創(chuàng)意二高考試題探源

根據(jù)幾何體的三視圖求幾何體的體積或表面積命題角度：高考對(duì)三視圖的考查，主要有以下兩種類型：1.給出幾何體判定其三視圖；2.由三視圖求幾何體的表面積或體積，

其中類型2高考頻率很高，多為選擇題和填空題，難度較小，有些試題是通過(guò)課本習(xí)題改造變化而成．創(chuàng)意（二）高考試題探源課本題源：(教材P29習(xí)題1.3B組T1)如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積(尺寸如圖，單位：cm，π取3.14，結(jié)果分別精確到1cm2，1cm3，可用計(jì)算器)．高考真題：(2012·遼寧，13)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解．該幾何體的上面是一個(gè)圓柱，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，所以V＝4×3×1＋π×12×1＝12＋π.答案

12＋π反思感悟本考題與所展現(xiàn)的教材習(xí)題比較，是課本習(xí)題去掉下部的四棱臺(tái)把上部的球改換成圓柱加工而成，解決的基本思路是由三視圖想象確定組合體的結(jié)構(gòu)特征，然后根據(jù)三視圖中所標(biāo)給的數(shù)據(jù)推斷幾何體的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)而求出體積．[補(bǔ)償訓(xùn)練1](2012·湖北，15)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．解析利用組合體的體積是3個(gè)圓柱的體積和求解．由三視圖知幾何體由兩個(gè)底面直徑為4、高為1的圓柱和一個(gè)底面直徑為2、高為4的圓柱組成，故V＝2×π22×1＋π×12×4＝12π.答案

12π

實(shí)際問(wèn)題中的幾何體的表面積或體積問(wèn)題命題角度：直接根據(jù)所給出的幾何體或幾何體的直觀圖求幾何體的表面積或體積是本章在高考中一類常見(jiàn)考題．主要用以考查學(xué)生對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的理解把握及關(guān)于幾何體體積、表面積的計(jì)算能力，難度不大．多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)以解答題形式考查，有些試題是從課本中的習(xí)題改造加工而成，體現(xiàn)了“源于教材又略高于教材”這一命題的指導(dǎo)思想．課本題源：(教材P29習(xí)題1.3A組T5)如圖是一個(gè)煙筒的直觀圖(圖中單位：cm)，它的下部是一個(gè)四棱臺(tái)(上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形)形物體；上部是一個(gè)四棱柱(底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形)形物體，為防止雨水的侵蝕，增加美觀，需要粘貼瓷磚，需要瓷磚多少平方厘米(結(jié)果精確到1cm2，可用計(jì)算器)?高考真題：(2012·湖北，19)某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1－ABCD，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)證明：直線B1D1⊥平面ACC2A2；(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(單位：厘米)，每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？(1)證明因?yàn)樗睦庵鵄BCD－A2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形，所以AA2⊥AB，AA2⊥AD.又因?yàn)锳B∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD.連接BD，因?yàn)锽D?平面ABCD，所以AA2⊥BD.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC⊥BD.根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BD與B1D1共面．又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.于是，由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又因?yàn)锳A2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2.反思感悟本考題與所展示課本習(xí)題比較，只是增加了線面位置關(guān)系的考查，其余完全類同，解決此類考題，必須把握所給幾何體的結(jié)構(gòu)特征，才能推理論證線面關(guān)系，正確計(jì)算其表面積或體積，從而解決實(shí)際問(wèn)題．[補(bǔ)償訓(xùn)練2]某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖(1)所示．墩的上半部分是正四棱錐P－EFGH，下半部分是長(zhǎng)方體ABCD－EFGH.如圖(2)(3)所示的分別是該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖． (1)請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖； (2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積．[補(bǔ)償訓(xùn)練3]如圖是一直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.(1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A1B1C1；(2)求二面角B－AC－A1的大小；(3)求此幾何體的體積．

以直棱柱為載體考查線面位置關(guān)系命題角度：以直棱柱為載體考查線面位置關(guān)系是高考中常見(jiàn)的一類解答題，主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征及線面平行、垂直間的相互轉(zhuǎn)化，難度中等．課本題源：(教材P79復(fù)習(xí)參考題B組T2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：(1)B1D⊥平面A1C1B；(2)B1D與平面A1C1B的交點(diǎn)H是△A1C1B的重心(三角形三條中線的交點(diǎn)．)高考真題：(2012·陜西，18)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝90°. (1)證明：CB1⊥BA1；(2)利用A1C1為三棱錐的高計(jì)算VC1－ABA1.(1)證明如圖所示，連接AB1.∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝90°，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又∵AB＝AA1，∴四邊形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1.又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.反思感悟本考題與所展示習(xí)題比較，都是以直棱柱為載體證明垂直問(wèn)題，證明核心都是利用線面垂直的判定定理證線面垂直．解決這類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征靈活進(jìn)行線、面平行或垂直間的轉(zhuǎn)化．[補(bǔ)償訓(xùn)練4](2012·安徽，19)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)．

(1)證明：BD⊥EC1；(1)證明連接AC，A1C1，由底面是正方形知，BD⊥AC.因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD.又AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.因?yàn)镋C1?平面AA1C1C，所以BD⊥EC1.

以棱錐為載體考查線、面位置關(guān)系及空間角的求法命題角度：以棱錐為載體考查線面位置關(guān)系及空間角的求法是高考中的常見(jiàn)解答題，且多分步設(shè)置，一般第一步?？疾榫€面位置關(guān)系，第二步或第三步考查空間角的計(jì)算．難度中等偏上．(1)證明：PC⊥平面BED；(2)設(shè)二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小．[思路探索]

(1)由題意易得PC⊥BD，再證明PC垂直于平面BED內(nèi)的一條直線即可，取AC∩BD＝F，證明PC⊥EF.(2)直接作出平面角有些困難，故轉(zhuǎn)化為求D點(diǎn)到平面PBC的距離與PD的比值可求．反思感悟本考題與所展示習(xí)題均是以四棱錐為載體考查空間角的計(jì)算，但本考題加了第一步證明PC⊥平面BED.其第二步，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)論證BC⊥平面APB，從而確定底面為正方形，并運(yùn)用轉(zhuǎn)移法求得D到平面PBC的距離得到所求線面角的正弦值，難度大為增加．另外本題并沒(méi)有直接作出線面角，而是通過(guò)求D到平面PBC的距離與PD的比值確定所求線面角的正弦值，從而求線面角，在眾多空間角的計(jì)算考題中，本題頗具特色．[補(bǔ)償訓(xùn)練5](2012·湖南，18)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點(diǎn)．

(1)證明：CD⊥平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．(1)證明如圖，連接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.(2)解過(guò)點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于點(diǎn)F，G，連接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.

求弦長(zhǎng)問(wèn)題命題角度：直線與方程高考一般不單獨(dú)命題，常與圓及圓錐曲線(在選修2－1，1－1第二章)綜合考查，在直線與圓相結(jié)合的考題中，尤以求弦長(zhǎng)頻率最高，且多以選擇題、填空題的形式來(lái)命題．課本題源：(教材P132習(xí)題4.2A組T5)求直線l：3x－y－6＝0被圓C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的長(zhǎng)．[思路探索]利用弦心距、半弦、半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)計(jì)算．答案

B反思感悟單獨(dú)的弦長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題，一般不通過(guò)代數(shù)方法求交點(diǎn)來(lái)解決，而是利用弦心距構(gòu)成的直角三角形計(jì)算半弦長(zhǎng)而得出弦長(zhǎng)．[補(bǔ)償訓(xùn)練6](2012·重慶，3)設(shè)A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝ (

)．解析利用直線過(guò)圓心，則所截弦長(zhǎng)恰為直徑長(zhǎng)求解．由于直線y＝x過(guò)圓心(0，0)，所以弦長(zhǎng)|AB|＝2R＝2.答案

D

直線與圓位置關(guān)系的判定命題角度：直線與圓位置關(guān)系的判定也是高考中的一類常見(jiàn)題型，多以選擇題的形式考查，難度較小，常放在試卷選擇題前幾個(gè)小題的位置上，一般運(yùn)用圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判定．課本題源：(教材P128練習(xí)T3，T4)1．判斷直線3x＋4y＋2＝0與圓x2＋y2－2x＝0的位置關(guān)系．2．已知直線l：y＝x＋6，圓C：x2＋y2－2y－4＝0.試判斷直

線l與圓C有無(wú)公共點(diǎn)，有幾個(gè)公共點(diǎn)．高考真題：(2012·重慶，3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是 (

)． A．相離

B．相切 C．相交但直線不過(guò)圓心

D．相交且直線過(guò)圓心 [思路探索]利用圓心到直線的距離與半徑的大小比較．答案