地球橢球及數(shù)學投影

第四章地球橢球數(shù)學投影的基本理論1、球面三角形2、球面角超OabcBCA定義計算公式補充：正弦公式（四元素）單位球3、球面三角形公式（單位球）邊的余弦公式（四元素）角的余弦公式（四元素）正余弦公式（五元素）OabcBCA余切公式（四元素）正切公式（四元素）OabcBCA納白爾規(guī)則

環(huán)形上任一元素的正弦等于：

1）相鄰兩元素正切的積；

2）相對兩元素余弦的積。4、解算直角球面三角形的納白爾規(guī)則一、參考橢球適于大地測量計算的基準面應(yīng)滿足以下要求：1.應(yīng)是接近地球自然形體的曲面，這樣可使地面觀測量歸算的改正數(shù)很??；2.應(yīng)是一個便于計算的數(shù)學曲面，從而能保證由觀測量計算坐標的可行性；3.與大地提的位置要固定下來，即能建立起地面點與基準面上點的一一對應(yīng)。幾何參數(shù)長半徑短半徑極曲率半徑扁率

第一偏心率第二偏心率1、地球橢球大地測量中，用以代表地球形狀和大小的旋轉(zhuǎn)橢球。橢球名稱年代a(m)α克拉索夫斯基194063782451∶298.3

IUGG-1975197563781401∶298.257WGS-84199663781371∶298.257223563GRS80198063781371∶298.2572我國采用的地球橢球參數(shù)表

1、地球橢球大地測量中，用以代表地球形狀和大小的旋轉(zhuǎn)橢球?？死鞣蛩够鶛E球a=6387245.00000mb=6356863.01877mc=6399698.90178mα=1∶298.3=0.00335232986926e2=0.00669342162297=0.00673852541468近似估算1、地球橢球大地測量中，用以代表地球形狀和大小的旋轉(zhuǎn)橢球。定義：具有確定的幾何參數(shù)和定位的地球橢球。長半徑短半徑極曲率半徑扁率

第一偏心率第二偏心率地球橢球定位參考橢球2、參考橢球地球形狀自然表面大地水準面參考橢球面正常橢球面大小地軸地心大小參考橢球定位

作用1）一定的參考橢球確定了一定的大地坐標系；2）它是地面點水平坐標（大地經(jīng)緯度）的參考面，高程（大地高）的基準面；3）它是描述大地水準面形狀的參考面；4）它是地圖投影的參考面；5）參考橢球面及其法線分別是大地測量計算的基本面和基本線。2、參考橢球北極N、南極S子午面、子午圈（線）赤道面、赤道平行圈（線、緯圈）大地緯度B參數(shù)之間的關(guān)系2、參考橢球參數(shù)之間的關(guān)系長半徑短半徑極曲率半徑扁率

第一偏心率第二偏心率幾何參數(shù)第一輔助函數(shù)W第二輔助函數(shù)W2、參考橢球大值=小值小值=大值規(guī)律參數(shù)之間的關(guān)系2、參考橢球二、大地坐標系與大地空間直角坐標系（一）定義1、大地坐標系赤道面起始大地子午面：NGS橢球面法線基本面、線參考橢球參考橢球測站法線：PKP測站大地子午面：NP0S大地坐標（B，L，H）1、大地坐標系地面點大地經(jīng)度：L，0o~360o或0o~±180o地面點大地維度：B，0o~±90o地面點大地高：H，可正可負。大地坐標（B，L，H）參考橢球1、大地坐標系說明：P0與P0'的B、L對于任意地面點而言相差甚微；H與H+N或H+?也相差甚微。故現(xiàn)在常用赫爾默特投影。兩種表示地面點大地坐標的方法大地水準面參考橢球面法線鉛垂線畢茲特投影赫爾默特投影1、大地坐標系原點：橢球中心OZ軸：與橢球短軸重合，指向北極方向X軸：指向起始大地子午面與橢球赤道的交點方向Y軸：構(gòu)成右手坐標系原點及軸向2、大地空間直角坐標系參考橢球地面點X坐標：

大地空間直角坐標（X，Y，Z）地面點Y坐標：地面點Z坐標：參考橢球2、大地空間直角坐標系

一個參考橢球（大小+定位）可以確定一套大地坐標系和一套大地空間直角坐標系，這些坐標系之間必有一定的關(guān)系，坐標系的關(guān)系也即同一點的兩套坐標之間的關(guān)系。參考橢球3、幾點補充說明參考橢球大地測量學中，所說的地面點的大地坐標和大地空間直角坐標都隱含著一個參考橢球，沒有參考橢球也就沒有這些坐標。3、幾點補充說明參考橢球?qū)嵱弥?，?jīng)常說的某個點的某一坐標系下的坐標，也意味著有一個參考橢球，坐標是相對該參考橢球的。因此，大地測量學中，坐標系與參考橢球是等價的。3、幾點補充說明3、幾點補充說明參考橢球地面點沿法線在參考橢球面上都有一個投影點，這兩點的B、L相同，如果知道了投影點的B、L，也就知道了地面點的水平坐標，這是今后在橢球面上推算地面點B、L的思想。參考橢球相對參考橢球的坐標系也稱為參心坐標系、相對坐標系，相對總地球橢球的坐標系也稱為地心坐標系、絕對坐標系。3、幾點補充說明（二）法線長公式1、橢球面上點的法線長公式參考橢球1、橢球面上點的法線長公式大地子午面（二）法線長公式1、橢球面上點的法線長公式大地子午面（二）法線長公式（二）法線長公式1、橢球面上點的法線長公式大地子午面（二）法線長公式2、地面點的法線長公式參考橢球（三）大地坐標與大地空間直角坐標的轉(zhuǎn)換1、（B，L，H）→（X，Y，Z）參考橢球2、（X，Y，Z）→（B，L，H）參考橢球（三）大地坐標與大地空間直角坐標的轉(zhuǎn)換2、（X，Y，Z）→（B，L，H）迭代求解法，初始值：收斂條件為：迭代收斂解為：參考橢球說明：1）ε為一小正數(shù)，如ε=5×10-10；2）J為迭代收斂時的迭代次數(shù)。（三）大地坐標與大地空間直角坐標的轉(zhuǎn)換2、（X，Y，Z）→（B，L，H）參考橢球1、（B，L，H）→（X，Y，Z）（三）大地坐標與大地空間直角坐標的轉(zhuǎn)換三、法截線與大地線（一）、任意方向法截線曲率半徑1、有關(guān)定義法截面：包含橢球面某點法線的平面。法截線：法截面與參考橢球面的交線。斜截面：不包含橢球面某點法線的平面。斜截線：斜截面與參考橢球面的交線。大地方位角：過橢球面曲線上一點的子午線與該曲線的夾角，從子午線北方向起，瞬時針量取，0度~360度?？衫斫鉃榍芯€的夾角。子午圈：A=0度或180度卯酉圈：A=90度或270度（一）、任意方向法截線曲率半徑1、有關(guān)定義三、法截線與大地線P2POP1BK視鉛垂線和法線一致，或者經(jīng)過改正使它們一致，則照準面即于法截面一致，水平觀測方向即對應(yīng)于法截線方向。（一）、任意方向法截線曲率半徑三、法截線與大地線2、法截線的作用橢球面法截線是一平面曲線法截線方程：聯(lián)立橢球面方程與法截面方程即可求得橢球面方程如一坐標面與法截面重合，法截面方程將十分的簡單難點：法截面方程比較復(fù)雜YZXP2POP1BKxyz如一坐標面與法截面重合，法截面方程將十分的簡單（一）、任意方向法截線曲率半徑3、基本思路新坐標系的定義：坐標原點：與P點重合；z軸：與P點法線PK重合；x軸：為法截線P1PP2在P

點處的切線方向；y軸：與P點的法截面垂直使坐標系P-xyz成右手系。P-xyz中法截面方程YZXP2POP1BKxyz3、基本思路如一坐標面與法截面重合，法截面方程將十分簡單。1）求P-xyz中的橢球面方程2）求任意方向法截線方程3）求任意方向法截線曲率半徑ZXP2POP1BKxyz3、基本思路1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換ZXYOBKP點在O-XYZ中的坐標Q4、公式推導(dǎo)過旋轉(zhuǎn)橢球面平行圈上任一點，同方向法截線的形狀都一樣，即法截線的曲率與大地經(jīng)度無關(guān)。YZXO方位角都為α的兩條法截線PP1和P'P2在同一平行圈上的兩點P和P′處的曲率相等。1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換ZXYOBKP點在O-XYZ中的坐標Q4、公式推導(dǎo)移軸：將原點O移至P點得坐標系P-X'Y'Z'ZXYOBKPQ1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換4、公式推導(dǎo)轉(zhuǎn)軸：使兩坐標系各軸重合（兩次轉(zhuǎn)軸)。KOPBO第一次轉(zhuǎn)軸第一次轉(zhuǎn)軸：

P-X'Y'Z'繞Y'順時針旋轉(zhuǎn)(90°+B)，使Z'軸與P點的橢球面法線重合，得坐標系P-X''Y''Z''。B1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換4、公式推導(dǎo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：KOPBO第一次轉(zhuǎn)軸1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換4、公式推導(dǎo)第二次轉(zhuǎn)軸：

P-X''Y''Z''繞Z''軸，順時針旋轉(zhuǎn)角A（A為P點處法截線方位角），得坐標系P-xyz：O第二次轉(zhuǎn)軸KPBOA1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換4、公式推導(dǎo)綜合一次移軸和兩次轉(zhuǎn)軸得兩坐標系的關(guān)系：1）坐標系P-xyz與O－XYZ的轉(zhuǎn)換4、公式推導(dǎo)在O－XYZ中橢球面方程為：兩邊同乘以a2，并顧及a2=N2W2=N2(1－e2sin2B)，得到O-XYZ中橢球面方程的另一表達式：代入轉(zhuǎn)換關(guān)系可得P－xyz中橢球面的方程為：2）在P-xyz中的橢球面方程式4、公式推導(dǎo)將法截面方程y=0代入橢球面方程可得法截線方程為：3）任意方向法截線方程4、公式推導(dǎo)平面曲線z=f(x)上某點P處的曲率半徑為：Pzx4）任意方向法截線曲率半徑4、公式推導(dǎo)法截線方程4）任意方向法截線曲率半徑4、公式推導(dǎo)（二）、子午圈、卯酉圈曲率半徑與平均曲率半徑兩個特殊方向的曲率半徑：卯酉圈A子午圈K任意方向法截線B任意方向法截線曲率半徑RA子午圈曲率半徑M卯酉圈曲率半徑NP任意方向法截線曲率半徑卯酉圈曲率半徑子午圈曲率半徑（二）、子午圈、卯酉圈曲率半徑與平均曲率半徑1）卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑恰好等于法線在橢球面和短軸之間的長度KPBA（二）、子午圈、卯酉圈曲率半徑與平均曲率半徑在極點處卯酉圈變?yōu)樽游缛?，N為極曲率半徑cN隨緯度的升高而增大，其值介于a和c之間逐漸減小在赤道上，卯酉圈是赤道，此時N為赤道半徑說明NW、VBN的變化規(guī)律（N是B的增函數(shù)）（二）、子午圈、卯酉圈曲率半徑與平均曲率半徑1）卯酉圈曲率半徑（二）、子午圈、卯酉圈曲率半徑與平均曲率半徑2）子午圈曲率半徑：KPBA在極點處，M為極曲率半徑cM隨緯度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之間逐漸減小在赤道上，M小于赤道半徑a說明MW、VBM的變化規(guī)律（M是B的增函數(shù)）（二）、子午圈、卯酉圈曲率半徑與平均曲率半徑2）子午圈曲率半徑：歐拉（L.Euler）定理：描述曲面上任意一點在任意方位角A的法截線曲率半徑與主曲率半徑的關(guān)系的定理3）歐拉定理——M、N與RA的關(guān)系3）M、N與RA的關(guān)系子午圈卯酉圈1432當A=0o（或A=180o）時，RA=M，最小值；當A=90o（或A=270o）時，RA=N，最大值當A由0o趨于90o時，RA逐漸增大由M趨于N變化當A由90o趨于180o時，RA逐漸減小由N趨于M變化

RA隨A的變化以180o為周期的，對稱于M、N變化

M和N是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，在微分幾何中稱為主曲率半徑。意義：用球面代替橢球面計算的需要。方法：用積分的方法。定義：橢球面上一點所有方向法截線曲率半徑的算術(shù)平均值。4）平均曲率半徑：根據(jù)積分中值定理：由于RA隨A變化的對稱性，可僅在第一象限積分4）平均曲率半徑：5）三種曲率半徑的比較NRM關(guān)系：（三）、子午線弧長與平行圈弧長1）子午線弧長公式赤道橢圓積分1）子午線弧長公式1）子午線弧長公式由赤道起算的子午線弧長公式赤道怎么由X求B？sin8B一項不超過0.3mm1）子午線弧長公式按1800年德蘭勃橢球(a=6375653m，α＝1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m，－米的最初定義。當X<45km，計算精確到0.0001m時，可將子午線視為圓弧，圓弧的半徑取為該弧的平均緯度Bm處的子午線曲率半徑Mm。子午圈周長赤道平行圈弧素公式平行圈弧長2）平行圈弧長公式平行圈弧素公式子午線弧素公式3）單位子午線、平行圈弧長變化情況單位緯差的子午線弧長：南短北長，隨緯度的升高而緩慢的增長

單位經(jīng)差的平行圈弧長：南長北短，隨緯度的升高而急劇的縮短B子午線弧長平行圈弧長△B＝1o1′1″l＝1o1′1″0o1105761842.9430.7161113211855.3630.923151106561844.2630.7381075521792.5429.876301108631847.2630.795

964881608.1326.802451111431852.3930.873

788481341.1421.902601114231857.0430.951

55801930.0215.500751116251860.4231.007

28902481.71

8.028901116961861.6031.027

0

0.00

0.0003）單位子午線、平行圈弧長隨緯度變化情況如果視地球為球體，則球面上弧長和它所對應(yīng)的弧心角有以下關(guān)系:弧長111km1.852km1km31m1m1cm弧心角1o1′33″1″0″.030″.00031海里要求熟記3）單位子午線、平行圈弧長隨緯度變化情況（四）、梯形圖幅面積無論測繪地圖還是編制地圖，都要知道這幅地圖的位置及其范圍大小。通常是沿經(jīng)線和緯線，按照一定的經(jīng)差和緯差，將橢球表面劃分成一系列的圖幅，因每個圖幅呈現(xiàn)為梯形，故稱為梯形圖幅。地形圖分幅示意圖（四）、梯形圖幅面積橢球面積元圖幅ABCD的橢球面積令l=360°，B1

＝0°，B2＝90°，并乘以2，則可得橢球總面積公式：利用克拉索夫斯基橢球參數(shù)則可計算得到地球的總面積為510083060km2，即地球面積約為5.1億km2，等價的地球半徑等于6371116m。（五）、相對法截線①相對法截線的形成

什么時候重合？當A、B兩點在同一子午圈（經(jīng)度相等）或同一平行圈（緯度相等）上時相對法截線重合。OK是緯度B的增函數(shù)正法截線：包含A點的法線與照準點B的法截面與橢球面的交線稱為A點的正法截線。反法截線：包含照準點B的法線與A點的法截面與橢球面的交線稱為A點的反法截線。①相對法截線的形成

②相對法截線的位置

規(guī)律：緯度高的點對緯度低的點法截線偏上；緯度低的點對緯度高的法截線偏下②相對法截線的位置

LC>LB>LA,BB>BC>BA.

影響：相對法截線造成了幾何圖形的破裂。（六）、大地線主法線：法平面與密切面的交線。密切面：過曲線上三點M，N，P作一平面，當N,P->M時，平面的極限位置。切線：過曲線上兩點N，M的直線NM，當N->M時，直線NM的極限位置。法平面：與切線垂直的平面。①大地線的定義－關(guān)于空間曲線幾個概念

切線主法線密切面法平面副法線定義2：大地線是一曲面曲線，在該曲線上各點的相鄰兩弧素，位于該點的同一法截面中

，或者說大地線上每點的密切面都包含該點的曲面法線。定義1：大地線是一曲面曲線，在該曲線上任一點的曲線主法線與該點的曲面法線重合。①大地線的定義

①大地線的定義

②大地線的性質(zhì)

平面上兩點的最短線：直線

球面上兩點的最短線：大圓弧

橢球面上兩點的最短線：大地線性質(zhì)1：大地線是橢球面上兩點間的最短線。②大地線的性質(zhì)

性質(zhì)2：大地線是無數(shù)法截線弧素的連線。橢球面上的法截線中只有子午圈和赤道是大地線。大地線通過沿線各點的所有法截面。②大地線的性質(zhì)

性質(zhì)3：橢球面上的大地線是雙重彎曲的空間曲線?？v向彎曲（曲率）：橢球面的彎曲產(chǎn)生。橫向彎曲（撓率）：法線不相交，法截面不重合產(chǎn)生。在一非常光滑的橢球面上，兩點間繃一橡皮筋，那么這條繃緊的橡皮筋，就是兩點間的大地線。②大地線的性質(zhì)

通常情況下，大地線靠近正法截線它分相對法截線的夾角約為二比一，即u:v=2:1。在子午圈和赤道上，大地線和相對法截線重合。在平行圈上相對法截線雖然合而為一，但大地線、法截線和平行圈三者都不重合。在北半球，大地線在上，法截線居中，平行圈在下。性質(zhì)4：大地線位于相對法截線之間。③大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式適用于橢球面上的任意曲線③大地線微分方程大地線專有微分方程③大地線微分方程作用：橢球面上大地坐標計算的基礎(chǔ)。④

大地線克萊勞方程說明：1）橢球面上，大地線上各點的平行圈半徑與該點大地線方位角的正弦之積為一常數(shù)。2）它是長距離大地問題解算的基礎(chǔ)。④

大地線克萊勞方程四、地面元素歸算至橢球面地面觀測元素角度距離方向1、歸算的意義和要求①歸算的意義？①歸算的意義通過歸算，為在橢球面上的計算提供觀測數(shù)據(jù)。垂線偏差u以橢球面法線為基準線垂線偏差u地面點沿法線投影到橢球面橢球面兩點連線用大地線

②歸算的要求③歸算的方法歸算方法：對地面觀測元素加入適當改正數(shù)，使之轉(zhuǎn)化為橢球面上相應(yīng)的元素精度要求：不損害野外觀測的精度④歸算的內(nèi)容水平觀測方向觀測天頂距歸算地面長度歸算天文方位角歸算2、水平觀測方向歸算到橢球面三差改正：水平方向歸算到橢球面上，需進行垂線偏差改正、標高差改正和截面差改正，通常把這三項改正簡稱為三差改正。①垂線偏差改正（δ1）定義：地面上以鉛垂線為準觀測的水平方向值，歸算為以橢球面法線為準的水平方向值時，顧及測站點垂線偏差的影響所加的改正。2、水平觀測方向歸算到橢球面法線垂線照準線度盤零線①垂線偏差改正（δ1）①垂線偏差改正（δ1）垂線偏差改正，不僅與測站的垂線偏差有關(guān)，而且與觀測方向的方位角和垂直角有關(guān)。①垂線偏差改正（δ1）討論：垂線偏差為0的情況？1）鉛垂線與法線重合，2）照準點位于面內(nèi)，3）照準點位于測站水平面，②標高差改正

（δ2）原因：由于A、B兩點的法線不在同一平面所產(chǎn)生的。

照準點標石中心正常高

照準點的高程異常

照準點的覘標高②標高差改正

（δ2）

標高差（δ2）為零：1）、H2=0照準點在橢球面上2）、A1=0°、90°、180°、270°，照準點在測站點的子午圈或平行圈上3）、B2=±90°

照準點在極點上【原因】由于相對法截線不重合而采用大地線代替產(chǎn)生的【定義】法截線方向化為大地線方向所加的改正，稱為截面差改正，以δ3表示③截面差改正

（δ3）

③截面差改正

（δ3）

δ3為0的情況：A1=0o，90o，180o，270o，照準點與測站點在同一子午圈或接近于同一平行圈。④三差改正的計算現(xiàn)行作業(yè)規(guī)定，各等三角測量歸算時，一等算至0.001″，二等算至0.01″，三四等算至0.1″。

三差改正歸算意義主要關(guān)系量通常數(shù)值一等二等三、四等δ1化為法線為準的觀測方向值ξ、η0.05"~0.1"加加酌情δ2化為橢球面上的法截線方向值H20.01"~0.7"δ3化為橢球面上的大地線方向值S0.001"~0.007"不加3、地面觀測長度歸算至橢球面用測距儀測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距，將其歸算到橢球面上兩點的大地線長，稱為斜距歸算。

作兩點近似：1）認為KaKb重合（相對法截線重合）；2）視大地線S為大圓弧。在此基礎(chǔ)上，進一步顧及以上兩項近似產(chǎn)生的誤差項，可推導(dǎo)長距離的斜距歸算公式。

短距離（小于30km）斜距歸算公式推導(dǎo)3、地面觀測長度歸算至橢球面精密斜距歸算公式短距離（小于30km）斜距歸算公式推導(dǎo)3、地面觀測長度歸算至橢球面五、大地測量主題解算地面觀測元素天文方位角距離方向高斯平面上的元素坐標方位角距離方向大地坐標（L，B）平面坐標（x，y）歸算歸算概算概算橢球面上的元素大地方位角距離方向控制網(wǎng)點坐標平差平差地面點水平坐標的確定五、大地測量主題解算橢球面上點P(S,A)

極軸：過極點P1的子午線P1N極點：橢球面上某已知點極角：大地線在極點的大地方位角極徑：P1P的大地線長SNP1PSA1.大地極坐標系2.基本概念①來歷

1）從一已知點測得一未知點的平距d12和方位角T12，P1(x1,y1)P2(x2,y2)T12T21yxd12求未知點的坐標及方位角。P1(x1,y1)P2(x2,y2)T12T21yxd122）已知兩點的高斯平面直角坐標P1(x1y1),P2(x2y2),

求兩點間的平距d12，正反方位角T12，T212.基本概念①來歷

②定義在橢球面上推算點的大地坐標，或者根據(jù)兩點的大地坐標計算大地線長和大地方位角，這樣的計算問題就叫做大地問題解算。2.基本概念已知P1點的大地坐標（L1，B1），P1至P2點的大地線長S和大地方位角A1，②定義大地問題正解NP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2L2，B2，A2L1，B1，S，A1要求算出P2點的大地坐標（L2，B2）及大地線在P2點處的反方位角A2。②定義大地問題反解已知P1點和P2點的大地坐標（L1，B1），（L2，B2）L1，B1，L2,B2S,A1,A2P1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2N計算兩點間的大地線長S及正反大地方位角A1，A2是橢球面上極三角形的解算NP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A22)大地坐標與大地極坐標的相互化算L2，B2，A2L1，B1，S，A1L1，B1，L2，B2S，A1，A2③實質(zhì)④基本方法冪級數(shù)形式投影形式以大地線的三個微分方程為理論基礎(chǔ)。冪級數(shù)形式

冪級數(shù)形式：利用橢球面上大地線及其三個微分方程為基礎(chǔ)，將大地線兩端點的大地經(jīng)差（l）、大地緯差（b）和大地方位角差（a）展開為大地線長度S的升冪級數(shù)式。這類公式的特點在于：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，收斂越慢，甚至不收斂而不能解。因此，這類方法適用于短距離。代表公式：勒讓德級數(shù)、高斯平均引數(shù)公式。投影形式

投影形式：利用球面作輔助面，將橢球面上的元素轉(zhuǎn)換到球面上，在球面上進行解算，而后再把解算的結(jié)果轉(zhuǎn)換回橢球面上。由于橢球面和球面之間只相差一個很小的扁率，所以橢球面和球面相應(yīng)諸元素中一些轉(zhuǎn)換關(guān)系式僅包含微小量e2或e/2的升冪級數(shù)式。特點：這類公式不受距離限制，適用于任意距離的大地問題解算。代表公式：白塞耳公式。⑤精度要求大地測量中，大地問題解算精度的要求一般應(yīng)遵循下述原則：保證由公式引起的計算誤差，不再影響野外測量和平差結(jié)果的實際精度。如一等三角測量中，大地經(jīng)、緯度應(yīng)計算至0.0001"，大地方位角應(yīng)計算至0.001"。至于其它方面的需要，其計算精度要根據(jù)其用途和實際情況來決定。例如，對于導(dǎo)航應(yīng)用來說，大地經(jīng)、緯度和大地方位角只要計算到0.1",解算距離精度至10m即可。3.白塞爾大地主題解算方法

1825年，白塞爾（Bessel）提出一種長距離的大地問題解算公式，不受邊長（距離）的限制，是長距離大地問題解算中具有代表性的一種公式，當然也適用于短距離解算。

yP’’NSOPP’KBux歸化緯度大地緯度與歸化緯度之間的關(guān)系yP’’NSOPP’KBux建立起以橢球中心為球心，以任意長為半徑的輔助球，按以下三個步驟解算：a、按一定條件將橢球面元素投影到球面上；b、在球面上解算大地問題；c、將求得的球面元素按投影關(guān)系換算為相應(yīng)的橢球面元素。①

解算步驟②

投影條件a球面上點的球面緯度等于橢球面上對應(yīng)點的歸化緯度b橢球面上兩點間的大地線投影到輔助球面上為大圓弧c大地方位角A1投影后保持不變。

證明:證明：方位角投影后保持不變平行圈弧素：子午線弧素：橢球單位球橢球單位球③

白塞爾微分方程③

白塞爾微分方程③

白塞爾微分方程④

白塞爾大地問題正解NP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2L2，B2，A2L1，B1，S，A1?

解算步驟1） 將橢球面元素投影到球面上由B1求u1計算輔助量m和M注意奇異點④

白塞爾大地問題正解1） 將橢球面元素投影到球面上將S化為σ其中σ的單位為度。提問：以下收斂條件對應(yīng)的精度是多少？米級近似解時，取至k4項，百米級近似解時可舍棄γ項。2）在球面上解算求A2求u2求λ3）將球面元素換算到橢球面上由u2求B2求L2?

象限判斷A1mMλ1λ2A2IIII與（M+σ）同象限

tanA2為正在III象限

tanA2為負在IV象限IIIIIIIIIIIVIIIII與360°－（M+σ）同象限tanA2為正在Ⅰ象限

tanA2為負在Ⅱ象限IVIVIIVP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2NL1，B1，L2,B2S,A1,A2⑤

白塞爾大地問題反解⑤

白塞爾大地問題反解?

解算步驟1） 將橢球面元素投影到球面上由B求ub.

由l求λ2）解算球面三角形求σ求A1、A23）將球面元素換算至橢球面上?

象限判斷?

解算步驟六、地圖投影概述1、投影的意義1）大地經(jīng)緯度僅適用于角度測量，不適用與距離和面積等測量；2）大地坐標不能直接用來控制平面測圖；3）在橢球面上計算比較復(fù)雜。在大地測量中，所謂地圖投影，就是將橢球面上的元素，按照一定的數(shù)學規(guī)則歸算到平面上。橢球面元素包括點的大地坐標、大地線的方向和長度以及大地方位角等，其中點的坐標是關(guān)鍵。因為點的位置確定后，兩點間大地線的方位和距離自然就確定了。

六、地圖投影概述2、投影的定義六、地圖投影概述3、投影方程描述了橢球面與平面之間點與點的一一對應(yīng)關(guān)系

F1和F2稱為投影函數(shù)，它們是由“一定的數(shù)學規(guī)則”所決定的。不同的投影方法對應(yīng)的F1

、F2不同，因此，又可說它們是由一定的投影條件確定的。如果F1和F2的形式已經(jīng)確定，即可由大地坐標求得平面直角坐標。

橢球面是不可展曲面，不能展成平面。如果取一可展曲面（如平面、圓錐面、圓柱面），使其與橢球面相切或相割，然后按一定的數(shù)學規(guī)則，將橢球面上的元素轉(zhuǎn)換到可展曲面上，并將可展曲面展平，就變成平面上的元素了。這樣就將本來是不可展平的橢球面，人為地轉(zhuǎn)變成平面。

六、地圖投影概述4、投影變形

將本來是不可展平的橢球面，人為地轉(zhuǎn)變成平面。由此得到的平面元素必然要產(chǎn)生投影變形。投影變形包括長度變形、角度變形和面積變形。

長度變形方向或角度變形面積變形變形在所難免！1)長度比

4、投影變形2）主方向

過橢球面上某點，通常有兩條互相正交的曲線，它們在平面上的投影曲線也是互相正交的，這樣兩條曲線所在地方向叫主方向。因為長度比在主方向上有極值存在，所以也可說，長度比極值所在的方向稱為主方向。

O'OKIK1I1K'I1'K1'I'4、投影變形3）變形橢圓在一定點上，長度比一般隨方向而變化的。如果以定點為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個主方向為軸，以兩個長度比極值為長短半徑的橢圓，這個橢圓稱為變形橢圓。

OAPBO'A'P'B'xy

橢球面ξη投影平面4、投影變形4）投影變形的種類4、投影變形定義：長度比m與1之差，用r表示，即量級：m值可能大于、小于、等于1，因此r值可能為正、為負或為零。

a)長度變形4）投影變形的種類4、投影變形b)方向變形定義：設(shè)橢球面上一個角度u，投影到平面上為u'，則（u-u'）稱為角度變形。4）投影變形的種類4、投影變形c)角度變形面積比P：橢球面上一無限小的圖形，投影到平面上的面積與原橢球面圖形面積之比的極限。面積變形：4）投影變形的種類4、投影變形d)面積變形六、地圖投影概述5、投影分類等角投影（正形投影）投影前后，角度不發(fā)生變形投影前后，方向不發(fā)生變形橢球面某點的長度比為一常數(shù)，不隨方向而變按投影面：平面投影、圓錐投影、圓柱投影等按變形性質(zhì)：等角、等面積、任意投影等按創(chuàng)始人的姓名：如墨卡托、高斯投影等等角投影（正形投影）等積投影

任意投影

六、地圖投影概述5、投影分類按投影面：平面投影、圓錐投影、圓柱投影等按變形性質(zhì)：等角、等面積、任意投影等按創(chuàng)始人的姓名：如墨卡托、高斯投影等等角投影（正形投影）等積投影

任意投影

用途：行政區(qū)劃圖，經(jīng)濟圖……用途：基本地形圖，航海圖，航空圖……用途：要求不太嚴格的地圖，普通地圖，交通圖……5、投影分類6、橢球面到平面的正形投影在微小范圍內(nèi)投影的長度比m

與方向無關(guān)，但隨點位而改變。在微小區(qū)域內(nèi)，橢球面圖形投影后保持形狀不變，也就是說，投影到平面上的微小圖形與橢球面上的微小圖形相似。1）、定義

2）、特點

?正形投影1、等量坐標大地坐標等量坐標?正形投影條件2、公式推導(dǎo)(柯西-黎曼微分方程)

?正形投影條件2、公式推導(dǎo)(柯西-黎曼微分方程)

投影方程(柯西-黎曼微分方程)2、公式推導(dǎo)(柯西-黎曼微分方程)

3、柯西-黎曼微分方程的說明柯西-黎曼方程是正形投影的充要條件

正形投影的長度比公式

平面到橢球面的柯西-黎曼方程為七、高斯平面直角坐標系1、高斯-克呂格投影概念

高斯－克呂格投影又稱等角橫切橢圓柱投影。是德國數(shù)學家、物理學家、大地測量學家高斯于十九世紀二十年代提出的，后經(jīng)德國大地測量學家克呂格于1912年對投影公式加以補充和完善。通常簡稱高斯投影。

1、高斯-克呂格投影概念高斯投影三條件正形條件中央子午線投影為一直線中央子午線投影后長度不變1、高斯-克呂格投影概念2、高斯投影的分帶

1）、為什么要分帶為了有效地控制長度變形。

2）、如何分帶將橢球面沿子午線劃分成若干個經(jīng)差相等的狹窄地帶各帶，分別投影。3）、分帶的方法六度帶、三度帶

3、分帶的方法六度帶：自零子午線起向東劃分，每隔6o為一帶三度帶：在六度帶基礎(chǔ)上，其奇數(shù)帶中央子午線與六度帶中央子午線一致；偶數(shù)帶與六度帶中央分帶子午線重合。3、分帶的方法已知帶號計算6°帶中央子午線經(jīng)度

已知6°帶中央子午線的經(jīng)度反算帶號

計算任意經(jīng)度所在投影帶的帶號公式

已知帶號計算3°帶中央子午線經(jīng)度

已知3°帶中央子午線的經(jīng)度反算帶號

計算任意經(jīng)度所在投影帶的帶號公式

3、分帶的方法4、投影帶的重疊原因便于跨帶三角鎖網(wǎng)平差利于圖幅拼接

解決辦法

西帶向東帶重迭30′東帶向西帶重迭15′5、高斯平面直角坐標系

x軸：中央子午線的投影y軸：赤道的投影原點：中央子午線與赤道的交點自然坐標（x，y）自然坐標（x，y）通用坐標（X，Y）500km通用坐標與自然坐標的關(guān)系算例：6度帶19帶的點5、高斯平面直角坐標系

自然坐標（x，y）通用坐標（X，Y）500km通用坐標與自然坐標的關(guān)系算例：6度帶19帶的點5、高斯平面直角坐標系

地面觀測元素天文方位角距離方向高斯平面上的元素坐標方位角距離方向大地坐標（L，B）平面坐標（x，y）歸算歸算概算概算橢球面上的元素大地方位角距離方向控制網(wǎng)點坐標平差平差地面點水平坐標的確定6、高斯平面坐標系與大地坐標系?高斯投影正算高斯投影正算，就是橢球面元素到平面元素的投影計算，即已知橢球面大地坐標（L,B）計算高斯平面直角坐標（x，y）。?高斯投影正算①公式推導(dǎo)展開條件：經(jīng)差l不大，在0～3.5°（0.061rad）以內(nèi)，展開后的形式（

l的冪級數(shù)

）：級數(shù)展開①公式推導(dǎo)b)求待定系數(shù)對級數(shù)展開式求偏導(dǎo)數(shù)對x對y①公式推導(dǎo)A.

正形條件b)求待定系數(shù)引入高斯投影的三個條件①公式推導(dǎo)b)求待定系數(shù)引入高斯投影的三個條件①公式推導(dǎo)B.

中央子午線投影后為縱坐標軸即l=0時y=0。代入投影方程：得投影方程簡化為：高斯投影在中央子午線東西兩側(cè)的投影是對稱于中央子午線的。b)求待定系數(shù)引入高斯投影的三個條件①公式推導(dǎo)B.

中央子午線投影后為縱坐標軸C.

中央子午線投影后長度不變——投影后的縱坐標x等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長X。即l=0時x=X。代入投影方程：得b)求待定系數(shù)引入高斯投影