第六章維納濾波器和卡爾曼濾波器

第６章維納濾波器和卡爾曼濾波器6.1離散維納濾波器的時(shí)域解6.2離散維納濾波器的域解6.3維納預(yù)測(cè)器6.4卡爾曼（Kalman）濾波器在實(shí)際應(yīng)用中，有用信號(hào)往往會(huì)受到一些外界干擾，我們實(shí)際觀察到的是受到噪聲干擾了的信號(hào)。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號(hào)分離出來，是信號(hào)處理中經(jīng)常遇到的問題。例如，在傳輸或測(cè)量信號(hào)時(shí)，由于信道噪聲或者測(cè)量噪聲，接收或測(cè)量到的數(shù)據(jù)將與不同。設(shè)噪聲是加性的，即如果和的頻譜是分離的，那么設(shè)計(jì)一個(gè)具有恰當(dāng)頻率特性的線性濾波器即能有效地抑制噪聲并提取信號(hào)，這就是前面經(jīng)典數(shù)字信號(hào)處理理論中詳細(xì)討論過的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題。但是如果和的頻譜互相重疊，或者和是隨機(jī)信號(hào)，它們的頻譜根本就不存在，問題就要復(fù)雜得多，這就是本章要討論的內(nèi)容。

為了從中提取或恢復(fù)原始信號(hào)，需要設(shè)計(jì)一種濾波器，對(duì)進(jìn)行濾波，使濾波器的輸出盡可能地逼近，成為的最佳估計(jì)，即。這種濾波器稱為最佳濾波器。一般而言，這是信號(hào)的最佳估計(jì)問題。所謂最佳，使以一定的準(zhǔn)則來衡量的。通常有四種準(zhǔn)則：最大后驗(yàn)準(zhǔn)則；最大似然準(zhǔn)則；均方準(zhǔn)則；線性均方準(zhǔn)則。采用不同的最佳準(zhǔn)則，估計(jì)得到的結(jié)果可能不同。6.1離散維納濾波器的時(shí)域解維納濾波器和卡爾曼濾波豈都是最佳濾波器，其最優(yōu)準(zhǔn)則是最小均方誤差準(zhǔn)則。維納濾波器是根據(jù)當(dāng)前和過去的觀察值對(duì)當(dāng)前的信號(hào)值進(jìn)行估計(jì)，這是一個(gè)估計(jì)問題，估計(jì)問題按照不同情況可以分為以下三種。濾波（或過濾）。根據(jù)當(dāng)前和過去的觀察值對(duì)當(dāng)前的信號(hào)值進(jìn)行估計(jì)，使。預(yù)測(cè)（或外推）。根據(jù)過去的觀察值估計(jì)當(dāng)前或未來的信號(hào)值，使，其中。內(nèi)插（或平滑）。根據(jù)過去的觀察值過去的信號(hào)值，使，其中。

6.1.1維納濾波器的時(shí)域求解方法維納濾波器最初是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，最初是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)以模擬濾波器的形式出現(xiàn)的，在這里我們只討論離散維納濾波器。設(shè)維納濾波器的單位脈沖響應(yīng)為，其輸入信號(hào)為，輸出信號(hào)。如圖6-1所示。一個(gè)因果系統(tǒng)，必須是一個(gè)因果序列，即由圖6-1可知（6-1）是對(duì)信號(hào)的最佳估計(jì)，用表示估計(jì)誤差，則?？梢钥闯墒蔷禐榱愕碾S機(jī)變量，其方差就是估計(jì)的均方誤差。設(shè)計(jì)維納濾波器過程就是尋求使(6-2)最小的濾波器單位脈沖響應(yīng)或系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式。為了討論方便，令則（6-3）式（6-1）可寫成

（6-4）于是（6-5）

現(xiàn)在的問題是需要求的使最小的，將上式對(duì)各求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得（6-6）即（6-7）上式說明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是數(shù)學(xué)上的正交性原理。也就是說滿足正交性原理與滿足最小均方誤差的條件是等價(jià)的。將式（6-3）代回式（6-6）中，得（6-8）即（6-9）或（6-10）

上式稱為維納-霍夫（Wiener-Hopf）方程。從維納-霍夫方程中解出，它就是在最小均方誤差下的最佳。設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)度為N因果序列（即是一個(gè)長(zhǎng)度N為的FIR濾波器），維納-霍夫方程表述為（6-11）分別將代入式（6-11），得

（6-12）定義式（6-12）可以寫成矩陣形式，即（6-13）對(duì)上式求逆。得（6-14）上式表明已知期望信號(hào)與觀測(cè)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)及觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。但是，直接從時(shí)域求解因果維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波器長(zhǎng)度N較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，需要計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量也很大。如果在計(jì)算過程中想增加的長(zhǎng)度N來提高逼近程度時(shí)，就需要的新N的基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，最小均方誤差下的維納濾波器，在時(shí)域里求解其FIR濾波器并不是一個(gè)有效的方法。6.1.2FIR維納濾波器的均方誤差下面讓我們來研究FIR維納濾波器的最小均方誤差。由式（6-2）得

（6-15）可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)是，為N維向量，因此均方誤差是一個(gè)超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點(diǎn)存在。當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取得最小值。將式（6-14）代入式（6-15），得到最小均方誤差為（6-16）

6.2離散維納濾波器的z域解對(duì)于非因果維納濾波器，有-（6-17）在最小均方誤差準(zhǔn)則下，有（6-18）對(duì)上式兩邊進(jìn)行變換，得（6-19）所以，最佳濾波器系統(tǒng)函數(shù)為（6-20）因

假設(shè)信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即，則式（6-20）可寫成（6-21）將代入上式，得非因果的維納濾波器的頻率特性為可見，決定于信號(hào)與噪聲的功率譜密度，當(dāng)噪聲為零時(shí)，，，信號(hào)全部通過；當(dāng)信號(hào)為零時(shí)，，，噪聲被全部抑制掉，因此維納濾波器確有濾出噪聲的能力。非因果維納濾波器的幅頻特性如圖6-2所示。

（6-22）當(dāng)要求維納濾波器的單位樣本響應(yīng)是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的因果序列時(shí)，所得到的維納-霍夫方程式（6-11）將附有的約束條件。在此約束條件下，式（6-11）不能直接轉(zhuǎn)入z域求解。這使得在要求滿足因果條件下，求解維納-霍夫方程成為一個(gè)非常困難的問題。下面我們將利用把進(jìn)行白化的方法來求維納-霍夫方程的域解。為此，先引入信號(hào)模型的概念。任何具有有理功率譜密度的隨機(jī)信號(hào)都可以看成是由一白色噪聲激勵(lì)一物理網(wǎng)絡(luò)所形成。也就是說對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，我們可以看成是由白噪聲通過一網(wǎng)絡(luò)所形成，如圖6-3（a）所示。

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

由圖6-3可知，的功率譜密度可表示為（6-23）

或（6-24）由于是一個(gè)最小相移系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，故也是一個(gè)因果的最小相移系統(tǒng)，因此可用式（6-24）對(duì)進(jìn)行白化。如圖6-3（b）所示。設(shè)計(jì)維納濾波器的過程就是求在最小條件下的最佳。我們將分解成兩個(gè)串聯(lián)的濾波器和，如圖6-4所示。

因此，維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為的求解。即（6-25）6.2.1非因果維納濾波器的求解由圖6-4可知（6-26）（6-27）對(duì)上式逐項(xiàng)求均值

代入原式得（6-28）可以看出，只有均方誤差的第二項(xiàng)與有關(guān)，要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng)（6-29）因此可得的最佳值為（6-30）其z變換為（6-31）

這樣，非因果維納濾波器的最佳解為（6-32）由于（6-33）所以（6-34）與前面所得結(jié)果相同。假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即當(dāng)時(shí)，有

代入式（6-34），得（6-35）

將代入上式，得（6-36）

下面我們來推導(dǎo)非因果維納濾波器的最小均方誤差。由式（6-28）可得（6-37）利用帕塞伐爾（Parseval）定理可得（6-38）上式第一項(xiàng)是因?yàn)橐蚨猩鲜降诙?xiàng)按帕塞伐爾定理

當(dāng)時(shí)，有將式（6-33）代入式（6-38）得考慮到式（6-34），有（6-39）當(dāng)信號(hào)與噪聲不相關(guān)時(shí)，考慮到，可得

（6-40）去單位圓為積分圍線，以代入上式得（6-41）由上式可以看出，維納濾波器的最小均方誤差即與輸入信號(hào)的功率譜有關(guān)，也與噪聲的功率頻譜有關(guān)，僅當(dāng)信號(hào)與噪聲的功率譜不相覆蓋時(shí)方為零。

6.2.2因果維納濾波器的求解對(duì)于因果維納濾波器，要求于是有(6-42)均方誤差為（6-43）要使均方誤差最小，必須有（6-44）

令

有（6-45）又由式（6-33）得到（6-46）所以（6-47）因果維納濾波器的最小均方誤差為利用帕塞伐爾定理，可得（6-48）

比較式（6-39）和式（6-48）因果維納濾波器的最小均方誤差和非因果維納濾波的最小均方誤差具有相同的形式，但二者的計(jì)算的表達(dá)式是不同的。例6-1已知，為希望得到的信號(hào)，為白噪聲，且

求。解：由于噪聲與信號(hào)不相關(guān)，得到，所以有

又因?yàn)椋紤]到為因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，由單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)組成，由單位圓外的零極點(diǎn)組成，比較上兩式得

1.因果情況

由于，得

令

的極點(diǎn)為0.8和2，考慮到因果性和穩(wěn)定性，的收斂域必包含單位圓，取積分圍線C為單位圓，因C內(nèi)極點(diǎn)為0.8，根據(jù)留數(shù)定理，得所以利用式（6-48），考慮到，得

取單位圓為積分圍線，上式等于單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)之和，即

濾波前的均方誤差為

所以，通過維納濾波器后均方誤差下降了8/3倍。2.非因果情況令

取單位圓為積分圍線，極點(diǎn)為0.8和0.5，利用留數(shù)定理，得可見，非因果維納濾波器的均方誤差（3/8）要比因果維納濾波器的均方誤差（3/10）要小。

6.3維納預(yù)測(cè)器維納濾波器是用觀察到的的當(dāng)前和全部過去數(shù)據(jù)來估計(jì)當(dāng)前值。維納預(yù)測(cè)器是用觀察到的全部過去數(shù)據(jù)來估計(jì)當(dāng)前或?qū)淼闹怠Ｊ构烙?jì)值與真值的均方誤差最小。我們知道隨機(jī)信號(hào)或的任一時(shí)刻的取值都是具有偶然性的，即使已知以前它們的全部取值，也不能精確確定當(dāng)前的取值，更不能確定以后某個(gè)時(shí)刻的取值。但是我們可以利用數(shù)據(jù)前后的關(guān)聯(lián)性，或者利用它們的某些統(tǒng)計(jì)特性來估計(jì)或預(yù)測(cè)當(dāng)前和以后最可能的取值。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，我們可以從它的自相關(guān)函數(shù)了解它在任意兩點(diǎn)間的相關(guān)的程度，當(dāng)我們已知其自相關(guān)函數(shù)以及在一個(gè)點(diǎn)及其全部過去的取值就可以估計(jì)或預(yù)測(cè)它在將來某一點(diǎn)的取值。但式這種預(yù)測(cè)是利用隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律作為依據(jù)的，因此是不能達(dá)到精確預(yù)測(cè)的，也就是說會(huì)存在一定的預(yù)測(cè)誤差。維納預(yù)測(cè)器是以均方誤差為最小作為預(yù)測(cè)最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)。6.3.1維納預(yù)測(cè)器的計(jì)算公式圖6-5表示一個(gè)預(yù)測(cè)器的輸入輸出信號(hào)，其中是希望得到的輸出即，而實(shí)際得到的輸出的估計(jì)值。利用前面維納濾波器估計(jì)當(dāng)前值的結(jié)果，我們很容易推廣它們用于預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)器的計(jì)算公式。主要的討論目標(biāo)仍是求出——預(yù)測(cè)器的傳遞函數(shù)，以及——預(yù)測(cè)的均方誤差。維納濾波器與維納預(yù)測(cè)器的差別僅僅在于，前者所希望的輸出為，后者為。實(shí)際的輸出前者為，后者為。因而對(duì)于預(yù)測(cè)器有 （6-49）設(shè)計(jì)維納預(yù)測(cè)器的問題就是求條件下的或的問題。為此，令，得

即 （6-50）或 （6-51）如果我們將所希望的輸出用yd表示，則維納濾波器的，因而有

而維納預(yù)測(cè)器的，因而有

上式的Z變換為 （6-52）及 （6-53）下面我們?nèi)匀环殖啥N情況：因果的和非因果的維納預(yù)測(cè)器，分別進(jìn)行討論。(1)非因果的維納預(yù)測(cè)器非因果的維納預(yù)測(cè)器是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，但它指出了預(yù)測(cè)器可能得到的最好結(jié)果。借用維納濾波器的計(jì)算公式，在這里我們可以將其寫成 （6-54）對(duì)于維納濾波器對(duì)于維納預(yù)測(cè)器 (N步預(yù)測(cè))最小均方誤差為 （6-55）這里。將式(6-52)和式（6-53）代入（6-54）和式（6-55），得 （6-56） （6-57）(2)因果的維納預(yù)測(cè)器借用因果的維納濾波器的公式，在這里我們將其寫成

對(duì)于維納濾波器，對(duì)于維納預(yù)測(cè)器，故物理可實(shí)現(xiàn)的維納預(yù)測(cè)器的傳遞函數(shù)應(yīng)為 （6-58）最小均方誤差的公式為

（6-59）將式(6-57)與式(6-59)比較可見，二者具有完全相同的形式，只是它們的有所不同，非因果的應(yīng)按式(6-56)計(jì)算，后者應(yīng)按式(6-58)計(jì)算。

6.3.2純預(yù)測(cè)器純預(yù)測(cè)是在情況下對(duì)的預(yù)測(cè)。因此對(duì)純預(yù)測(cè)器，，從而有 （6-60）對(duì)于因果系統(tǒng)，有 （6-61）及

根據(jù)帕塞伐爾定理

取得

設(shè)是B(z)的逆Z變換，利用上式，得 （6-62）上式說明最小均方誤差將隨著N的增大而增大，即預(yù)測(cè)的距離越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)誤差越大。

例6-2已知

求(1)使均方誤差最小的 (2)最小均方誤差 解：因?yàn)樗?/p>

由式(6-61)得因果的維納預(yù)測(cè)器，應(yīng)有因?yàn)?/p>

所以

對(duì)只取上式中的部分，得

再回到Z域，得所以 （6-63）預(yù)測(cè)器如圖6-6所示最小均方誤差為

結(jié)果說明N越大，誤差越大，如果則沒有誤差。我們是把看成由白噪聲通過產(chǎn)生的，而

故該信號(hào)模型可以用一個(gè)一階差分方程來表達(dá)

即 （6-64）如圖6-7所示。如圖6-7所示。最佳預(yù)測(cè)就等于乘以當(dāng)前的s(n)的取值，即有 （6-65）式(6-65)所示的結(jié)果，正是式(6-64)中的差分方程在條件下的解。因?yàn)榘词?6-64)，有

又 所以 因此，式(6-65)的結(jié)果等于認(rèn)為，因而僅由的慣性就能完全決定估計(jì)值。而實(shí)際上我們并沒有假設(shè)時(shí)均為零。這個(gè)結(jié)果只能說明的影響就統(tǒng)計(jì)平均來講等于零。實(shí)際上從式可知

的均值等于零，正說明的影響就統(tǒng)計(jì)平均來講等于零。因此式(6-65)的結(jié)論具有普遍適用性，即對(duì)于任何的的純預(yù)測(cè)問題均可適用。當(dāng)，我們要估計(jì)時(shí)，只需要考慮系統(tǒng)的慣性而可認(rèn)為，這樣估計(jì)出來的結(jié)果將有最小均方誤差。6.3.3一步線性預(yù)測(cè)器對(duì)于純預(yù)測(cè)問題，有，于是一步線性預(yù)測(cè)問題是在給定過去p個(gè)樣本基礎(chǔ)上，預(yù)測(cè)當(dāng)前值，則這就是一步線性預(yù)測(cè)公式，并常用下列符號(hào)表示 （6-66）式中p為階數(shù)，，于是預(yù)測(cè)誤差為 （6-67）均方預(yù)測(cè)誤差為為了求得最小均方誤差下的，令即 （6-68）或 （6-69）由式(6-69)可得于是

（6-70）用自相關(guān)函數(shù)表示，式(6-68)與式(6-70)變?yōu)? （6-71） （6-72）將上二式寫成矩陣形式，并考慮到得 （6-73）式(6-73)就是有名的Yule-Walker方程，它是由個(gè)方程組成的，當(dāng)已知，時(shí)，由(6-73)可以解得這個(gè)未知數(shù)。該方程與AR模型功率譜估計(jì)得到的方程式（5-28）是一致的，可以利用AR模型參數(shù)的求解方法求解，例如Levinson-Durbin算法。

6.4卡爾曼（Kalman）濾波器維納濾波器與卡爾曼濾波器都解決以最小均方誤差為準(zhǔn)則的最佳線性過濾問題，但是，它們解決的方法有很大區(qū)別。維納濾波是根據(jù)全部過去的觀察數(shù)據(jù)來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或單位樣本響應(yīng)的形式給出的。而卡爾曼濾波則不需要全部過去的觀察數(shù)據(jù)，它只是根據(jù)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀察數(shù)據(jù)來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值。它是用狀態(tài)方程和遞推方法進(jìn)行估計(jì)的，而它的解是以估計(jì)值(常常是狀態(tài)變量的估計(jì)值)的形式給出的。從信號(hào)模型的建立來看，維納濾波的信號(hào)模型是從信號(hào)與噪聲的相關(guān)函數(shù)得到，而卡爾曼濾波的信號(hào)模型則是從狀態(tài)方程和量測(cè)方程得到。為了得到卡爾曼過濾的信號(hào)模型，必須首先討論狀態(tài)方程和量測(cè)方程。

6.4.1離散狀態(tài)方程及其解離散狀態(tài)方程的基本形式是 （6-74）其中代表一組狀態(tài)變量組成的多維狀態(tài)矢量，而A，B都是矩陣，它們是由系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、元件性質(zhì)和數(shù)值所確定的。是激勵(lì)信號(hào)。狀態(tài)方程是多維一階的差分方程。當(dāng)已知初始狀態(tài)，可用遞推的方法得到它的解：

6-75）

其中第一項(xiàng)只與系統(tǒng)本身的特性A和初始狀態(tài)有關(guān)，與激勵(lì)無關(guān)，稱為零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)只與激勵(lì)和系統(tǒng)本身特性有關(guān)，而與初始狀態(tài)無關(guān)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

令。當(dāng)時(shí)，。由此可見，通過可將時(shí)的狀態(tài)過渡到任何的狀態(tài)。故稱為過渡矩陣或轉(zhuǎn)移矩陣。將代入式(6-75)，得 （6-76）這就是式(6-74)的解。當(dāng)已知初始狀態(tài)、激勵(lì)以及A與B矩陣，即可求得。如果用表示起始點(diǎn)的值，則上式中的，即表明從初始狀態(tài)開始遞推。如果，則從開始遞推，從而，有 （6-77）這里代表從狀態(tài)到狀態(tài)的過渡矩陣。如果，就得到一步遞推公式：

由于，代入上式，得 （6-78）其中，因此式(6-78)就是式(6-74)。式(6-78)說明在k時(shí)刻的狀態(tài)可以由它前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)來求得，即時(shí)刻以前各狀態(tài)的影響都已記憶在中了。如果激勵(lì)源為白噪聲，即同時(shí)系統(tǒng)可以是時(shí)變的：，則式(6-78)可寫成

為了書寫方便，將變量k放在下標(biāo)表示，則上式成為 （6-79）式(6-79)就是我們今后要用到的一步遞推的狀態(tài)方程。

6.4.2量測(cè)方程卡爾曼濾波是根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)數(shù)據(jù)(或稱觀察數(shù)據(jù))，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。所以除了狀態(tài)方程以外，還需要量測(cè)方程。量測(cè)系統(tǒng)可以是時(shí)不變系統(tǒng)，也可以是時(shí)變系統(tǒng)。設(shè)量測(cè)數(shù)據(jù)和系統(tǒng)的各狀態(tài)變量間作線性關(guān)系。如果用表示量測(cè)或觀察到的信號(hào)矢量序列，則它與狀態(tài)變量的關(guān)系可以寫成 （6-80）這個(gè)包括信號(hào)的真值和噪聲，其中是觀察或量測(cè)時(shí)引入的誤差，它是一個(gè)代表測(cè)量誤差的隨機(jī)向量。一般可以假定為均值為零的正態(tài)白色噪聲。顯然，的維數(shù)不一定與的維數(shù)相等，因?yàn)椴灰欢芰繙y(cè)到所有需要的狀態(tài)參數(shù)。稱為量測(cè)矩陣，它是一個(gè)的矩陣(m為的維數(shù)，n為的維數(shù))。的維數(shù)當(dāng)然應(yīng)該和的維數(shù)一致。

總上，我們觀察或量測(cè)到的信號(hào)中包括信號(hào)真值與噪聲，即 （6-81）實(shí)際上式(6-81)與維納濾波中公式

在概念上是一回事，式(6-81)中的信號(hào)真值是一個(gè)多維矢量，它是狀態(tài)變量各分量的線性組合： （6-82）并且把觀察到的中的噪聲分量看作測(cè)量誤差。在維納濾波中我們希望看到的估計(jì)值與真值有最小均方誤差。在卡爾曼濾波中我們希望得到的估計(jì)矢量與有最小均方誤差。有了也就得到了。這里信號(hào)所以要表示為狀態(tài)變量的線性組合，是因?yàn)榘汛蟮牧勘硎緸闋顟B(tài)方程中的狀態(tài)變量的線性組合有很多優(yōu)點(diǎn)。由于狀態(tài)方程是一個(gè)一階多維的方程，可以用一步遞推法求解，并且變量可以是多維的?？柭鼮V波相對(duì)于維納濾波計(jì)算上的很多優(yōu)點(diǎn)，正是由于它利用了狀態(tài)方程得到的。由以上的討論可見，我們對(duì)所謂量測(cè)方程的概念也并不陌生。于是，對(duì)于卡爾曼濾波為什么要用量測(cè)方程與狀態(tài)方程作為基礎(chǔ)也不難理解。

此時(shí)卡爾曼濾波的量測(cè)方程與維納濾波的信號(hào)方程完全相同，只是在符號(hào)表示上有所不同。實(shí)際上，卡爾曼濾波公式中的就是維納濾波公式中的，它們都代表觀察到的數(shù)據(jù)。

由量測(cè)方程與狀態(tài)方程，即式(6-79)與(6-80)，可以得到卡爾曼濾波在多維時(shí)的信號(hào)模型如圖6-8(a)所示；圖6-8(b)表示一維時(shí)的信號(hào)模型。在圖(b)中已將圖(a)中的虛線框用傳遞函數(shù)A(z)表示。圖(a)中的雙線箭頭代表多維矢量的傳輸方向。例6-3仍沿用前面維納濾波中的例子，設(shè)，已知

求卡爾曼信號(hào)模型中的與。解：因?yàn)樗?/p>

即 變換到時(shí)域： 所以又，因?yàn)椋浴?/p>

6.4.3卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波要解決的問題是要尋找在最小均方誤差下的估計(jì)值。它的特點(diǎn)是可以用遞推方法計(jì)算。具體地講，設(shè)已知?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程，它們分別為 （6-83） （6-84）式中：--維矩陣；--維矩陣，稱為量測(cè)矩陣；---維狀態(tài)向量；--維觀測(cè)向量；--維均值為零的白噪聲向量，過程噪聲；--維均值為零的白噪聲向量，量測(cè)噪聲。假定：（1）與都是均值為零的正態(tài)白噪聲，且與互不相關(guān)，即這里；--對(duì)稱非負(fù)定陣--對(duì)稱正定陣（2）初始狀態(tài)為隨機(jī)向量，它與、獨(dú)立，其統(tǒng)計(jì)特性是給定的從狀態(tài)方程及量測(cè)方程可知與是已知的，是測(cè)量到的數(shù)據(jù)，當(dāng)然也是已知的。問題是如何從及來求得。如果沒有與，則從式(6-83)及式(6-84)可以立即求得，也就不存在估計(jì)的問題。估計(jì)問題的出現(xiàn)正是因?yàn)樾盘?hào)與噪聲迭加在一起，而要估計(jì)其中信號(hào)的真值。如果暫時(shí)不考慮與，此時(shí)按式(6-81)與(6-82)得到的與分別用與表示，則有 （6-85） （6-86）這里，為的估計(jì)值。我們是可以測(cè)量(或觀察)到“實(shí)際觀察值”，再將與的實(shí)際觀察值作比較，它們的差用表示，有 （6-87）偏離而產(chǎn)生，顯然是由于忽略了與所引起。也就是說，隱含了與的信息，或者說隱含了當(dāng)前的(最新的)觀察值的信息。如果我們將乘以某一

來修正原先的值，會(huì)得到更好地估計(jì) （6-88）上式中的變量是多維的，因此，與真值的均方誤差是一個(gè)誤差方陣。如果我們能求得這個(gè)誤差陣最小條件下的

，然后將此代入式(6-88)，則所得到的就是對(duì)的線性最優(yōu)估計(jì)?，F(xiàn)在來求均方誤差陣最小條件下的

。用Pk表示均方誤差陣，則有(見第一章)： （6-89）并令 （6-90）式(6-89)中， （6-91）假設(shè)都是均值為零的正態(tài)白噪聲，且都是均值為零的正態(tài)白噪聲，且互不相關(guān)，即 （6-92） （6-93）這里

在下面的推導(dǎo)中并設(shè)初始狀態(tài)與均不相關(guān)。上面這些假設(shè)是符合一般實(shí)際情況的。為了求得Pk作為Hk的函數(shù)，先讓我們求及。將式(6-83)與(6-84)代入式(6-88)，得 （6-94） （6-95）將式(6-95)以及前面這些假設(shè)式(6-90)，(6-91))代入式(6-89)，得均方誤差陣Pk為

（6-96）在這九項(xiàng)中

又由于①互不相關(guān)，即

因此式(6-96)中第八項(xiàng)與第九項(xiàng)均為零。②按式(6-75)，得

由此可見，而與不相關(guān)，故有

按式(6-94)，得

由此可見，，而與及不相關(guān)，故有

因此式(6-96)中的第三項(xiàng)、第四項(xiàng)、第六項(xiàng)與第七項(xiàng)均為零。綜上，式(6-96)中只有第一項(xiàng)，第二項(xiàng)和第五項(xiàng)不為零，即 （6-97）又因 （6-98） 由此可見，，而與及不相關(guān)，故有

因此式(6-96)中的第三項(xiàng)、第四項(xiàng)、第六項(xiàng)與第七項(xiàng)均為零。綜上，式(6-96)中只有第一項(xiàng)，第二項(xiàng)和第五項(xiàng)不為零，即 （6-97）又因 （6-98） 把代入式(6-96)，得 （6-99）由于是正定陣，可寫成

令 又由于 所以 于是 （6-100）

上式第二項(xiàng)與第三項(xiàng)均與Hk無關(guān)，而第一項(xiàng)為半正定矩陣，因此使Pk最小的Hk應(yīng)滿足條件：

即 （6-101）將式(6-101)代入式(6-100)，得最小均方誤差陣為 （6-102）將式(6-101)代入式(6-88)，即可得均方誤差陣最小條件下的的遞推公式。綜上所述，我們得到下列一組卡爾曼一步遞推公式： （6-103） （6-104） （6-105） （6-106）由式(6-103)可見，當(dāng)我們已知Hk，利用前一個(gè)的估計(jì)值與當(dāng)前的量測(cè)值，就可以求得。如果Hk是按式(6-104)計(jì)算的，即滿足最小均方誤差陣的Hk，則將此Hk代入式(6-103)，就得到我們所要求的在最小均方誤差陣條件下的。如果初始狀態(tài)的系統(tǒng)特性已知，并令

又 將P0代入式(6-105)可求得，將代入式(6-104)可求得H1，將此H1代入式(6-103)可求得在最小均方誤差條件下的，同時(shí)將代入式(6-106)又可求得P1；由P1又可求得，由又可求得H2，由H2又可求得，同時(shí)由H2與又可求得P2……；以此類推，這