平面簡諧波波動方程

平面簡諧波波動方程第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日1.平面簡諧波的波動表式平面簡諧行波，在無吸收的均勻無限介質中沿x

軸的正方向傳播，波速為u

。取任意一條波線為x

軸，取O

作為x軸的原點。O點處質點的振動表式為第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日平面簡諧波的波動表式考察波線上任意點P，P點振動的相位將落后于O點。若振動從O傳到P所需的時間為t，在時刻t，P點處質點的位移就是O點處質點在t–t

時刻的位移，從相位來說，P點將落后于O點，其相位差為

t

。P點處質點在時刻t的位移為：第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日因波線上任一點的質點任一瞬時的位移由上式給出，此即所求的沿x

軸方向前進的平面簡諧波的波動方程。利用關系式

和，得其中平面簡諧波的波動表式第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日波動表式的意義：上式代表x1處質點在其平衡位置附近以角頻率w作簡諧運動。即x

一定。令x=x1，則質點位移y

僅是時間t

的函數(shù)。t一定。令t=t1，則質點位移y

僅是x

的函數(shù)。平面簡諧波的波動表式第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日即以y為縱坐標、x為橫坐標，得到一條余弦曲線，它是t1時刻波線上各個質點偏離各自平衡位置的位移所構成的波形曲線(波形圖)。平面簡諧波的波動表式第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日沿波線方向，任意兩點x1、x2的簡諧運動相位差為：x、t都變化。實線：t1時刻波形；虛線：t2時刻波形Dx=ut波的傳播平面簡諧波的波動表式第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日當t=t1時，當t=t1+Δt時，

在t1和t1+Δt時刻，對應的位移用x(1)

和x(2)表示，則

平面簡諧波的波動表式第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日

令x(2)=x(1)+uΔt，得在Δt時間內,整個波形向波的傳播方向移動了Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u是整個波形向前傳播的速度。波速u有時也稱相速度。平面簡諧波的波動表式第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日沿x

軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式O點簡諧運動方程：y

xoP點的運動方程為：平面簡諧波的波動表式第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日2.波動過程中質點的振動速度和加速度對

求t

的偏導數(shù),得到任何物理量y

，若它與時間、坐標間的關系滿足上式，則這一物理量就按波的形式傳播。速度加速度第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日例題頻率為=12.5kHz的平面余弦縱波沿細長的金屬棒傳播，棒的楊氏模量為Y=1.91011N/m2，棒的密度=7.6103kg/m3。如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質點振動的振幅為A=0.1mm，試求:(1)原點處質點的振動表式，(2)波動表式，(3)離原點10cm處質點的振動表式，(4)離原點20cm和30cm兩點處質點振動的相位差，(5)在原點振動0.0021s時的波形。解棒中的波速波長波動方程的推導第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日周期(1)原點處質點的振動表式y(tǒng)0=Acos

t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103tm

(2)波動表式式中x以m計，t以s計。(3)離原點10cm處質點的振動表式波動方程的推導第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日可見此點的振動相位比原點落后，相位差為

，或落后，即210-5s。(4)該兩點間的距離，相應的相位差為(5)t

=0.0021s時的波形為式中x以m計。波動方程的推導第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日§5-3波的能量能流彈性波傳播到介質中的某處，該處將具有動能和勢能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。1.波的能量考慮棒中的體積V，其質量為m(m=V)。當波動傳播到該體積元時，將具有動能Wk和彈性勢能Wp。平面簡諧波可以證明第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日波的能量體積元的總機械能W對單個諧振子在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接受和放出能量，其值是時間的函數(shù)。與振動情形相比，波動傳播能量，振動系統(tǒng)并不傳播能量。波的能量密度：介質中單位體積的波動能量。通常取能量密度在一個周期內的平均值第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日2.波動能量的推導位于x處的體積元ab

的動能為第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日體積元ab

的振速波動能量的推導體積元ab

的脅變據(jù)楊氏模量定義和胡克定律,該積元所受彈性力為體積元彈性勢能第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日由V=Sx

,，結合波動表達式

最后得：若考慮平面余弦彈性橫波,只要把上述計算中的和

f分別理解為體積元的切變和切力,用切變模量G代替楊氏模量Y，可得到同樣的結果。波動能量的推導第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日3.波的強度能流在介質中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時間內通過S

的能量。平均能流：平均能流密度或波的強度通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I

來表示，即第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日波的強度其中介質的特性阻抗。I的單位：瓦特/米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不變的意義:若，有

。第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日對于球面波，

，，介質不吸收能量時，通過兩個球面的總能流相等球面波表達式：式中a為波在離原點單位距離處振幅的數(shù)值。波的強度第二十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日例題用聚焦超聲波的方式，可以在