廣義函數與基本解

廣義函數與基本解第一頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

物理學家原本定義的函數是這樣的“函數”：

。

第二頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

物理學家在20世紀30年代就廣泛使用函數討論問題，并獲得相當的成功。直到20世紀40年代末，Schwarz等人建立了廣義函數基礎理論，才為這類奇異“函數”建立了嚴格的數學理論。僅從以上三個方面看，擴充函數概念是很有必要的。下面我們給出廣義函數的定義。第三頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.1基本空間8.1.1引言第四頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解記號第五頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解1.2基本空間和

首先考慮的基本空間是即具有緊支集的無限次可微函數組成的空間。所謂一個函數f(x)的支集，是指集合的閉包，記作在中定義收斂概念如下：第六頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第七頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第八頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第九頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解附注易知中的收斂性比中的收斂性強，反之未必對。例如可取為例8.1.1中的函數，并定義

易證。第十頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解1.3

基本空間若定義在

上的函數

滿足條件則稱它是速減函數。易證，條件(ii)與下述任一個條件等價：第十一頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第十二頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第十三頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解基本空間上的Fourier變換第十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解Fourier變換的性質第十五頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解一般地，對任一多重指標有第十六頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第十七頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第十八頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

由此，可以導出分數指數的Sobolev空間。Parselval等式的重要性可見一斑。第十九頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.2廣義函數空間8.2.1概念與例子

依次把基本空間和上的線形連續(xù)泛函叫作廣義函數,廣義函數和廣義函數，它們各自的全體分別組成和廣義函數空間。有時我們分別簡稱為廣函和廣函空間。廣義函數又叫作分布，廣義函數空間又叫分布空間。第二十頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十一頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十二頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十三頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.2.2廣義函數的收斂性第二十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十五頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十六頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.2.3自變量的變換第二十七頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十八頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第二十九頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.2.4廣義函數的微商與乘子第三十頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解廣義函數微商的性質：第三十一頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十二頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十三頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十五頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.2.5廣義函數的支集

一個廣義函數逐點的值是沒有意義的，但是我們有第三十六頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十七頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十八頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第三十九頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.2.6廣義函數的卷積

為了給出廣義函數卷積的合理定義，先從常義函數第四十頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

于是，若使廣函卷積是常以函數卷積的合理推廣，應把兩個廣函f與g的卷積定義為第四十一頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第四十二頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解廣函卷積的可交換性第四十三頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第四十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第四十五頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解廣函卷積的性質：第四十六頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

第四十七頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

廣義函數Fourier變換的性質：第四十八頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第四十九頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第五十頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解8.3基本解8.3.1基本解的概念

P(D)的基本解也叫做方程P(D)U=0的基本解?；窘獠晃ㄒ唬驗橐粋€基本解加上方程P(D)U=0的任一個解也滿足方程(8.3.1)，故通常只要求得一個具有奇性的基本解即可（即把滿足齊次方程的線性疊加部分去掉）。第五十一頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解3第五十二頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第五十三頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第五十四頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解

現(xiàn)在看Cauchy問題第五十五頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第五十六頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解第五十七頁，共六十頁，2022年，8月28日第8章廣義函數與基本解的基本解。第五十八頁，共六十頁，2022年，8月