材料力學課件-孫訓方第五版

第一章緒論主講教師：鄭新亮05二月2023第一節(jié)材料力學的任務

在保證構件既安全又適用的前提下，最大限度的發(fā)揮材料的經濟性能，為構件選擇適當的材料，設計合理的截面形狀和尺寸。

材料力學：研究構件的承載能力第一節(jié)材料力學的任務*承載能力：構件承受荷載的能力幾個方面來考慮：·強度:構件具有足夠的抵抗破壞的能力·剛度:構件具有足夠的抵抗變形的能力·穩(wěn)定性:對細長受壓桿件，能保持原有的直線平衡狀態(tài)第一節(jié)材料力學的任務*失效:由于材料的力學行為而使構件喪失正常功能（承載能力）的現象幾個方面來考慮：·強度：不因發(fā)生斷裂或塑性變形而失效·剛度：不因發(fā)生過大的彈性變形而失效·穩(wěn)定性：不因發(fā)生因平衡形式的突然轉變而失效第一節(jié)材料力學的任務1.強度問題第一節(jié)材料力學的任務強度失效第一節(jié)材料力學的任務2.剛度問題第一節(jié)材料力學的任務剛度失效第一節(jié)材料力學的任務3.穩(wěn)定性問題1983年10月4日，高54.2m、長17.25m、總重565.4kN大型腳手架失穩(wěn)坍塌，5人死亡、7人受傷。橫桿之間的距離太大2.2m>規(guī)定值1.7m;地面未夯實，局部桿受力大；與墻體連接點太少；安全因數太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。穩(wěn)定失效第一節(jié)材料力學的任務疲勞失效—由于交變應力的作用,初始裂紋不斷擴展而引起的脆性斷裂松弛失效—在一定的溫度下,應變保持不變,應力隨著時間增加而降低,從而導致構件失效第二節(jié)變形固體的基本假設

機械或結構中的各種構件，都是由各種材料制成的，由這些材料組成的固體，在外力作用下，都會發(fā)生形狀及尺寸的改變，即變形。{變形彈性變形塑性變形材料力學是在彈性范圍內研究構件的承載能力第二節(jié)變形固體的基本假設材料力學對變形固體所做的幾個基本假設：1均勻連續(xù)性假設

變形固體的機械性質在固體內各點都是一樣的，并且組成變形固體的物質毫無空隙的充滿了構件的整個幾何容積。2各向同性假設

變形固體在各個方向上具有相同機械性質。具有相同機械性質的材料為各向同性材料。3小變形假設

構件在外力作用下所產生的變形與其整個構件的幾何尺寸相比是極其微小的。第二節(jié)變形固體的基本假設思考

根據可變形固體的均勻性假設，從物體內任一點處任意方向取出單元體，其力學性能均相同。因此，均勻性假設實際上包含了各向同性假設，試問這種說法是否正確？

均勻性假設是指從物體內取出的任一體積單元的力學性能與物體的力學性能相同，而并不涉及沿各個方向的力學性能是否相同。各向同性假設是指物體沿各個方向的力學性能相同，兩者是有區(qū)別的。？

回答：不正確。第三節(jié)外力、內力、應力的概念1外力：周圍物體對所研究的構件施加的作用力第三節(jié)外力、內力、應力的概念2內力：彈性體受力后，由于變形，其內部各點均會發(fā)生相對位移，因而產生相互作用力。第三節(jié)外力、內力、應力的概念彈性體內力的特征:(1)連續(xù)分布力系

(2)與外力組成平衡力系第三節(jié)外力、內力、應力的概念3.應力:內力在一點的分布集度。即單位面積上的內力yxzP1

P2ΔADFRΔFQyΔFQzΔFN垂直于截面的應力稱為“正應力”

位于截面內的應力稱為“剪應力”或“切應力”第三節(jié)外力、內力、應力的概念一般情形下，應力與相應內力分量關系如下：xyzPPσxτxyτxzdAMyMzFN第四節(jié)桿的基本變形1桿：直桿曲桿等截面桿變截面桿2桿的基本變形及組合變形：第四節(jié)桿的基本變形軸向拉伸或壓縮FF剪切FF第四節(jié)桿的基本變形扭轉Tn純彎曲MM第二章

軸向拉伸和壓縮主講教師：鄭新亮05二月2023第一節(jié)軸向拉伸與壓縮的概念及實例

軸向拉伸與壓縮是四種基本變形中最基本、最簡單的一種變形形式。1、工程實例拉桿P壓桿PP第一節(jié)軸向拉伸與壓縮的概念及實例2、軸向拉伸與壓縮的概念受力特點：作用于桿端外力的合力作用線與桿件軸線重合變形特點：沿軸線方向產生伸長或縮短PPPPPP思考？P/2PP/2該桿件是軸向拉伸變形嗎？第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力一、內力1、內力的概念：2、內力的計算（截面法）PPmmNPPN物體內部相鄰部分之間相互作用的力第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力3、內力正負號的規(guī)定NN

同一截面位置處左、右兩側截面上的內力必須具有相同的正負號

符號規(guī)定：軸力以拉力為正，壓力為負（離開截面為正，反之為負）第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力例題1求圖示各截面內力6kN18kN8kN4kN112233解：6kNN11N336kN18kN8kNN226kN18kN第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力3、軸力圖

反映軸力與截面位置關系的圖線例題2畫出圖示桿件的軸力圖2kN3kN4kN3kN112233解：xy軸力圖2kN1kN3kN（-）（+）（-）第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力二、應力FFFF第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力實驗現象：1、所有縱向線伸長均相等2、所有橫向線均保持為直線，仍與變形后的縱向線垂直根據實驗，假設：1、受拉桿件是由無數縱向纖維組成，各纖維伸長相等，得出：橫截面上各點處正應力相等。2、變形后的橫向線仍保持為直線，—變形后橫截面仍保持為平面（平截面假設）。第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力橫截面上的應力分布：Fσ1、正應力的概念：內力在橫截面上的分布集度單位：帕斯卡Pa（=N/m2）常用單位：MPa=106PaGPa=109Pa第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力2、正應力的符號規(guī)定：當軸向力為正時，正應力為正（拉應力），反之為負（壓應力）例題3如圖所示正方形截面的梯形柱，柱頂受軸向壓力P作用，上段柱重為G1，下段柱重為G2。已知：P=15kN，G1=2.5kN，G2=10kN。求：上、下段柱的底截面1-1，2-2上的應力。PG1G21122400200解：第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力3、斜截面上的應力：PPNαPαPαpαPα第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力pατασα第二節(jié)受軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內力和應力討論：第三節(jié)強度計算對于某一種材料，應力的增加是有限度的，超過某一限值材料就會喪失承載能力。

軸向拉壓桿的最大正應力：

強度條件：

式中：稱為最大工作應力

稱為材料的許用應力第三節(jié)強度計算根據強度條件，可以解決的三類實際工程問題。1、校核桿件強度已知：Nmax，A，[σ]。驗算構件是否滿足強度條件2、設計截面已知：Nmax，[σ]。根據強度條件，求：A3、確定最大載荷已知：A，[σ]。根據強度條件，求：Nmax第三節(jié)強度計算例題1一直徑d=14mm的圓桿，許用應力[σ]=170MPa,受軸向拉力P=2.5kN作用，試校核此桿是否滿足強度條件。解：例題2AC與BC為兩根圓桿，桿件的許用應力[σ]=170MPa,C點作用一集中力P=20kN作用，試根據強度條件確定兩桿的直徑d。滿足強度條件。30°30°CABP解：NACNBCPC根據強度條件：第三節(jié)強度計算例題3圖示為鋼木結構，AB為木桿：AAB=10×103mm2，[σ]AB=7MPa；BC為鋼桿：ABC=600mm2，[σ]BC=160MPa；求B點可吊起的最大荷載P。30°ACBP解：PNABNCBB由強度條件可知：第四節(jié)拉、壓桿件的變形

工程中使用的大多數材料都有一個彈性階段。根據實驗表明，彈性范圍內軸向拉、壓桿的伸長量和縮短量與桿內軸力N和桿長L成正比，與橫截面面積A成反比。PPLPPL1第四節(jié)拉、壓桿件的變形

（絕對）變形量：

工程中使用的大多數材料都有一個彈性階段。根據實驗表明，彈性范圍內軸向拉、壓桿的伸長量和縮短量與桿內軸力N和桿長L成正比，與橫截面面積A成反比。E：彈性模量（GPa）EA：抗拉（或抗壓）剛度令虎克定律第四節(jié)拉、壓桿件的變形PPLPPL1dd1縱向變形量：橫向變形量：縱向線應變：橫向線應變：令：λ：材料泊松比第四節(jié)拉、壓桿件的變形例題1圖示拉壓桿。已知：P=10kN，L1=L3=250mm，L2=500mm，A1=A3=A2/1.5，A2=200mm2，E=200GPa。求：（1）試畫出軸力圖；（2）計算桿內最大正應力；（3）計算全桿的軸向變形。P3P3PPL1L2L3解：（1）取分離體分別求出各段軸力xy10kN20kN10kN（-）（+）（-）第四節(jié)拉、壓桿件的變形P3P3PPL1L2L3（2）P3P3PPL1L2L3第四節(jié)拉、壓桿件的變形（3）例題2用一根長6m的圓截面鋼桿來承受7kN的軸向拉力，材料的許用應力[σ]=120MPa，E=200GPa，并且材料的許可總伸長量為2.5mm，試計算所需要的最小直徑d。第四節(jié)拉、壓桿件的變形解：強度條件變形條件例題3圖示桁架AB和AC桿均為鋼桿，彈性模量E=200GPa，AAC=200mm2，AAB=250mm2，P=10kN，LAC=2m。試求節(jié)點A的位移。第四節(jié)拉、壓桿件的變形30°BCAPPNABNCAA解：受力分析，可得：變形計算ΔLACΔLABA’用垂線代替圓弧線由變形條件可知，節(jié)點A的位移為AA’第四節(jié)拉、壓桿件的變形A’’30°BCAPΔLACΔLABA’第四節(jié)拉、壓桿件的變形例題3掛架由AC桿和BC桿組成，兩桿的EA相同，C處作用有荷載P。求：C點的水平位移和豎直位移。解：受力分析PCNBCNAC變形計算ΔLACΔLBCPaABCaaC’第五節(jié)軸向拉伸或壓縮的應變能F外力所做的功W：ll1Δl0ΔlFΔlF應變能Vε：：稱為應變能密度第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質材料的力學性質：材料受力作用后在強度、變形方面所表現出來的性質一、拉伸試驗試件:主要儀器設備：萬能試驗機，卡尺，直尺等試驗條件：常溫，靜載第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質1、低碳鋼拉伸試驗第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質PΔL0韌性金屬材料拉伸曲線的四個階段：彈性階段；屈服階段；強化階段；局部變形（勁縮）階段。第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質（1）彈性階段σε0AA’★應變值始終很小★變形為彈性變形★去掉荷載后變形全部消失斜直線OA：應力應變成正比變化——虎克定律微彎段AA’：當應力小于A’應力時，試件只產生彈性變形直線最高點A所對應的應力值——比例極限σpA’點所對應的應力值是材料只產生彈性變形的最大應力值——彈性極限σeσpσe第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質（2）屈服階段σε0AA’σpσeBσs

超過A’點后，σ-ε曲線上出現一條波浪線。變形大部分為不可恢復的塑性變形流動階段對應的應力值——屈服極限σsC（3）強化階段σb

該階段的變形絕大部分為塑性變形，整個試件的橫向尺寸明顯縮小C點為曲線的最高點（材料的最大抵抗能力），對應的應力值——強度極限σb第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質σε0AA’σpσeBCσbD（4）局部變形（勁縮）階段

試件局部顯著變細，出現勁縮現象

由于勁縮，截面顯著變細，荷載隨之降低，到達D點試件斷裂第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質2、小結☆比例極限σp

：應力與應變服從虎克定律的最大應力☆彈性極限σe

：只產生彈性變形，是材料處于彈性變形的最大應力☆屈服極限σs

：表示材料進入塑性變形☆強度極限σb

：表示材料最大的抵抗能力衡量材料強度的兩個指標：屈服極限σs

強度極限σb第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質3、變形性質（1）伸長率（2）斷面收縮率l1：實驗后標距長度l：實驗前標距長度A1：拉斷后斷口處的橫截面面積A：實驗前試件橫截面面積衡量材料塑性的兩個指標：伸長率δ斷面收縮率φ第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質二、卸載與冷作硬化σε0AA’σpσeBCσbDE

將試件拉伸變形超過彈性范圍后任意點E，逐漸卸載，在卸載過程中，應力、應變沿與OA線平行的直線回到O1點O1

當重新再對這有殘余應變的試件加載，應力—應變沿著卸載直線O1E上升，到點F后沿曲線ECD直到斷裂。不再出現屈服階段冷作硬化：在常溫下，經過塑性變形后材料強度提高，塑性降低的現象第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質三、鑄鐵拉伸試驗σε00.2%σp0.2鑄鐵的拉伸實驗沒有屈服現象、沒有勁縮現象，只有斷裂時的強度極限σb，斷口平齊取殘余應變?yōu)?.2%時所對應的應力作為該材料的名義屈服極限σ0.2σb脆性材料拉伸時的強度指標：屈服極限σb第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質四、低碳鋼的壓縮實驗第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質在屈服之前拉伸與壓縮的σ-ε曲線是重合的即：壓縮時的彈性模量E、比例極限σp、彈性極限σe

、屈服極限σs與拉伸時的完全相同。但流幅稍短低碳鋼壓縮時沒有強度極限第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質五、鑄鐵的壓縮實驗σε0σb鑄鐵拉伸應力圖σb鑄鐵壓縮應力圖鑄鐵壓縮的σ-ε曲線與拉伸的相似，但壓縮時的伸長率要比拉伸時大，破壞時斷口與軸線成45°角鑄鐵壓縮時的強度極限σb是拉伸時的4～5倍，所以鑄鐵常用作受壓構件使用。第六節(jié)材料在拉、壓時的力學性質六、安全系數、需用應力的確定σu稱為極限應力n稱為安全系數（>1）塑性材料：σu=σs脆性材料：σu=σb第七節(jié)應力集中的概念應力集中：桿件截面驟然變化（或幾何外形局部不規(guī)則）而引起的局部應力驟增的現象FF應力增大的現象只發(fā)生在孔邊附近，離孔稍遠處應力趨于平緩（應力能增大3～5倍）第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題FN1N2N3N1N2P一、超靜定問題第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題二、超靜定問題的求解方法平衡方程+補充方程（變形協調方程）例題1已知：桿1、2的抗拉（壓）剛度相等，均為EA，桿3橫截面面積為A3，彈性模量為E3，桿3長為L。求三個桿的內力。P（1）（2）（3）30°A解：N3N2N1（1）平衡方程：（2）補充方程（變形協調方程）：ΔL2ΔL3ΔL1A’第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題P（1）（2）（3）30°AN3N2N1ΔL2ΔL3ΔL1A’補充方程第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題例題2已知：圖示結構，A1=A2=A3=200mm2，[σ]=160MPa，P=40kN，L1=L2=L。試在下列兩種情況下，校核各桿的強度。（1）三桿的材料相同，即：E1=E2=E3=E（2）桿1、2為彈性桿，且E1=E2=E，桿3為剛性桿C（1）（2）（3）P45°變形條件：N1N3N2CP解：（1）ΔL1ΔL2ΔL3變形協調方程C’第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題滿足強度條件（2）3為剛性桿第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題C（1）（2）（3）P45°ΔL1C’ΔL2N1N3N2CP平衡方程變形條件滿足強度條件第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題例題3已知：桿長為L，橫截面面積為A，彈性模量為E。求：在力P作用下桿內力。N1N2L1L2P解：變形協調方程：第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題總結（1）列靜定平衡方程（2）從變形幾何方面列變形協調方程（3）利用力與變形之間的關系，列補充方程（4）聯立平衡方程，補充方程，即可求未知力（5）強度、剛度的計算與靜定問題相同第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題例題4已知：鋼桿1、2、3的面積均為A=2cm2，長度L=1m，彈性模量為E=200GPa，若制造時桿3短了δ=0.08cm。試計算安裝后1、2、3桿的內力（1）（3）（2）δN1N2N3解：平衡方程（1）（3）（2）δ變形條件ΔL1ΔL2ΔL3第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題（1）（3）（2）δΔL1ΔL2ΔL3變形協調方程第八節(jié)拉伸與壓縮的超靜定問題例題5已知：不計自重的剛桿掛在三根平行的金屬桿上，桿間距為a，橫截面面積為A，彈性模量為E，桿長為L，桿2短了δ，當B點受荷載P時求：各桿內力。δ（1）（2）（3）PPN1N2N3解：平衡方程ΔL1ΔL3ΔL2變形條件第三章

剪切與擠壓主講教師：鄭新亮05二月2023剪切與擠壓工程中承受剪切變形的構件常常是連接件剪切與擠壓一、剪切受力特點：桿件受到相距非常近的橫向力（平行力系）的作用變形特點：構件沿平行力系的交界面發(fā)生相對錯動單剪面雙剪面剪切與擠壓1剪切面：發(fā)生相對錯動的面（平行于作用力的方向）2剪力：剪切面的內力3剪應力：剪力在剪切面上的分布極度二、剪切計算假設：剪力在剪切面上是均勻分布的剪應力（平均剪應力）（名義剪應力）剪切與擠壓求剪切面上的剪力：截面法剪應力：——剪切強度條件剪切與擠壓三、擠壓計算1擠壓力：接觸面上的相互作用力（為非均勻分布）2擠壓面：擠壓力的作用面3擠壓計算面積Abs：擠壓面的直徑投影面假設：擠壓力在擠壓計算面積上是均勻分布剪切與擠壓擠壓應力：擠壓強度條件：例題1鍵連接。已知：Me、d；鍵的尺寸：l、b、h。求：τ，σbs剪切與擠壓解：鍵受力剪切與擠壓例題2銷釘連接。已知：FP=18kN，t1=8mm，t2=5mm，[τ]=60MPa，[σbs]=200MPa，d=16mm。試校核銷釘的強度。解：雙剪面1剪切強度校核2擠壓強度校核安全剪切與擠壓例題3木接頭。求：τ，σbs解：剪切面擠壓面剪切與擠壓例題4邊長為a的正方形截面立柱，放在尺寸為L×L×h的基礎上。求：τ解：地基對基礎的約束反力集度剪力剪切面面積第四章扭轉主講教師：鄭新亮05二月2023第一節(jié)扭轉的概念扭轉：

直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直第一節(jié)扭轉的概念ABOmmOBA——扭轉角（兩端面相對轉過的角度）——剪切角，也稱為剪應變或切應變第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖一、扭矩MMⅠⅠMT

圓桿扭轉橫截面的內力合成結果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱為截面的扭矩，用T表示。

扭矩的正負號，按右手螺旋法則來確定。即右手握住桿的軸線，卷曲四指表示扭矩的轉向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負。x第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖MTx扭矩的大小由平衡方程求得：二、扭矩圖表示桿件軸線上的各橫截面上的扭矩變化情況扭矩圖的畫法步驟與軸力圖基本相同，具體如下：第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖扭矩圖的畫法步驟：1.畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作為基線2.將桿分段，凡集中力偶作用點處均應取作分段點3.用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩；畫受力圖時，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來畫4.按大小比例和正負號，將各段桿的扭矩畫在基線兩側，并在圖上標出數值和正負號第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖例題1畫出圖示桿的扭矩圖3kN·m5kN·m2kN·m解：ⅠⅠⅡⅡACBAC段3kN·mT1BC段2kN·mT22kN·m3kN·m

扭矩圖第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖三、外力偶矩換算扭矩是根據外力偶矩來計算，對于傳動軸，外力偶矩可通過傳動功和轉數來換算若傳動軸的傳動功率為P，每分鐘轉數為n其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉速，轉/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）n—轉速，轉/分（rpm）第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖例題2已知：一傳動軸轉數n=300r/min，主動輪輸入功率P1=500kW，從動輪輸出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試繪制扭矩圖。解：（1）計算外力偶矩ABCDP1P2P3P4n第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖ABCDM1M2M3M4nⅠⅠⅡⅡⅢⅢ（2）求扭矩（扭矩按正方向假設）Ⅰ—Ⅰ截面Ⅱ—Ⅱ截面Ⅲ—Ⅲ截面（3）繪制扭矩圖4.78kN·m9.56kN·m6.37kN·m第二節(jié)扭轉的內力——扭矩與扭矩圖例題3畫出圖示桿的扭矩圖2m2m1m3m4kN·m6kN·m8kN·m6kN·m解：ⅠⅠⅢⅢⅡⅡⅠ—Ⅰ截面Ⅱ—Ⅱ截面Ⅲ—Ⅲ截面4kN·m2kN·m6kN·m第三節(jié)薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實驗1實驗前：①繪制縱向線，圓周線②兩端施加一對外力偶Me第三節(jié)薄壁圓筒的扭轉2實驗后：①圓周線不變②縱向線變成螺旋線3結果：①圓筒表面的各圓周線形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。圓周線實際代表一個橫截面，此結果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足平面假設。②各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度γ③所有矩形網絡均歪斜成同樣大小的平行四邊形第三節(jié)薄壁圓筒的扭轉二、薄壁筒切應力

薄壁圓筒扭轉時，因長度不變，故橫截面上沒有正應力，只有切應力；因筒壁很薄，切應力沿薄壁厚分布可視作均勻的，切應力沿圓周切線方向與扭矩轉向一致TA0為平均半徑所作圓的面積第三節(jié)薄壁圓筒的扭轉三、切應力互等定理acddxbdy′′tzyx切應力互等定理：在單元體相互垂直的兩個截面上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線第三節(jié)薄壁圓筒的扭轉純剪應力狀態(tài)：單元體上四個側面上只有切應力，而無正應力作用四、剪切虎克定律acddxbdy′′tzyx單元體ab邊的傾角γ稱為切應變，切應變是單元體直角的該變量，實驗表明，在彈性范圍內，切應力與且應變成正比，即：G：剪切彈性模量第三節(jié)薄壁圓筒的扭轉剪切彈性模量G、與彈性模量E和泊松比μ一樣，都表示材料力學性質的材料常數。對于各向同性材料，這三個材料常數并不是獨立的，它們存在如下關系：第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件一、等直圓桿扭轉實驗觀察1橫截面變形后仍為平面，滿足平面截面假設2軸向無伸縮，橫截面上沒有正應力3縱向線變形后仍為平行線第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件二、等直圓桿扭轉橫截面上的切應力dxADCBO1O2C’B’dxRρO1O2abcdDBACb’c’B’C’1變形的幾何條件橫截面上b點的切應變單位長度扭轉角第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件2物理條件（剪切虎克定律）橫截面上b點的切應變：3靜力條件dAO2bρτdAT稱為截面對圓心的極慣性矩第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件4極慣性矩ODρdρDd環(huán)形截面：極慣性矩單位：m4第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件同一截面，扭矩T，極慣性矩IP為常數，因此各點切應力τ的大小與該點到圓心的距離ρ成正比，方向垂直于圓的半徑，且與扭矩的轉向一致TT實心圓截面切應力分布圖空心圓截面切應力分布圖最大切應力在外圓處第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件5最大切應力令：稱為抗扭截面系數單位：實心圓截面：空心圓截面：第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件例題1已知空心圓截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切應力。解：TDd第四節(jié)等直圓桿扭轉時的應力·強度條件三、圓軸扭轉時的強度條件第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件一、圓軸扭轉時的變形MeMe單位長度扭轉角當T、GIP為常數時，長為l的干段兩端相對扭轉角為：GIP為抗扭剛度第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件二、剛度條件單位長度扭轉角第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件例題1圖示圓軸，已知：mA=1kN·m，mB=3kN·m，mC=2kN·m；l1=0.7m，l2=0.3m，[τ]=60MPa,[θ]=0.3o/m,G=80GPa。試選擇該軸的直徑。mAmBmCABCl1l2解：1kN·m2kN·m扭矩圖（1）按強度條件第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件mAmBmCABCl1l2（2）按剛度條件該圓軸直徑應選擇：第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件例題2

圖示圓軸，已知：mA=1.4kN·m，mB=0.6kN·m，mC=0.8kN·m；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m，[τ]=60MPa,[θ]=1o/m,G=80GPa。試校核該軸的強度和剛度，并計算兩端面的相對扭轉角。mCmAmBCABl2l1d1d2解：扭矩圖0.8kN·m0.6kN·m（1）按強度校核第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件滿足強度條件（2）按剛度校核不滿足剛度條件第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件（3）兩端相對扭轉角第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件例題2

長為l=2m的圓桿受均布力偶，m=20N·m/m的作用，如圖，若桿的內外徑之比為α=0.8，G=80GPa，許用切應力[τ]=30MPa,試設計桿的外徑；[θ]=2o/m。試校核此桿的剛度，并求右端面的扭轉角。20N·m/m解：（1）設計圓桿的外徑2m第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件20N·m/m2m第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件（2）剛度校核（3）右端面扭轉角第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件例題3

圖示圓軸，BC段為空心，已知：D=50mm，d=25mm，a=250mm；G=80GPa。試求該桿的最大切應力和自由端的扭轉角。0.5kN·m0.3kN·m0.8kN·mABCababDd11223344解：本題應分4段考慮第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件abab0.5kN·m0.3kN·m0.8kN·mABCDd11223344扭矩圖1kN·m0.5kN·m0.8kN·m第五節(jié)圓截面桿扭轉的變形及剛度條件abab0.5kN·m0.3kN·m0.8kN·mABCDd11223344第五章

截面的幾何性質主講教師：鄭新亮05二月2023截面的幾何性質

為什么要研究截面圖形的幾何性質？

研究桿件的應力與變形，研究失效問題以及強度、剛度和穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面的幾何形狀和尺寸有關的量，這些量統稱為幾何量。包括：面積、形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積主軸等等第一節(jié)截面的靜矩和形心位置xzy質心：質量的中心mirCri有限質點系第一節(jié)截面的靜矩和形心位置有限質點系：無限質點系：矢量式分量式有限質點系：無限質點系：質心坐標是質點坐標的質量加權平均第一節(jié)截面的靜矩和形心位置重心：重力合力的作用點有限質點系：無限質點系：第一節(jié)截面的靜矩和形心位置1形心：圖形幾何形狀的中心y0xdAxyCyCxC第一節(jié)截面的靜矩和形心位置2靜矩：令：定義：為圖形對x、y軸的靜矩第一節(jié)截面的靜矩和形心位置3形心與靜矩的關系：截面對通過形心的軸的靜矩恒等于零若截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必通過截面的形心4組合圖形的靜矩和形心：靜矩形心第一節(jié)截面的靜矩和形心位置例題1求圖示圖形的形心解：2010010020yx0A1yC1A2yC2C4080第一節(jié)截面的靜矩和形心位置例題2求圖示圖形的形心101020020200A1yC1解：yx0A2yC2A3yC3C65155第二節(jié)極慣性矩·慣性矩·慣性積y0xdAxy1慣性矩：2慣性積：3極慣性矩：4慣性半徑：第二節(jié)極慣性矩·慣性矩·慣性積5簡單幾何形狀的慣性矩：（1）矩形bhyx0dyy坐標系中含有對稱軸時，圖形對該坐標系的慣性積為零。第二節(jié)極慣性矩·慣性矩·慣性積（2）圓形yx0dyyd2x第二節(jié)極慣性矩·慣性矩·慣性積yx0d第二節(jié)極慣性矩·慣性矩·慣性積rdrR第三節(jié)慣性矩和慣性積的平行移軸公式y0xy101x1badAyxy1x1坐標變換：同理：第三節(jié)慣性矩和慣性積的平行移軸公式若x、y軸過圖形形心C，則：圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸間距平方的乘積；圖形對于任意一對直角坐標軸的慣性積，等于圖形對于平行于該坐標軸的形心軸的慣性積，加上圖形面積與兩對平行軸間距的乘積；圖形對于形心的慣性矩最小，而由形心軸移軸后所得的慣性積有可能增加也有可能減少。第三節(jié)慣性矩和慣性積的平行移軸公式例題1求圖示圖形對其形心軸Xc軸的慣性矩100yx0A1yC1A2yC2C408010020xC解：第四節(jié)慣性矩和慣性積的轉軸公式所謂轉軸定理是研究坐標軸繞原點轉動時，圖形對這些坐標軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律y0xyxy1x1αx1y1坐標變換：第四節(jié)慣性矩和慣性積的轉軸公式寫成倍角形式第四節(jié)慣性矩和慣性積的轉軸公式當α=α0時，使若或第四節(jié)慣性矩和慣性積的轉軸公式當=0時，圖形對這一坐標軸的慣性積等于零，該坐標軸為圖形的主慣性軸對主慣性軸(主軸)的慣性矩稱為主慣性矩當主慣性軸通過圖形形心時,該主慣性軸為形心主慣性軸對稱軸及與其垂直的軸即為過二者交點的主軸若交點為形心即為形心主軸截面形心主慣性軸與桿件軸線確定的平面為形心主慣性平面第四節(jié)慣性矩和慣性積的轉軸公式例題1試求形心主軸的位置及形心主矩200180400204040解：（1）確定形心位置CxCyCxyα0（2）在形心位置處建立Cxy坐標,先分別求出三個矩形對于x、y軸的慣性矩和慣性積,得整個圖形對于x、y軸的慣性矩和慣性積第四節(jié)慣性矩和慣性積的轉軸公式（3）根據上述結果確定主軸位置及形心主矩圖形的形心主矩為：第六章

彎曲應力主講教師：鄭新亮05二月2023第一節(jié)平面彎曲的概念及梁的計算簡圖一、彎曲變形

當作用在桿件上的載荷和支反力都垂直于桿件軸線時，桿件的軸線因變形由直線變成了曲線，這種變形稱為彎曲變形。工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁梁的軸線與橫截面的對稱軸所構成的平面稱為縱向對稱面第一節(jié)平面彎曲的概念及梁的計算簡圖二、平面彎曲當作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的曲線。三、梁的計算簡圖1桿件的簡化用梁的軸線來代替實際的梁2荷載的分類集中荷載分布荷載集中力偶第一節(jié)平面彎曲的概念及梁的計算簡圖3支座的分類固定鉸支座FxFyFxFy可變鉸支座（滑動鉸支座）Fy固定支座（固定端）FyFxM第一節(jié)平面彎曲的概念及梁的計算簡圖4靜定梁的基本形式簡直梁外伸梁懸臂梁第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖一、梁的剪力和彎矩lPlbammx第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖lPbammx平衡方程：RARBRAQMx平衡方程：RBQ’M’第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖符號規(guī)定：剪力Q的符號規(guī)定：使界面發(fā)生順時針旋轉為正，反之為負QQx彎矩M的符號規(guī)定：使梁下側受拉為正，反之為負MM第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題1求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。解：P=qaqaaaaABRARB11223344截面法，取分離體RAQ1M1第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖P=qaqaaaaABRARB11223344RAQ2M2P=qaRAP=qaQ3M3第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖P=qaqaaaaABRARB11223344RBQ4M4q第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖二、剪力圖和彎矩圖qABlRARBxRAqQMQ（x）與M（x）表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律稱為剪力方程和彎矩方程第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖xyxy剪力圖彎矩圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖ABlabRARBPCxAC段（0<x<a）：RAQM第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖ABlabRARBPCxCB段（a<x<l）：RAQMxP第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖ABPClabxQxMAC段（0<x<a）：CB段（a<x<l）：第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖三、荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關系PqMxABdxq第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖qdxC略去二階無窮小量第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖載荷集度、剪力和彎矩的微分關系:第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q向下的均布荷載向下方傾斜的直線或下凸的二次拋物線或在Fs=0的截面無荷載水平直線，一般為或一般為斜直線或FC集中力在C處有突變CF在C處有尖角或或在剪力突變的截面CMe集中力偶在C處無突變C在C處有突變MeC在緊靠C點的某一側的截面第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題1求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。ABql/2l/2解：RARB剪力圖彎矩圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題2求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。qqP=qaAB解：aaaRARBQ圖M圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題3求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。ABmabl解：RARBRBQ圖M圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題4求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。aaaABPm=Pa解：RARBQ圖M圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題5求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。Pm=PaABaa解：RARBQ圖M圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題6求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。q2qa2qa2aa2a解：RARBRAQ圖M圖ABDC第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題7求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。qqaaqa2/2AB解：RARBRAQ圖M圖第二節(jié)梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖例題8求圖示梁的剪力圖和彎矩圖。aaaqqaqa2/2AB解：RARBQ圖M圖第三節(jié)梁橫截面上的正應力一、純彎曲aaPPADCBRARBQ圖M圖BC段純彎曲AB段、CD段剪切彎曲第三節(jié)梁橫截面上的正應力二、純彎曲試驗與假設第三節(jié)梁橫截面上的正應力假設1：梁的各縱向纖維間無擠壓，所有與軸線平行的縱向纖維都只受軸向拉伸或壓縮假設2：各個橫截面變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后梁的軸線，只是繞橫截面上的某個軸旋轉了一個角度?！涸诩儚澢鷷r的平截面假設第三節(jié)梁橫截面上的正應力縱向纖維既沒伸長也沒縮短的層——中性層受壓區(qū)受拉區(qū)中性層中性軸中性層與橫截面的交線——中性軸梁在純彎曲的情況下，所有橫截面仍保持為平面，只是繞中性軸作相對轉動且每根縱向纖維都處于軸向拉伸或壓縮的簡單受力狀態(tài)第三節(jié)梁橫截面上的正應力三、梁橫截面上的正應力1、幾何關系：MMO’O’b’b’a’a’CC：為曲率中心：為曲率半徑d：相對轉角xy第三節(jié)梁橫截面上的正應力2、物理關系：純彎曲的梁橫截面上只有彎矩產生的正應力，當正應力沒有超過比例極限時，應用虎克定理：橫截面上任意一點處的正應力與該點距中性軸的距離成正比。即：正應力沿截面高度成線性規(guī)律分布

max：發(fā)生在截面上、下邊緣，中性軸上各點的正應力為零第三節(jié)梁橫截面上的正應力3、靜力學關系：橫截面對Z軸靜矩為零（確定中性軸位置）中性軸通過截面形心第三節(jié)梁橫截面上的正應力橫截面對Z軸的慣性矩令：彎曲截面系數第三節(jié)梁橫截面上的正應力四、剪切彎曲時梁橫截面上的正應力當：按純彎曲理論得出的正應力計算公式計算剪切彎曲梁橫截面上的正應力誤差不超過1%剪切彎曲梁橫截面上正應力的計算公式：第三節(jié)梁橫截面上的正應力例題1簡支梁受力如圖所示，計算當梁按(1)、(2)兩種情況放置時，(豎放、平放)。求：m--m截面上最大正應力ADCB1805kN5kN180mmzy6030解：豎著放好第三節(jié)梁橫截面上的正應力例題2梁橫截面為空心圓截面，承受正彎矩60kN·m作用。試求：橫截面上點a、b和c處的彎曲正應力zy100200abc解：第三節(jié)梁橫截面上的正應力例題3T型截面梁尺寸如圖所示，若該梁危險截面承受負彎矩3.1kN·m。試求：該梁的最大拉應力和最大壓應力1505015050zy解：1.確定形心zC751252.截面對中性軸的慣性矩第三節(jié)梁橫截面上的正應力例題3T型截面梁尺寸如圖所示，若該梁危險截面承受負彎矩3.1kM·m。試求：該梁的最大拉應力和最大壓應力1505015050zyzC75125第四節(jié)梁橫截面上的切應力一、矩形截面梁ABdxxPqPCzyC假設：橫截面上剪應力的分布規(guī)律：Q1、橫截面上剪應力方向平行于剪力Q2、剪應力沿截面寬度均勻分布第四節(jié)梁橫截面上的切應力dxdxdx第四節(jié)梁橫截面上的切應力:橫截面上任意點處切應力Q：橫截面上的剪力IZ:整個橫截面對中性軸的軸慣性矩b:所求點處的受剪寬度SZ:所求點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩第四節(jié)梁橫截面上的切應力二、矩形截面的切應力分布：第四節(jié)梁橫截面上的切應力例題1由三塊木板膠合而成的懸臂梁，如圖所示。試求：膠合面上的1、2點處剪應力和總剪力150100解：第四節(jié)梁橫截面上的切應力例題1由三塊木板膠合而成的懸臂梁，如圖所示。試求：膠合面上的1、2點處剪應力和總剪力150100切應力互等定律截面對稱膠合面上的總剪力第四節(jié)梁橫截面上的切應力例題2（1）試計算1-1截面A-A位置上1、2兩點處的正應力；（2）此截面最大正應力；（3）全梁最大正應力、最大剪應力1mq=60kN/m2mAB12018030解：(壓)第四節(jié)梁橫截面上的切應力例題2（1）試計算1-1截面A-A位置上1、2兩點處的正應力；（2）此截面最大正應力；（3）全梁最大正應力、最大剪應力1mq=60kN/m2mAB12018030第五節(jié)強度條件一、正應力強度條件：塑性材料：由于塑性材料的[]拉=[]壓，為使最大工作拉應力和壓應力同時達到[]，梁截面通常做成對稱于中性軸塑性材料正應力強度條件第五節(jié)強度條件脆性材料：由于[]拉[]壓，為了充分利用材料，通常將截面做成不對稱于中性軸的形狀

對脆性材料進行強度校核時,不僅需要驗算最大彎矩所在截面上的應力情況,有時還需驗算與最大彎矩符號相反的較大彎矩截面上的應力情況第五節(jié)強度條件二、切應力強度條件：第五節(jié)強度條件例題1正方形截面的懸臂梁,尺寸及所受荷載如圖所示,材料的[]=10MPa，現需在截面C的中性軸處鉆一直徑為d的圓孔,試求:在保證梁的正應力強度條件下,圓孔的最大直徑dq=2kN/m160160d解：正應力的強度條件第五節(jié)強度條件例題2圖示槽形截面懸臂梁,[]+=40MPa,[]-=120MPa。試校核其強度m=70kN·m3m3m解：252520050150首先確定截面形心位置C153.696.4第五節(jié)強度條件例題2圖示槽形截面懸臂梁,[]+=40MPa,[]-=120MPa。試校核其強度m=70kN·m3m3m252520050150C153.696.4第五節(jié)強度條件例題2圖示槽形截面懸臂梁,[]+=40MPa,[]-=120MPa。試校核其強度m=70kN·m3m3m2520050150C153.696.425第五節(jié)強度條件例題3已知梁的橫截面如圖所示。橫向荷載作用在對稱平面內該截面上的彎矩M=12kN·m，Q=12kN。試計算該截面上：（1）A、B兩點處的正應力;(2)||max和||max;（3）沿a—a的正應力和剪應力分布圖1602808040100解：首先確定截面形心位置及截面對中性軸的軸慣性矩：C129151AB第五節(jié)強度條件例題3已知梁的橫截面如圖所示。橫向荷載作用在對稱平面內該截面上的彎矩M=12kN·m，Q=12kN。試計算該截面上：（1）A、B兩點處的正應力;(2)||max和||max;（3）沿a—a的正應力和剪應力分布圖1602808040100C129151AB第五節(jié)強度條件例題3已知梁的橫截面如圖所示。橫向荷載作用在對稱平面內該截面上的彎矩M=12kN·m，Q=12kN。試計算該截面上：（1）A、B兩點處的正應力;(2)||max和||max;（3）沿a—a的正應力和剪應力分布圖1602808040100C129151AB第五節(jié)強度條件例題3已知梁的橫截面如圖所示。橫向荷載作用在對稱平面內該截面上的彎矩M=12kN·m，Q=12kN。試計算該截面上：（1）A、B兩點處的正應力;(2)||max和||max;（3）沿a—a的正應力和剪應力分布圖1602808040100C129151AB第六節(jié)提高梁的強度的主要措施設計梁的主要依據是彎曲正應力強度條件：下面分別討論提高梁強度的幾個問題（一）梁支承的合理安排與荷載的合理布置1、梁支承的合理安排：qLqL2/8qL/4L/4L/2qL2/40qL2/40qL2/40第六節(jié)提高梁的強度的主要措施2、荷載的合理布置：q=P/LLPL/8PL/2L/2PL/4L/4L/4L/2P/2P/2PL/8第六節(jié)提高梁的強度的主要措施（二）梁的合理截面1、提高抗彎截面模量WZ，可提高梁的強度bhhbzz截面豎放比橫放抗彎能力強一個合理截面形狀應該是：WZ值較大而面積A較小。即WZ與A的比值越大，截面越合理第六節(jié)提高梁的強度的主要措施zbhbz

K：表示截面抗彎強度合理程度的一個無量剛系數凡是截面面積離中性軸較遠的，這種截面系數值越高第六節(jié)提高梁的強度的主要措施2、根據材料的特性選擇截面尺寸塑性材料：選擇對稱于中性軸的截面，使最大拉、壓應力同時達到許用應力脆性材料：中性軸最理想位置是最大拉、壓應力能同時達到許用應力。第六節(jié)提高梁的強度的主要措施3、變截面梁設b為常量PxxxP設h為常量P第六節(jié)提高梁的強度的主要措施第七章

梁彎曲時的位移主講教師：鄭新亮05二月2023第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角一、撓曲線

在平面彎曲情況，梁變形后的軸線將成為xoy平面內的一條曲線。這條連續(xù)、光滑的曲線——梁的撓曲線。（彈性曲線）Pxy第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角二、截面轉角和撓度（梁彎曲變形的兩個基本量）1撓度：梁變形后，橫截面的形心在垂直于梁軸線（x

軸）方向上所產生的線位移，稱為梁在截面的撓度。PxyCC’一般情況下，不同橫截面的撓度值不同橫截面撓度隨截面位置（x軸）而改變的規(guī)律用撓曲線方程表示。即：符號規(guī)定：撓度向下為正，向上為負。單位：mm第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角PxyCC’2轉角：橫截面繞中性軸所轉過的角度

由梁彎曲的平面假設可知：梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后仍垂直于撓曲線A：曲線在C’點的切線與x軸間的夾角符號規(guī)定：轉角從x軸逆時針轉至切線方向為正，反之為負單位：rad第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角3截面撓度與轉角的關系：PxyCC’撓曲線的斜率：工程中由于是小變形，極小。可用：注：撓曲線上任意點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉角第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角彈性曲線的小撓度微分方程：力學公式數學公式此即彈性曲線的小撓度微分方程第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角yxyxMMMM撓曲線近似微分方程第一節(jié)梁的位移——撓度及轉角撓曲線近似微分方程：梁的彎曲方程積分一次：積分二次：積分常數：需要利用邊界條件和連續(xù)光滑條件來確定邊界條件和連續(xù)光滑條件：梁上某些橫截面處位移為已知的條件第二節(jié)用積分法求彎曲變形例題1求該懸臂梁的最大撓度和轉角ABPl解：建立坐標、寫彎矩方程yxB’代入撓曲線近似微分方程：x積分一次：積分二次：第二節(jié)用積分法求彎曲變形例題1求該懸臂梁的最大撓度和轉角ABPlyxB’x利用邊界條件確定積分常數：第二節(jié)用積分法求彎曲變形例題2求該簡直梁的最大撓度和轉角qlAB解：建立坐標、寫彎矩方程x代入撓曲線近似微分方程：積分一次：積分二次：第二節(jié)用積分法求彎曲變形例題2求該簡直梁的最大撓度和轉角qlABx利用邊界條件確定積分常數：第二節(jié)用積分法求彎曲變形例題2求該簡直梁的最大撓度和轉角qlABx第二節(jié)用積分法求彎曲變形例題3求該簡直梁的最大撓度和轉角ABPl/2l/2解：建立坐標、寫彎矩方程x第二節(jié)用積分法求彎曲變形積分一次：積分二次：Pl/2l/2xAB第二節(jié)用積分法求彎曲變形Pl/2l/2xAB第二節(jié)用積分法求彎曲變形撓度轉角第三節(jié)用疊加法求彎曲變形疊加法：當梁上同時作用幾個荷載時，在小變形情況下，且梁內應力不超過比例極限，則每個荷載所引起的變形（撓度和轉角）將不受其它荷載的影響即：梁上任意橫截面的總位移等于各荷載單獨作用時，在該截面所引起的位移的代數和第三節(jié)用疊加法求彎曲變形荷載疊加：將作用在梁上的荷載分解成單個荷載，利用單個荷載作用下梁的撓度和轉角的結果進行疊加，就可求得梁在多個荷載作用下的總變形PPPP第三節(jié)用疊加法求彎曲變形逐段剛化法：將梁分成幾段，分別計算各段梁的變形在需求位移處引起的位移，然后計算其總和即：考慮某段梁的變形時，將其它梁段視為剛體，在利用外力平移計算其它梁段的變形，最后疊加例題1求該懸臂梁的最大撓度和轉角PPPM第三節(jié)用疊加法求彎曲變形PPPMPMPM第三節(jié)用疊加法求彎曲變形例題2求梁跨中中點處的撓度。已知：抗彎剛度為EIqlAB解：PABABqP第三節(jié)用疊加法求彎曲變形例題3求A點處的撓度。已知：抗彎剛度為EIPla解：PMP第四節(jié)提高梁剛度的一些措施1剛度條件：例題1已知：P1=2kN，P2=1kN。l=400mm，a=100mm，外徑D=80mm，內徑d=40mm，E=200GPa，截面C處撓度不超過兩軸承間距離的10-4，軸承B處轉角不超過10-3弧度。試校核該主軸的剛度。P2l/2l/2a解：P1l/2l/2al/2l/2aP1P2第四節(jié)提高梁剛度的一些措施P1l/2l/2al/2l/2aP2第四節(jié)提高梁剛度的一些措施P1l/2l/2al/2l/2aP2滿足剛度條件第四節(jié)提高梁剛度的一些措施2提高梁剛度的措施：梁的變形不僅與荷載、支承有關，而且與材料、跨度等也有關（1）提高梁的抗彎剛度EI對彈性模量來說，即使采用高強合金鋼也只是增加了許用應力，但E值比較接近，（提高梁的抗彎強度的措施）。要增加梁的抗彎剛度還是需要考慮橫截面的慣性矩梁的變形與橫截面的慣性矩成反比，增加慣性矩可以提高梁的抗彎剛度。（與提高梁的抗彎強度的辦法相類似）第四節(jié)提高梁剛度的一些措施（2）調整跨度*調整支承—外伸梁*增加支承—超靜定（可減小變形，降低梁內最大彎矩）第五節(jié)簡單超靜定梁例題1試求：圖示梁的約束反力，EI為已知qABCll解：（1）選取靜定基：去掉荷載及多余約束使原超靜定結構變?yōu)殪o定的基本系統—靜定基ABll（2）相當系統：將荷載及代替支坐的多余約束反力重新作用在靜定基上而得到的系統—相當系統ABllqRC（3）列變形協調方程將相當系統的變形與原系統的變形相比較，列變形協調方程第五節(jié)簡單超靜定梁ABllqABllRCqABllRC補充方程（4）列靜平衡方程第五節(jié)簡單超靜定梁例題2已知：荷載q，梁AB的抗彎剛度為EI、桿BC的抗拉壓剛度為EA。試求：BC桿內力BACqll/2解：B’（1）選取靜定基：（2）相當系統：AlBAlqRB（3）列變形協調方程第五節(jié)簡單超靜定梁例題2已知：荷載q，梁AB的抗彎剛度為EI、桿BC的抗拉壓剛度為EA。試求：BC桿內力BACqll/2解：B’AlBAlqRB第五節(jié)簡單超靜定梁例題3懸臂梁受力如圖。試用疊加法計算ymaxCAl/2Bql/2解：采用逐段剛化法首先將AB段視為剛體，研究BC段變形CABql/2l/2再將BC段視為剛體，通過外力平移，研究AB段變形CABl/2l/2P=ql/2M=ql2/8第五節(jié)簡單超靜定梁例題3懸臂梁受力如圖。試用疊加法計算ymaxCAl/2Bql/2CABql/2l/2CABl/2l/2P=ql/2M=ql2/8第五節(jié)簡單超靜定梁例題4已知：P、a、EI。試求（1）C截面的撓度，（2）若a=3m，梁的[]=160MPa，矩形截面為：50120mm。求：[P]2aaP解：一次超靜定選取靜定基得相當系統PRB變形協調方程荷載疊加：求B點撓度CBPPRBM=Pa補充方程第五節(jié)簡單超靜定梁例題4已知：P、a、EI。試求（1）C截面的撓度，（2）若a=3m，梁的[]=160MPa，矩形截面為：50120mm。求：[P]2aaPPRB=7P/4求許可荷載RA=3P/4MA=Pa/2Q圖M圖強度條件？思考：如何求C點撓度第五節(jié)簡單超靜定梁例題5圖示結構，懸臂梁AB和簡支梁GD均由N018工字鋼制成，BC為圓截面剛性桿，直徑d=20mm，梁和桿的彈性模量均為：E=200GPa，若P=30kN。試求（1）梁和桿內max；（2）橫截面C的垂直位移。GD2m2mCBAP一次超靜定選取靜定基得相當系統解：BAGD2m2mPRCBRBC變形協調方程第五節(jié)簡單超靜定梁例題5圖示結構，懸臂梁AB和簡支梁GD均由N018工字鋼制成，BC為圓截面剛性桿，直徑d=20mm，梁和桿的彈性模量均為：E=200GPa，若P=30kN。試求（1）梁和桿內max；（2）橫截面C的垂直位移。GD2m2mCBAPBAGD2m2mPRCBRBC第五節(jié)簡單超靜定梁例題5圖示結構，懸臂梁AB和簡支梁GD均由N018工字鋼制成，BC為圓截面剛性桿，直徑d=20mm，梁和桿的彈性模量均為：E=200GPa，若P=30kN。試求（1）梁和桿內max；（2）橫截面C的垂直位移。GD2m2mCBAPBAGD2m2mPRCBRBCAB、DG梁：BC桿：第五節(jié)簡單超靜定梁例題6兩懸臂梁間有一滾柱以實現彈性加固，受力情況如圖。AB梁抗彎剛度為EI，DC梁抗彎剛度為2EI。試求：經過滾柱所傳遞的壓力l/2l/2ABDCP一次超靜定選取靜定基得相當系統解：變形協調方程ABDCPRCRCPM=Pl/2第五節(jié)簡單超靜定梁因為C=0ACPl/2l/2MB解：例題7懸臂梁受力如圖。已知：M、EI、L為常數。求：使C=0時，P=？并求此時的yC第八章

應力狀態(tài)和強度理論主講教師：鄭新亮05二月2023第八章應力狀態(tài)和強度理論拉伸試驗（現象）：低碳鋼：勁縮斷裂鑄鐵：橫截面斷裂壓縮試驗（現象）：低碳鋼：呈鼓狀鑄鐵：斜截面發(fā)生錯動破壞第八章應力狀態(tài)和強度理論拉伸試驗（現象）：低碳鋼鑄鐵第一節(jié)應力狀態(tài)概述1應力狀態(tài)：受力構件內任意點各不同截面方位上的應力情況研究點的應力狀態(tài)的方法：取單元體的方法2單元體：圍繞受力構件內任意點切取一個微小正六面體FF單元體的特點：1單元體各側面上的應力分布是均勻的2兩個相互平行側面上的應力情況是相同的3代表該點三個相互垂直方向上的應力情況圍繞一個受力點可以有無數多個單元體第一節(jié)應力狀態(tài)概述Fl/2l/2第一節(jié)應力狀態(tài)概述S平面xzy4321FlaFlaS第一節(jié)應力狀態(tài)概述xzy4321