平面一般力系4

第三章平面一般力系◆課節(jié)3–1平面一般力系平衡方程◆課節(jié)3–2固定端約束均布荷載求力矩◆課節(jié)3–3物體系統(tǒng)的平衡◆課節(jié)3–4考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡◆課節(jié)3–1平面一般力系平衡方程1.平面匯交力系

平面匯交力系總可以合成為一個(gè)合力FR

。2.平面力偶系

平面力偶系總可以合成為一個(gè)合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。

3.力線平移定理

力向作用線外任一點(diǎn)平移，得到一個(gè)平移力和一個(gè)附加力偶。平移力與原力大小相等，附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。OF3F2F1FR12FRM1M2M3MR=AdBF'M'

=FdBAFd舊課復(fù)習(xí)：△O一、平面一般力系的簡(jiǎn)化=

◆課節(jié)3–1平面一般力系平衡方程

1.主矢FR主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開(kāi)方,作用在簡(jiǎn)化中心上,其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選取無(wú)關(guān)。OF3F2F1CBA簡(jiǎn)化中心

F3F'2F'1M1M2M3=OFRM0

2.主矩M0結(jié)論：主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選取有關(guān)。

平面一般力系向平面一般點(diǎn)簡(jiǎn)化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

△3.簡(jiǎn)化結(jié)果的討論例3-1

圖示物體平面A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一等邊三角形，三點(diǎn)分別作用F力，試簡(jiǎn)化該力系。

1）FR≠0Ｍ0≠0主矢FR和主矩ＭO也可以合成為一個(gè)合力FR。FABC

解：1.求力系的主矢2.選A點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，求力系的主矩

簡(jiǎn)化結(jié)果表明該力系是一平面力偶系。

2）FR≠0Ｍ0=0

主矢FR就是力系的合力FR。

3）FR=0Ｍ0≠0

力系為一平面力偶系。在這種情況下,主矩的大小與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。

4）FR=0Ｍ0=0力系處于平衡狀態(tài)。

FFxyM0二、平面一般力系的平衡方程

1.平衡條件2.平衡方程

為使求解簡(jiǎn)便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點(diǎn)（或交點(diǎn)）上。

平面一般力系平衡的必充條件為FR=0Ｍ0=0。即三、應(yīng)用舉例

例3-2

圖示桿件AB,

在桿件上作用力F,集中力偶M0=Fa,求桿件的約束力。解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖

2.建立坐標(biāo)系列平衡方程aaaFABM0FABM0FBxyFAxFAy

例3-3

圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，試求桿件AB的約束力。

解：1.取AB桿為研究對(duì)象畫(huà)受力圖2.列平衡方程求約束力aaABDFCM0=FaaaFBACM0=FaFAxFCFAy

例3-4圖示管道架設(shè)在三角支架上，已知小管作用于支架的荷載為F；大管為2F。試求A端支座的約束力和CD桿所受的力。

解：1.取AB桿為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。2.列平衡方程求約束力

FD即為CD桿所受的力，F(xiàn)D指向D鉸，說(shuō)明CD桿受壓力。FAx為負(fù)值，表明其實(shí)際指向與受力圖指向相反。

本課節(jié)小結(jié)主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開(kāi)方,作用在簡(jiǎn)化中心上。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。一、平面一般力系的簡(jiǎn)化平面一般力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

1.平衡條件

平面一般力系平衡的必充條件為FR=0Ｍ0=0。二、平面一般力系的平衡方程

2.平衡方程

為使求解簡(jiǎn)便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點(diǎn)（或交點(diǎn)）上。

課后作業(yè)：《建筑力學(xué)練習(xí)冊(cè)》練習(xí)六一、平衡方程的其它形式

◆

課節(jié)3–2固定端約束均布荷載求力矩例3-5

圖示支架由桿AB、BC組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M0=Fa，=30°，試求桿件AB的約束力。aaACFBM0解：1.取AB桿為研究對(duì)象畫(huà)受力圖aaFABCM0FAxFBFAy

2.平衡方程求約束力一矩式二矩式三矩式△圖

(a)所示的鋼筋混凝土柱與基礎(chǔ)現(xiàn)澆在一起；圖

(b)所示鋼筋混凝土立柱雖然與基礎(chǔ)沒(méi)有現(xiàn)澆，但立柱與杯形基礎(chǔ)之間用細(xì)石混凝土緊密填實(shí)的，則柱的下端是不能轉(zhuǎn)動(dòng)的；圖

(c)所示的鋼柱與基礎(chǔ)用底腳螺栓連接。對(duì)圖

(a)、b)、(c)所示的支座都可簡(jiǎn)化成圖

(d)所示的固定端支座。

圖示陽(yáng)臺(tái)，既不允許外伸陽(yáng)臺(tái)相對(duì)固定端的隨意移動(dòng)，又不允許其繞固定端隨意轉(zhuǎn)動(dòng)。這些實(shí)例簡(jiǎn)化的平面力學(xué)模型，稱為平面固定端約束。

平面固定端約束有兩個(gè)約束力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩ＭA。

FAxFAyMA二、平面固定端約束FAxFAyMA三、均布荷載

荷載集度為常量的分布荷載稱為均布荷載。

xABqlO在構(gòu)件一段長(zhǎng)度上作用均布荷載q(N/m),1.均布荷載的合力FQFQl/2

2.均布荷載求力矩：

由合力矩定理可知，均布荷載對(duì)平面上任意點(diǎn)O的力矩等于其合力FQ與分布長(zhǎng)度中點(diǎn)到矩心距離的乘積，即

M0(ql)=ql·(x+l/2)

均布荷載的合力FQ的大小等于均布荷載集度q與其分布長(zhǎng)度l的乘積，即FQ=ql應(yīng)用舉例

例3-6

圖示為懸臂梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知梁長(zhǎng)為2l，作用均布荷載q，作用集中力F=ql和力偶M0=ql2,求固定端的約束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖2.平衡方程求約束力

例3-7

圖示為外伸梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知梁長(zhǎng)為3a，作用均布荷載q，作用力F=qa/2和力偶M0=3qa2/2,求AB梁的約束力。解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖DaqABaaM0CFaaaDABCM0qFFDFAxFAy2.平衡方程求約束力

例3-8

圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在CB上作用均布荷載q，M0=qa2，=45°，試求桿件AB的約束力。

解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖qM0aaABDCqM0aaDCBAFAxFCFAy

2.列平衡方程求約束力

本課節(jié)小結(jié)一、平衡方程的其它形式

平面固定端約束有兩個(gè)約束力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩ＭA。二、平面固定端約束

1.均布荷載的合力FQ

均布荷載的合力FQ的大小等于均布荷載集度q與其分布長(zhǎng)度l的乘積，即FQ=ql三、均布荷載一矩式二矩式三矩式

2.均布荷載求力矩：

均布荷載對(duì)平面上任意點(diǎn)O的力矩等于其合力FQ與分布長(zhǎng)度中點(diǎn)到矩心距離的乘積，即

M0(ql)=ql·(x+l/2)

。

課后作業(yè)：《建筑力學(xué)練習(xí)冊(cè)》練習(xí)七舊課復(fù)習(xí)

◆課節(jié)3–3物體系統(tǒng)的平衡

1.平面匯交力系

2.平面力偶系

3.平面平行力系

4.平面一般力系

平面匯交力系有一組二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出二個(gè)未知數(shù)。

平面力偶系有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出一個(gè)未知數(shù)。

平面平行力系有一組二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出二個(gè)未知數(shù)。

平面一般力系有一組三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出三個(gè)未知數(shù)。

△一、靜定與超靜定問(wèn)題的概念

◆課節(jié)3–3物體系統(tǒng)的平衡1.靜定問(wèn)題

未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于或等于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)可由獨(dú)立平衡方程解出，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。2.超靜定問(wèn)題

未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)不能完全由獨(dú)立平衡方程解出，這類問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題。靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題二、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題1.物系工程結(jié)構(gòu)都是由若干個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定約束聯(lián)接組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為物系。2.外力和內(nèi)力

系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為物系外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力。

3.物系平衡

物系處于平衡，那么物系的各個(gè)構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時(shí)，既可以選整個(gè)物系為研究對(duì)象；也可以選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對(duì)象。

例如求圖示結(jié)構(gòu)中AB、BC桿的約束力。

BCAFFFFBACFBxFByF'BxF'ByFAxFAyFCyFCxBFFACFAxFAyFCyFCx例3-9圖示為一靜定組合梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知l=2m,均布荷載q=15kN/m，力偶M0=20kN·m,

求A、B端約束力和C鉸鏈所受的力。

解：1.分別取AC、CB畫(huà)受力圖lll/2AM0qBCll/2M0qBCFCyFBFCxlACF'CxF'CyFAxFAyMA

2.對(duì)CB

3.對(duì)AC例3-10圖示為一橋梁桁架的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖，已知F、a和=45°。試求1、2、3桿所受的力。

解：1)取桁架整體畫(huà)受力圖列方程得

FA=F/3ＭB(F）=0-FA×6a+F×2a=02)用截面將桁架1、2、3桿截開(kāi)，畫(huà)左半受力圖,列平衡方程得ＭCF）=0F3

·a-FA

·2a=0

F3=2FA=

Fy=0-F2

cos45°+FA=0F2=FA/cos45°=

Fx=0F1+F2

sin45°+F3=0

F1=-（F2

sin45°+F3）負(fù)號(hào)表示桿件受壓。

FAFBFAyF1F3F23-1

圖示為一靜定組合梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖。作用集中力F，集中力偶M0,

畫(huà)AC、CB段的受力圖。

課堂練習(xí)llABCM0F3-2圖示結(jié)構(gòu)由AB、BC、DE桿組成。作用集中力F，畫(huà)AB、BC、DE

桿的受力圖。

aaaaABCDEF

本課節(jié)小結(jié)一、靜定與超靜定問(wèn)題的概念1.靜定問(wèn)題

力系中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于或等于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)，全部未知數(shù)可由獨(dú)立平衡方程解出。二、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題

外力和內(nèi)力系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為物系外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力。

物系平衡

物系處于平衡，那么物系的各個(gè)構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時(shí)，既可以選整個(gè)物系為研究對(duì)象；也可以選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對(duì)象。2.超靜定問(wèn)題

力系中未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)不能完全由獨(dú)立平衡方程解出。

課后作業(yè)：《建筑力學(xué)練習(xí)冊(cè)》練習(xí)八一、滑動(dòng)摩擦的概念

◆課節(jié)3–4考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡

兩物體接觸面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，接觸面間就存在有阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。

1.靜滑動(dòng)摩擦力

靜摩擦力有介于零到臨界最大值之間的取值范圍，即0<Ff≤Ffmax

。FGF1GFNFf

靜摩擦定律

大量實(shí)驗(yàn)表明，臨界摩擦力的大小與物體接觸面間的正壓力成正比。F2GFNF'fFljGFNFfmax滑動(dòng)趨勢(shì)狀態(tài)臨界狀態(tài)相對(duì)滑動(dòng)狀態(tài)

2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦大量實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Ff的大小與接觸面間的正壓力FN成正比，即

為靜摩擦因數(shù)

為靜摩擦因數(shù)

△三、考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題

求解考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題，除列出平衡方程外，還需列出補(bǔ)充方程Ff≤sFN。在臨界狀態(tài)，補(bǔ)充方程Ff=Ffmax=sFN

，故所得結(jié)果也將是平衡范圍的極限值。解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖

例3-11

圖示重G的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端放在水平面上，A端摩擦不計(jì)，B端摩擦因數(shù)為s，試求維持梯子不致滑倒的最小min角。lABGlABGFBFfFA

2.列平衡方程

3.列補(bǔ)充方程

4.聯(lián)立求解解：1.取錨固墩畫(huà)受力圖

例3-12圖示為一鋼拉索吊橋的錨固墩，鋼索錨固墩內(nèi)。已知錨固墩重G=5000kN，錨固墩與地面間的靜摩擦因數(shù)s=0.4，鋼索與水平線間的夾角=20，試求鋼索能承受的最大拉力FT。

2.列平衡方程及補(bǔ)充方程為

4.聯(lián)立求解

Fx=0FTcos

-Ffmax=0

Ffmax=

FTcos

Fy=0FN+FTsin

-G=0

FN=G-FT

sin

Ffmax=sFN

3.列補(bǔ)充方程

FTcos=s（G-

FTsin）

所以，鋼索能承受的最大拉力FT為1859kN。

解：1.分別取鼓輪、制動(dòng)桿AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。

例3-12

圖示為一制動(dòng)裝置的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知作用于鼓輪上的轉(zhuǎn)矩為Ｍ，鼓輪與制動(dòng)片間的靜摩擦因數(shù)為s，輪徑為r，制動(dòng)桿尺寸為a、b、c。試求