對應(yīng)于三種初等矩陣.一般地，對于n

階單位矩陣E，有(1)

交換E

的第i、j

行(列)(i<j)，得到的初等矩陣記作P(i,j):(2)

用非零常數(shù)k

乘以E

的第i

行(列)，得到的矩陣記作P(i(k)),(3)

將E

的第j

行的k

倍加到第i

行(或第i

列的k

倍加到第j

列)(i<j)，得到的初等矩陣記作P(i，j(k)),4.初等矩陣的性質(zhì)可以直接驗(yàn)證，初等矩陣具有以下性質(zhì)：(1)

初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣；(2)

初等矩陣均為可逆矩陣，并且其逆矩陣仍為同類型的初等矩陣.其中5.初等變換與初等矩陣的關(guān)系矩陣的初等變換和初等矩陣有著非常密切的關(guān)系.由下面的定理給出.定理1.6

設(shè)A=(aij)是m

n

矩陣，則(1)

對A

進(jìn)行一次行初等變換，相當(dāng)于用一個(gè)m階的初等矩陣左乘A;(2)

對A

進(jìn)行一次列初等變換，相當(dāng)于用一個(gè)n階的初等矩陣右乘A.左行右列例1

設(shè)分別將A

的第一、二行互換和將A

的第一列的–2倍加到第二列，求出對應(yīng)的初等矩陣，并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來.二、求逆矩陣的初等變換法1.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定義1.15

如果矩陣B

可以由矩陣A

經(jīng)過有限次初等變換得到，則稱A

與B

是等價(jià)的(相抵的).定理1.7

任意矩陣A

都與一個(gè)形如的矩陣等價(jià).這個(gè)矩陣稱為矩陣A

的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.例4

求下列矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形推論1

對于任意

m

n

矩陣A，存在m

階初等矩陣P1,P2,···,Ps

和n

階初等矩陣Q1,Q2,···,Qt

,使得推論2

對于任意

m

n

矩陣A，存在m

階可逆矩陣P

和n

階可逆矩陣Q，使得推論3

n

階矩陣A

可逆的充分必要條件是A

的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E.推論4

n

階矩陣A

可逆的充分必要條件是A

可以表為有限個(gè)初等矩陣的乘積.2.求逆矩陣的初等變換法A可逆例5

求下列矩陣的逆矩陣行初等變換法求逆矩陣的計(jì)算形式，還可以用于求解形如AX=B的矩陣方程.A

為已知的n

階可逆矩陣，B

為已知的n

m

矩陣，X

為未知的n