第五章-單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

第五章單自由度補(bǔ)充1.1研究對(duì)象-機(jī)械系統(tǒng)輸入（激勵(lì)）:力、力矩、位移等輸出（響應(yīng)）：位移、速度、加速度系統(tǒng)特性：參數(shù)模型：固有頻率、慣量、質(zhì)量、剛度、阻尼比、極點(diǎn)、留數(shù)、模態(tài)振型等非參數(shù)模型：脈沖響應(yīng)函數(shù)(IRF)、頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)補(bǔ)充1.2內(nèi)容--三大課題響應(yīng)予估——正問(wèn)題（監(jiān)測(cè)與評(píng)價(jià)）

已知載荷和結(jié)構(gòu)參數(shù)求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)、研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

研究方法：模態(tài)分析法、機(jī)械阻抗分析法、有限元法等參辨識(shí)或系統(tǒng)辨識(shí)——第一類(lèi)逆問(wèn)題（識(shí)別與修改）

已知載荷和結(jié)構(gòu)響應(yīng)求結(jié)構(gòu)參數(shù)和數(shù)學(xué)模型。

研究方法：參數(shù)辨識(shí)和系統(tǒng)辨識(shí)的各種方法機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法。

模態(tài)參數(shù)模態(tài)質(zhì)量模態(tài)剛度模態(tài)阻尼模態(tài)振型結(jié)構(gòu)物理參數(shù)質(zhì)量剛度阻尼載荷辨識(shí)——第二類(lèi)逆問(wèn)題（再現(xiàn)和控制）已知結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)求載荷。研究方法：通常先進(jìn)行第一類(lèi)逆問(wèn)題的計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)，才能進(jìn)行載荷識(shí)別。內(nèi)容--三大課題補(bǔ)充2振動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)

什么是振動(dòng)？振動(dòng)的分類(lèi)振動(dòng)的表示方法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)動(dòng)力學(xué)模型

一種特殊形式的運(yùn)動(dòng)（質(zhì)點(diǎn)，圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)）機(jī)械振動(dòng)是物體在一定位置附近所作的周期性往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，就是指圍繞其靜平衡位置作來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，單擺就是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)三要素：

慣性—保持動(dòng)能的特性,能使系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去.彈性—儲(chǔ)存勢(shì)能的特性,能使系統(tǒng)位置恢復(fù)到平衡狀態(tài).阻尼—耗散能量的特性,能使系統(tǒng)能量消耗掉.這三個(gè)基本要素通常分別由物理參數(shù)質(zhì)量M、剛度K和阻尼C表征。振動(dòng)的特點(diǎn)：能用力學(xué)基本原理解釋的邏輯學(xué)科，數(shù)學(xué)概念完全與物理現(xiàn)象相協(xié)調(diào)；物理現(xiàn)象是可以體驗(yàn)和測(cè)量得到的補(bǔ)充2.1 什么是振動(dòng)補(bǔ)充2.2振動(dòng)的分類(lèi)

按產(chǎn)生的原因分

自由振動(dòng)——系統(tǒng)僅受到初始條件(初始位移、初始速度)的激勵(lì)而引起的振動(dòng),初始干擾或外激勵(lì)取消后開(kāi)始振動(dòng).

強(qiáng)迫振動(dòng)——持續(xù)的外作用力激勵(lì)下的振動(dòng).

自激振動(dòng)——系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)及反饋相互作用下，而產(chǎn)生穩(wěn)定的周期振動(dòng)（無(wú)周期外力作用）

自由振動(dòng)問(wèn)題雖然比強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題單純,但自由振動(dòng)反映了系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有信息，是研究強(qiáng)迫振動(dòng)的基礎(chǔ)．線性滿(mǎn)足疊加定理

按結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分

線性：常系數(shù)線性微分方程

系統(tǒng)內(nèi)彈簧恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動(dòng)位移、速度、加速度成正比非線性：非線性微分方程自由度——全面地描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需獨(dú)立坐標(biāo)的最小數(shù)目。按系統(tǒng)自由度數(shù)分：?jiǎn)味榷喽葻o(wú)限多常微偏微分位移函數(shù)

按運(yùn)動(dòng)規(guī)律

簡(jiǎn)諧周期瞬態(tài)只在一定時(shí)期內(nèi)存在隨機(jī)非確定函數(shù)（概率統(tǒng)計(jì)法）

按振動(dòng)的位移特性分為：直線縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)

圓弧線（角振動(dòng)）補(bǔ)充2.3振動(dòng)的表示方法

2.3.1一般表示方法

函數(shù)表示 表示振動(dòng)的某些物理量（位移、速度、加速度） 隨時(shí)間t變化的規(guī)律。圖象表示 以時(shí)間為橫橫坐標(biāo)，以振動(dòng)物理量為縱坐標(biāo)周期振動(dòng)表示

x=x(t+nT)n=1,2…..T——周期(秒/s)

f=1/T——頻率（赫茲/Hz）2.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示方法

是正弦式或余弦函數(shù)最基本的振動(dòng)形式，最簡(jiǎn)單的周期振動(dòng)，所以，是研究其它振動(dòng)的基礎(chǔ)。①正、余弦函數(shù)表示法ω:角（圓）頻率

A:振幅ωt:

相位更一般：

x=Acosωt或y=Asinωt

補(bǔ)充2.3振動(dòng)的表示方法周期/秒頻率/赫茲

平面上旋轉(zhuǎn)向量與沿時(shí)間軸展開(kāi)的諧波函數(shù)之間存在嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系

速度超前位移π/2相位，加速度超前位移π相位。加速度大小與位移成正比，方向與位移相反， 始終指向平衡位置v(t)=Aωcos(ωt+φ)=Aωsin(ωt+φ+π/2)x(t)=Asin(ωt+φ)

a(t)=-Aω2sin(ωt+φ)=Aω2sin(ωt+φ+π)補(bǔ)充2.3振動(dòng)的表示方法②旋轉(zhuǎn)向量表示法旋轉(zhuǎn)位置可用復(fù)向量來(lái)表示可用事先預(yù)定的復(fù)數(shù)的虛部或?qū)嵅縼?lái)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)補(bǔ)充2.3振動(dòng)的表示方法AabReImZOωtZ=a+jb用復(fù)數(shù)的虛部表示振動(dòng)則等價(jià)于③復(fù)數(shù)表示法補(bǔ)充2.3振動(dòng)的表示方法簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移、速度、加速度的復(fù)數(shù)表示:—初始的復(fù)向量補(bǔ)充2.3振動(dòng)的表示方法因此,當(dāng)t=0時(shí),復(fù)矢量的初值:XAVImRe位移、速度、加速度的幅值的大小和相位的關(guān)系。求導(dǎo)乘jω幅值在復(fù)平面上將復(fù)數(shù)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即相位增加，幅值增大ω倍。（除以jω則相反）相位等價(jià)于等價(jià)于補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)

兩個(gè)相同方向、相同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成A=[(A1cos1+A2cos2)2+(A1sin1+A2sin2)2]1/2

x1(t)=A1cos(ωt+

1)；x2(t)=A2cos(ωt+2)；其中，1.分振動(dòng):

2.合振動(dòng):x(t)=x1(t)+x2(t)=A1cos(ωt+1)+A2cos(ωt+2)=(A1cos1+A2cos2)cosωt-(A1sin1+A2sin2)sinωtAcosAsinx(t)=Acoscosωt-Asinsinωt=Acos(ωt+)合振動(dòng)x

仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng),且保持同樣的振動(dòng)頻率。結(jié)論：討論:(1)若兩分振動(dòng)同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若兩分振動(dòng)反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)當(dāng)A1=A2時(shí),A=0則A=A1+A2,兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)，則A=|A1-A2|,兩分振動(dòng)相互減弱，旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動(dòng)的合成當(dāng)A1=A2時(shí),A=2A1例1補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)同方向同頻率同相振動(dòng)合成例2補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)同方向同頻率反相振動(dòng)合成補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)

同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成x1(t)=A1sin(ω1t+φ1)；即mT1=nT2=T為公共周期。

x

(t+T)=x1(t+T)+x2(t+T)=x1(t+mT1)+x2(t+nT2)=x1(t)+x2(t)=x(t)，x

(t)=x1(t)+x2(t)合成振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率比為有理數(shù)時(shí)，合成為周期振動(dòng)，頻率比為無(wú)理數(shù)時(shí)，合成為非周期振動(dòng)。x2(t)=A2sin(ω2t+φ2)；分振動(dòng):即頻率比為有理數(shù)。假設(shè)：頻率比

合振動(dòng):當(dāng)頻率比為無(wú)理數(shù)時(shí)，合振動(dòng)沒(méi)有公共的周期T。結(jié)論：合振動(dòng)周期為T(mén)=mT1=nT2補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)討論:合振動(dòng)振幅的頻率為:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，A有最大值A(chǔ)有最小值例3補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成，頻率比為有理數(shù)例4X3(t)=X1(t)+X1(2)；補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成，頻率比為無(wú)理數(shù)補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)討論:振幅相同不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2.合振動(dòng):1.分振動(dòng):當(dāng)21時(shí),

2-12+1，令其中，隨t緩變隨t快變合振動(dòng)x

可看作是振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。結(jié)論：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即

3.拍的現(xiàn)象

x1tOx2tOxtO補(bǔ)充2.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本性質(zhì)拍頻:A(t)補(bǔ)充2.5機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型1.機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素

慣性—保持動(dòng)能的特性,能使系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去，用質(zhì)量M表示。彈性—儲(chǔ)存勢(shì)能的特性,能使系統(tǒng)位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)，用剛度K表示。阻尼—耗散能量的特性,能使系統(tǒng)能量消耗掉，用阻尼C表示。2.動(dòng)力學(xué)模型

按復(fù)雜程度和簡(jiǎn)化方法分為：

①集中參數(shù)模型:用常微分方程表示用偏微分方程表示由慣性元件、彈性元件和阻尼元件組成。有限個(gè)離散單元組成，每個(gè)單元內(nèi)部連續(xù)。質(zhì)量和剛度均勻分布或按簡(jiǎn)單規(guī)律分布。②有限模型：③連續(xù)彈性體模型：，用牛頓定律可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如下：§5.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)1、理論分析如圖，是單自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)的模型，其中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量，k是彈簧剛度，c是阻尼器的阻尼系數(shù)，F(xiàn)（t）是外加激振力，是在重力作用下彈簧的靜變形，x是從靜力平衡位置O-O量起的位移。根據(jù)質(zhì)量m的受力圖，注意到一、無(wú)阻尼自由振動(dòng)能用線性微分方程來(lái)描述的振動(dòng)系統(tǒng)即稱(chēng)為線性振動(dòng)系統(tǒng)?！?.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、無(wú)阻尼自由振動(dòng)當(dāng)不存在外加激振力，且不考慮阻尼時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程這是振動(dòng)的最簡(jiǎn)單情況。令則無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程可改寫(xiě)為λ為正實(shí)數(shù)，根據(jù)微分方程的理論，這一齊次線性微分方程的解具有如下形式：式中稱(chēng)為系統(tǒng)的圓頻率，單位為rad/s。稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率，單位為Hz（赫茲）。和f的單位雖不同，但他們只和系統(tǒng)的固有參數(shù)有關(guān)，因此也均稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率。振動(dòng)的周期T為單位為s。齊次線性微分方程的解還可表示為式中：A稱(chēng)為振幅；稱(chēng)為初相位，單位為rad。無(wú)阻尼自由振動(dòng)是一個(gè)以固有頻率為頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)的位移為x0、速度為v0，則可得2、工程實(shí)例機(jī)器或結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件受一靜負(fù)荷后要產(chǎn)生變形，其內(nèi)部要產(chǎn)生應(yīng)力，分別稱(chēng)為靜變形和靜應(yīng)力。而當(dāng)受沖擊或產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，構(gòu)件要產(chǎn)生動(dòng)變形和動(dòng)應(yīng)力。例題在一般的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中，都認(rèn)為彈簧是一個(gè)沒(méi)有質(zhì)量的彈性體。如果要計(jì)算的精確一些，也應(yīng)計(jì)入彈簧的質(zhì)量（如圖）。在彈簧坐標(biāo)為x處取一微元長(zhǎng)度dx，則此微元長(zhǎng)度的動(dòng)能為式中q為彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。彈簧上端的速度即為質(zhì)量塊的速度，彈簧下端的速度為零，可以認(rèn)為彈簧沿高度方向的速度呈線性分布，即彈簧的動(dòng)能為物體表面間的摩擦力、周?chē)橘|(zhì)的阻力、材料的內(nèi)摩擦等，這類(lèi)阻力統(tǒng)稱(chēng)為阻尼。阻尼的性質(zhì)可能很復(fù)雜，通常把它簡(jiǎn)化為所謂的粘性阻尼。粘性阻尼的特點(diǎn)是阻尼力的大小與速度成正比，阻尼力的方向與速度相反。采用粘性阻尼使得在數(shù)學(xué)處理上大為簡(jiǎn)化。有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為二、有阻尼自由振動(dòng)令則有則該方程的特征根為引入量綱一的量稱(chēng)為阻尼比或相對(duì)阻尼系數(shù)。下面根據(jù)特征根的取值，分三種情況討論：1、大阻尼當(dāng)或時(shí)稱(chēng)為大阻尼。此時(shí)特征根為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根。方程的解為式中，。此式所標(biāo)示的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)非周期性的運(yùn)動(dòng)而不是一個(gè)振動(dòng)。2、臨界阻尼當(dāng)或時(shí)稱(chēng)為臨界阻尼。此時(shí)特征根為二重根，方程解為此式所表示的運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)非周期性的運(yùn)動(dòng)。3、小阻尼當(dāng)或時(shí)稱(chēng)為小阻尼。此時(shí)特征根為一對(duì)共軛復(fù)根。令此時(shí)方程的解為式中的待定系數(shù)A1、A2根據(jù)初始條件確定。設(shè)振動(dòng)物體具有初位移x0何處速度，則系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)為也可改寫(xiě)為式中從上面的式子可以看出，這時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為周期性的振動(dòng)。其振動(dòng)圓頻率為，稱(chēng)為有阻尼振動(dòng)的固有頻率，它比無(wú)阻尼自由振動(dòng)的固有頻率略小。振幅Ae-at隨時(shí)間成指數(shù)形式衰減。如圖給出了這種衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線。1、理論分析在簡(jiǎn)諧激振力的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為§5.2單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧激振動(dòng)作用下的受迫振動(dòng)或?qū)憺槭街校焊鶕?jù)微分方程的理論，非齊次方程的全解由兩部分組成：與之對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解x1和非齊次方程的特接x2。則通解為式中C1、C2為積分常數(shù)。設(shè)特解具有下列形式：由以上式子可解得B1、B2，特x2可改寫(xiě)為式中：B——受迫振動(dòng)的振幅θ——受迫振動(dòng)的響應(yīng)和激振動(dòng)的相位差δst——靜變形λ——頻率比，激振頻率與固有頻率之比方程的全解為取初始條件為x(0)=x0，，則可求得全解為上式就是在簡(jiǎn)諧振力作用下有阻尼受迫振動(dòng)的完全響應(yīng)。它由三部分組成，對(duì)應(yīng)著式中的三項(xiàng)。第二項(xiàng)是與激振力無(wú)關(guān)的有阻尼自由振動(dòng)，它完全取決于初始條件，在零初始條件下它不存在。第三項(xiàng)的振幅與激振力有關(guān)，頻率等于有阻尼自由振動(dòng)的頻率，這一項(xiàng)稱(chēng)為伴隨自由振動(dòng)，在零初始條件下它也存在。只有第一項(xiàng)是純粹的受迫振動(dòng)，它是一個(gè)穩(wěn)態(tài)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率等于激振力的頻率，而相位教激振力滯后角θ。從此式可以看出，由于阻尼存在，自由振動(dòng)和伴隨自由振動(dòng)隨著時(shí)間的延續(xù)而逐漸消失，最后只剩下穩(wěn)態(tài)的受迫振動(dòng)。式中的后兩項(xiàng)之和表示的振動(dòng)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，而式中的第一項(xiàng)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。從開(kāi)始振動(dòng)到達(dá)受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)需要一個(gè)實(shí)踐過(guò)程，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程。過(guò)渡過(guò)程的長(zhǎng)短與阻尼的大小有密切的關(guān)系。令則式中，β稱(chēng)為動(dòng)力放大系數(shù)，它是頻率比和阻尼比兩個(gè)變量的函數(shù)。若將阻尼比視為參量，則可繪出對(duì)一系列值的曲線，如圖a所示。因?yàn)樗从沉苏穹S激振力頻率變化的關(guān)系，故稱(chēng)之為幅頻特性曲線。從上圖可以看出：1）當(dāng)，即時(shí)，，，此頻率段稱(chēng)為準(zhǔn)靜態(tài)。2）當(dāng)，即時(shí)，，此頻率段稱(chēng)為慣性區(qū)。3）當(dāng)，即時(shí)，動(dòng)力放大系數(shù)迅速增大，阻尼對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響最為顯著。此頻率段稱(chēng)為共振區(qū)（或阻尼區(qū)）。此外，由于阻尼的存在，使得受迫振動(dòng)的位移影響與激振力不同步，它們之間存在一個(gè)相位角角。值也與和有關(guān)，這種關(guān)系曲線稱(chēng)為相頻特性曲線，如圖b所示。2、工程實(shí)例之一：不平衡旋轉(zhuǎn)質(zhì)量引起的振動(dòng)在通風(fēng)機(jī)、電動(dòng)機(jī)、水泵、離心壓縮機(jī)、汽輪機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于偏心質(zhì)量而引起受迫振動(dòng)是很普遍的現(xiàn)象。例題系統(tǒng)的四個(gè)彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=3320N/cm，固有頻率為頻率比為這說(shuō)明此時(shí)超過(guò)共振點(diǎn)較遠(yuǎn)，不會(huì)發(fā)生共振。則振幅為在這個(gè)例題中，造成振動(dòng)的原因是衣物不可避免地要偏離旋轉(zhuǎn)中心。在水泵、磨床、內(nèi)燃機(jī)等機(jī)器中，高速旋轉(zhuǎn)的葉輪、砂輪軸、曲軸必須進(jìn)行平衡，就是為了盡量地減小質(zhì)心相對(duì)旋轉(zhuǎn)中心的偏移量。3、工程實(shí)例之二：隔振問(wèn)題一些機(jī)器本身是振源，要采取一些措施將機(jī)器與地基隔離開(kāi)來(lái)，以減少振動(dòng)對(duì)周?chē)h(huán)境的影響，稱(chēng)為主動(dòng)隔振。還有一種情況，振源來(lái)自外界，要使外界的振動(dòng)較少地傳到機(jī)器中來(lái)，以保持機(jī)器（例如精密磨床）的加工精度而采取的隔振措施，稱(chēng)為被動(dòng)隔振。例題：在上例中加了彈簧和阻尼來(lái)減振，從而使洗衣機(jī)的振動(dòng)較少地傳播到周?chē)h(huán)境中去。試分析未采取隔振措施時(shí)和采取隔振措施后洗衣機(jī)傳遞到地基的作用力。解：當(dāng)未加隔振時(shí)（如圖a），作用于地基的力就是離心慣性力，其最大值為在采取隔振措施后（如圖b），洗衣機(jī)傳遞到地基的力有兩部分：通過(guò)彈簧傳遞到地基的力和通過(guò)阻尼器傳遞的力為這兩部分的頻率相同，均為ω，用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖c所示。它們的合力的最大值為1、疊加原理線性微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)滿(mǎn)足“疊加原理”。所謂疊加原理就是說(shuō)，如果系統(tǒng)在激振力F1（t）的作用下的響應(yīng)是x1（t），在激振力F2（t）作用下的響應(yīng)是x2（t），則當(dāng)以F1（t）、F2(t)的線性組合c1F1(t)+c2F2(t)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為c1x1（t）+c2