專題07以嶄新的數(shù)列遞推式為背景的專題訓(xùn)練(解析版)

專題7 以嶄新的數(shù)列遞推式為背景的專題訓(xùn)練題型一 以復(fù)雜數(shù)列關(guān)系為載體的數(shù)列問題1.【安徽省阜陽市2017屆高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)文】數(shù)列an滿足a11，且對任意3nN*,an1an2an,cn1，數(shù)列cn的前n項和為Sn，則S2017的整數(shù)部分是an1（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【安徽省蚌埠市2017屆第二次（3月）教學(xué)質(zhì)量檢查】數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 滿足，若 為等比數(shù)列，則 （ ）A. B. 3 C. D. 6【答案】B【解析】由題意， ，則 ，得,要使 為等比數(shù)列，必有，得 ，故選B.3.【江西省吉安一中、 九江一中等八所重點中學(xué) 2017屆高三4月聯(lián)考】已知等差數(shù)列 an的前n項和為Sn，并且a22,S515，數(shù)列bn滿足bnn2N，記集22nn合M{n|2Sn2bn,nN*}，若M的子集個數(shù)為16，則實數(shù)的取值范圍n2為_________.【答案】151164.【江西省臨川實驗學(xué)校2017屆高三第一次模擬】已知數(shù)列an的首項為aa0，前n項和為S，且StSa（t0且t1,nN*），bS1.若nn1nnncn2b1b2bn，則使數(shù)列cn為等比數(shù)列的所有數(shù)對a,t為__________．【答案】1,2【解析】本題主要考査等比數(shù)列的應(yīng)用.當n1時，由S2tS1a，解得a2at.當n2時，SntSn1a,∴Sn1SntSnSn1，即an1tan.又a1a0,∴an1t，即an是首項為a,公比為t的等比數(shù)列，∴anatn1，an∵t1，∴bn1aatn.1t∴cn2b1b2bn211anatt2tnt1t2anat1tnat1aatn111t2212n12.1tt1tt2at=0，t2a1,若cn為等比數(shù)列，則有{1a解得{2,10,tt1故滿足條件的數(shù)對是1,2.5.【湖南省婁底市2017屆高考仿真模擬（二模）數(shù)學(xué)】已知各項都為整數(shù)的數(shù)列an中，a12，且對任意的nN*，滿足an1an2n1，an2an32n1，則2a2017__________．【答案】220176【.黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué) 2017屆高三下學(xué)期第一次模擬】 設(shè)Tn為數(shù)列 an的前n項之積，即Tna1a2a3an1an，若a1111，當Tn11時，n的值為2,1an1an1______【答案】10【解析】由題設(shè)數(shù)列1是首項為111公差為1的等差數(shù)列，則1an121an11n，即an1n1234n11n1，所以a1a2an23n1，則an1nn1nn 1 11 n 10，應(yīng)填答案10.ynx3n,7.【廣西陸川縣中學(xué)2017屆高三下學(xué)期模考】已知fn為平面區(qū)域In：{x0,y0（x，yR，nN*）內(nèi)的整點（x，y均為整數(shù)的點）的個數(shù)，記an2nfn，數(shù)列an的前n項和為Sn，若對于nSn16fn1c恒成立，則實N*，4n1數(shù)c的取值范圍是__________．【答案】 27,2【解析】作出平面區(qū)域 In如圖所示：由x0，0ynx3n，得0x3,而x1,2.當x1時，0y2n,In內(nèi)有2n個整點；當x2時，0yn，In內(nèi)有n個整點綜上得In內(nèi)的整點個數(shù)fnn2n3n,于是an3n2n.從而Sn3216229233n2n.則2Sn3226239243n12n3n2n132122232n3n2n1212n兩式作差得Sn33n2n1.12則Sn63n32n1,（Sn16）fn13n2n23n19nn1于是4n14n12n.令Tn9nn1Tnmax.2n，則只需cn由TnTn1，即9nn19nn12n2n1，得2n3，由nN*，得n2或3.TnTn19nn19n1n22n2n1所以TnmaxT2T327，則c27.228.【2017屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）】數(shù)列an的前n項和為Sn滿足：n2，數(shù)列bn滿足：①b31，②bn0，③.220nn1n1nnS42bbbb（1）求數(shù)列an與bn的通項公式；（2）設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.【答案】（1）an2n11,bn2

n1n1;（2）Tn612n3.2試題解析（1）當n1時，a11，當n2時，anSnSn12n1nN*檢驗a11，滿足an2n1nN*2bn1bnbn202bn1又bn0,2bn1bnq1,b3b1q21241n1又b11bnnN*2n11（2）由（1）得Cn 2n 1212n1Tn13512n122122n11Tn11312n312n1122222n1兩式相減得1Tn313n2221n1Tn62n3.2題型二 以函數(shù)為載體的數(shù)列遞推式問題9.【河北省石家莊市高三數(shù)學(xué)一?？荚嚒恳阎瘮?shù)fx在1,上單調(diào),且函數(shù)yfx2的圖象關(guān)于x1對稱,若數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列,且fa50fa51,則an的前100項的和為()A.200B.100C.0D.50【答案】B【河北省石家莊市第二中學(xué)2017屆高三下學(xué)期模擬聯(lián)考】某計算器有兩個數(shù)據(jù)輸入口M1，M2，一個數(shù)據(jù)輸出口 N，當M1，M2分別輸入正整數(shù) 1時，輸出口N輸出2，當

M1輸入正整數(shù)

m1，

M2輸入正整數(shù)

m2時，

N的輸出是

n；當

M1輸入正整數(shù)m1，

M2輸入正整數(shù)

m2

1時，

N

的輸出是

n

5；當M1輸入正整數(shù)

m1

1，

M2輸入正整數(shù)

m2時，

N的輸出是

n

4；當M1輸入

60，

M2輸入

50時，

N

的輸出是（

）A.494

B.

492

C.

485

D.

483【答案】D【解析】由題設(shè)可得fm1,m21fm1,m25，則fm1,m2fm1,m215，fm1,m21fm1,m225，fm1,m22fm1,m235，,fm1,2fm1,15；將以上m21個等式兩邊相加可得fm1,m2fm1,15m21，取m11可得fm1,m2fm1,15m21；又由題設(shè)可得fm11,m2fm1,m24，則fm1,m2fm11,m24，fm11,m2fm12,m24，fm12,m2fm13,m24，,f 2,m2 f1,m2 4；將以上m`1 1個等式兩邊相加可得fm1,m2f1,m24m11，即fm1,m2f1,m24m11，取m21可得fm1,1f1,14m114m12代入fm1,m2fm1,15m21可得fm1,m24m15m27，故當m160,m250時，f60,504605507483，應(yīng)填答案D.11.【河南省豫南九校（中原名校）2017屆高三下學(xué)期質(zhì)量考評八】已知數(shù)列n滿足a11,a22,an21cos2nansin2n,則該數(shù)列的前21項的和為__________．22【答案】2112【解析】n為奇數(shù)時，cos2n0，sin2n1；cos2n2n2n為偶數(shù)時，1，sin20；22所以n為奇數(shù)時有an2an1；n為偶數(shù)時an22n;即奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列 .所以12.【甘肅省蘭州市2017年高考實戰(zhàn)模擬考試數(shù)學(xué)理科試題】已知定義域為0,的函數(shù)fx滿足fx2fx2，當x0,2時，fx2x24x，設(shè)fx在2n2,2n上的最大值為annN*，且數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn__________．【答案】142n2【解析】當x0,2時，函數(shù)對稱軸為x1，開口向下，故最大值為f12.由于fx21x，即從2,4起，每隔兩個單位長度的圖像就是前一個區(qū)間圖像的一半，f221112n1故最大值是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，其前n項和Sn4.212n21213.【廣西桂林市、崇左市、百色市2017屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)合模擬（一模）】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若函數(shù)fxsinx3cosxxR在最大值為a1，且滿足ana1anSn，則數(shù)列an的前2017項之積A2017__________．a(chǎn)nSn12【答案】2【安徽省黃山市2017屆高三第二次模擬】設(shè)An表示正整數(shù)n的個位數(shù)，anAn2An,A為數(shù)列an的前202項和，函數(shù)fxexe1，若函數(shù)gx滿足fgxAx11，且bngnnN*，則數(shù)列bn的前n項和為Ax__________．【答案】32n3n2n【解析】由題意得，a10,a22,a36,a42,a50,a60，a72,a84,a98,a100,a110,a122，,,可得an是周期為10的周期數(shù)列，a1a2a3...a100，前202項和為a1a22，即A2，fxexe1單調(diào)遞增，且f11,gxAx11，gx2x11,bngn2n11，Ax2x2nSn1131...2n11n,，設(shè)Tn1131...2n11，2222n2222n1Tn1131...2n312n111，22222n2n1121...212n11相式Tn2222n2n1，可得2Tn32n3,Sn32n3n，故答案為32n3n.2n2n2n題型三 以數(shù)學(xué)文化和新定義為載體的數(shù)列遞推式問題【江西省臨川實驗學(xué)校2017屆高三第一次模擬考試】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法（“少廣”算法） ，其方法的前兩步如下 .第一步：構(gòu)造數(shù)列1,1,1,1,,1.①234nn，得到一個新數(shù)列a1,a2,a3,,an.第二步：將數(shù)列①的各項乘以2則a1a2a2a3a3a4an1an等于（）A.n22B.n1C.nn1D.nn+14444【答案】C16.【河北省正定中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第三次月考】定義數(shù)列an的“項的倒數(shù)的n倍和數(shù)”為Tn12nnN*，已知Tnn2nN*，則數(shù)列an是a1a2an2（）A.單調(diào)遞減的B.單調(diào)遞增的C.先增后減的D.先減后增的【答案】A【解析】當n1時，11a12.當n2時，a1，2nn2n122n12nTnn2,綜上有Tn1222，所以an2n1anan2n1nN，所以a1a2a3,即數(shù)列an是單調(diào)遞減的，故12n2n11選A．17.【安徽省馬鞍山市2017屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測】如圖所示的“數(shù)陣”的特點是：每行每列都成等差數(shù)列，則數(shù)字73在圖中出現(xiàn)的次數(shù)為____．【答案】1218.【江西省 2017屆高三4月新課程教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】 我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與 9相關(guān)的設(shè)計.例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖） ，最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有 9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多 9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________．【答案】405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，S9999894052【北京市海淀區(qū)2017屆高三下學(xué)期期中考試】已知含有n個元素的正整數(shù)集A a1,a2,

,an

（a1

a2

an，

n

3）具有性質(zhì)

P：對任意不大于SA（其中SA

a1

a2

an）的正整數(shù)

k，存在數(shù)集

A的一個子集，使得該子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）寫出a1，a2的值；nn 1（Ⅱ）證明：“a1，

a2，,，

an成等差數(shù)列”的充要條件是“

SA

”；2（Ⅲ）若SA

2017，求當

n取最小值時

an

的最大值．【答案】（Ⅰ）

a1

1，

a2

2；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

1009．試題解析:（Ⅰ）a1 1，a2 2.（Ⅱ）先證必要性：因為a11，a22，又a1，a2，,，an成等差數(shù)列，故annn1n，所以SA；2再證充分性：因為a1a2an，a1，a2，,，an為正整數(shù)數(shù)列，故有a11，a22，a33，a44，,，ann，所以SAa1a2an12nn1n2，又SAnn1m（m1，2，,，n），故a1，a2，,，an為等2，故am差數(shù)列．（Ⅲ）先證明am2m1（m1，2，,，n）．假設(shè)存在ap2p1，且p為最小的正整數(shù)．依題意p3，則a1a2ap1122p22p11，，又因為a1a2an，故當k2p11,ap時，k不能等于集合A的任何一個子集所有元素的和．故假設(shè)不成立，即am2m1（m1，2，,，n）成立．因此2017a1a2an122n12n1，即2n2018，所以n11．因為S2017，則a1a2an12017an，若2017anan1時，則當k2017an,an時，集合A中不可能存在若干不同元素的和為k，故2017anan1，即an1009.此時可構(gòu)造集合A1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009.因為當k2,21時，k可以等于集合1,2中若干個元素的和；故當k22,221,222,223時，k可以等于集合1,2,22中若干不同元素的和；,,故當k28,281,282,,28255時，k可以等于集合1,2,,28中若干不同元素的和；故當k4973,4974,,497511時，k可以等于集合1,2,,28,497中若干不同元素的和；故當

k

1009,1009

1,1009 2,

,1009 1008時，

k可以等于集合1,2,

,28,497,1009

中若干不同元素的和，所以集合

A

1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009

滿足題設(shè)，所以當n取最小值11時， an的最大值為1009．20.【福建省 2017屆高三4月單科質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)文】 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年投入資金1000萬元，出售產(chǎn)品收入出售產(chǎn)品所得收入比上一年多

40萬元，預(yù)計以后每