概率論與數(shù)理統(tǒng)計11

概率論與數(shù)理統(tǒng)計主講：李健，工北408-1地點：講堂四時間：雙周二89，周四89成績評定規(guī)則：平時作業(yè)10%

課堂表現(xiàn)，研討10%

期中考試20%

期末考試60%考核方式概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科,理論嚴(yán)謹(jǐn),應(yīng)用廣泛,發(fā)展迅速.目前,不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了這門課程,而且從上世紀(jì)末開始，這門課程特意被國家教委定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一，希望大家能認(rèn)真學(xué)好這門重要課程.1、重要的專業(yè)基礎(chǔ)課：跟通信、信號處理，自動控制和數(shù)據(jù)處理有關(guān)的課程都要用到概率論。2、考研的重要內(nèi)容：考研的數(shù)學(xué)試卷150分，其中概率論與數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容約40分。3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量問題，要用數(shù)理統(tǒng)計的方法去處理。學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的意義國內(nèi)有關(guān)經(jīng)典著作1.《概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用》

王梓坤著科學(xué)出版社1976年版2.《數(shù)理統(tǒng)計引論》陳希儒著科學(xué)出版社1981年版國外有關(guān)經(jīng)典著作1.《概率論的分析理論》P.-S.拉普拉斯著

1812年版2.《統(tǒng)計學(xué)數(shù)學(xué)方法》H.克拉默著1946年版概率論的最早著作數(shù)理統(tǒng)計最早著作概率統(tǒng)計專業(yè)首位中科院院士本學(xué)科的概述

概率(或然率或幾率)——隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度——其起源與博弈問題有關(guān).16世紀(jì)意大利學(xué)者開始研究擲骰子等賭博中的一些問題；17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家B.帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C.惠更斯基于排列組合的方法，研究了較復(fù)雜的賭博問題，解決了“合理分配賭注問題”(即得分問題).概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率論；使概率論成為數(shù)學(xué)的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家JocobBernoulli；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)等學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.統(tǒng)計方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是概率論的一種應(yīng)用.但是它們是兩個并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系.本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中.例如1.氣象、水文、地震預(yù)報、人口控制及預(yù)測都與《概率論》緊密相關(guān)；2.產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均要用到《假設(shè)檢驗》；4.電子系統(tǒng)的設(shè)計,火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性估計》;

3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進行《實驗設(shè)計》和《數(shù)據(jù)處理》；5.處理通信問題,需要研究《信息論》；6.探討太陽黑子的變化規(guī)律時,《時間序列分析》方法非常有用;7.研究化學(xué)反應(yīng)的時變率，要以《馬爾可夫過程》來描述;8.生物學(xué)中研究群體的增長問題時，提出了生滅型《隨機模型》，傳染病流行問題要用到多變量非線性《生滅過程》；9.許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、購物排隊、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識就是《排隊論》.目前,概率統(tǒng)計理論進入其他自然科學(xué)領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會科學(xué)領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用《概率統(tǒng)計方法》.法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說對了:“生活中最重要的問題,其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對概率的某種估計,那么我們就寸步難行,無所作為.安德雷·柯爾莫哥洛夫（1903－1987）現(xiàn)代概率論創(chuàng)始人——

1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德等國的外籍院士及皇家學(xué)會會員.為20世紀(jì)最有影響的俄國數(shù)學(xué)家.俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫為開創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一系列重要分支作出重大貢獻.他建立了在測度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng),奠定了近代概率論的基礎(chǔ).他又是隨機過程論的奠基人之一,其主要工作包括:20年代關(guān)于強大數(shù)定律、重對數(shù)律的基本工作;1933年在《概率論的基本概念》一文中提出的概率論公理體系(希爾伯特第6問題)30年代建立的馬爾可夫過程的兩個基本方程;用希爾伯特空間的幾何理論建立弱平穩(wěn)序列的線性理論;40年代完成獨立和的弱極限理論,經(jīng)驗分布的柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計量等;在動力系統(tǒng)中開創(chuàng)了關(guān)于哈密頓系統(tǒng)的微擾理論與遍歷理論K系統(tǒng);50年代中期開創(chuàng)了研究函數(shù)特征的信息論方法,他的工作及隨后阿諾爾德的工作解決并深化了希爾伯特第13問題——用較少變量的函數(shù)表示較多變量的函數(shù);60年代后又創(chuàng)立了信息算法理論;1980年由于它在調(diào)和分析,概率論,遍歷理論及動力系統(tǒng)方面出色的工作獲沃爾夫獎;他十分重視數(shù)學(xué)教育,在他的指引下,大批數(shù)學(xué)家在不同的領(lǐng)域內(nèi)取得重大成就.其中包括蓋爾范德,

阿諾爾德,西奈依等人.他還非常重視基礎(chǔ)教育,親自領(lǐng)導(dǎo)了中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編寫工作.JianLiXiangdongYeAnatolyMikhailovichStepinFelixAleksandrovichBerezinIsrailMoiseivichGelfandAndreiNikolayevichKolmogorov來源：http:///id.php?id=166541課程結(jié)構(gòu)概率論數(shù)理統(tǒng)計隨機過程基本概念與古典概率一維隨機變量二維隨機變量隨機變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本概念參數(shù)估計假設(shè)檢驗方差分析回歸分析非參數(shù)檢驗確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象——

每次試驗前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果每次試驗后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個在相同的條件下進行大量觀察或試驗時，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性

——稱之為統(tǒng)計規(guī)律性

第一章概率論的基本概念1.隨機試驗對某事物特征進行觀察,統(tǒng)稱試驗.

基本術(shù)語

若它有如下特點,則稱為隨機試驗,用E表示可在相同的條件下重復(fù)進行試驗結(jié)果不止一個,但能明確所有的結(jié)果試驗前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果樣本空間——隨機試驗E所有可能的結(jié)果組成的集合稱為樣本空間記為樣本空間的元素,即E

的直接結(jié)果,稱為隨機事件

——的子集,記為A,B,…它是滿足某些條件的樣本點所組成的集合.樣本點(or基本事件)

常記為，={}2.樣本空間和隨機事件其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度觀察總機每天9:00~10:00接到的電話次數(shù)有限樣本空間無限樣本空間投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)例1給出一組隨機試驗及相應(yīng)的樣本空間基本事件

——

僅由一個樣本點組成的子集它是隨機試驗的直接結(jié)果,每次試驗必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個基本事件.

必然事件——全體樣本點組成的事件,記為,每次試驗必定發(fā)生的事件.隨機事件發(fā)生

——組成隨機事件的一個樣本點發(fā)生不可能事件——不包含任何樣本點的事件,記為,每次試驗必定不發(fā)生的事件.A

隨機事件的關(guān)系和運算類似于集合的關(guān)系和運算

事件的關(guān)系和運算維恩圖(Venndiagram)——

A

包含于B事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生AB且1.事件的包含2.事件的相等或

事件A與事件B

至少有一個發(fā)生發(fā)生的和事件——

的和事件——

——

A

與B

的和事件3.事件的并(和)

或事件A與事件B

同時發(fā)生發(fā)生的積事件

——

的積事件——

——

A

與B

的積事件

4.事件的交(積)發(fā)生事件

A發(fā)生，但

事件B不發(fā)生

——

A

與B

的差事件5.事件的差——

A

與B

互斥A、

B不可能同時發(fā)生AB兩兩互斥兩兩互斥6.事件的互斥(互不相容)——

A

與B

互相對立每次試驗A、

B中有且只有一個發(fā)生A稱B

為A的對立事件(or逆事件)，記為注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互斥”是不同的概念7.事件的對立8.完備事件組若兩兩互斥，且則稱為完備事件組或稱為的一個劃分

吸收律

冪等律

差化積

重余律運算律對應(yīng)事件運算集合運算

交換律

結(jié)合律

分配律

反演律運算順序：逆交并差，括號優(yōu)先B

CABA

CA

分配律

圖示