初中數(shù)學競賽-有理數(shù)篇

一、有理數(shù)及其運算1、基本概念的提升“有理數(shù)”——神馬東西？定義：有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，一切有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式；分類：兩種分法如下圖、數(shù)軸-長啥樣兒呢？定義：在數(shù)學中，可以用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸（numberline），它滿足以下要求：

（1）方向（通常規(guī)定右為正，左為負）；

（2）原點；

（3）單位長度；

【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫數(shù)軸】如下圖所示：數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應的。（任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。）數(shù)軸練習題

相反數(shù)、絕對值中文名：數(shù)軸英文名：numberaxis相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)，其余相同絕對值：點到原點的距離作用：比較大小說明：一切正數(shù)大于0，0大于一切負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)。相反數(shù)：-2和2互為相反數(shù)；；.....絕對值：在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離原點的距離就叫做這個數(shù)的絕對值；用代數(shù)式表示：|a|=?(討論a為何值)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而小。相反數(shù)、絕對值練習相反數(shù)·例題詳解例2、化簡例1、按要求作答

-[-(-0.5)]=______;+[-()]=____;-[+(-50)]=______;-|-()|=_____;絕對值的性質(zhì)【絕對值具有非負性】例1、|-5|=___;|+5|=____;|-[-(-5)]|=____;例2、(1)||=3;||=5;

（2）已知x是有理數(shù)，且|x|=|-4|，那么x=;

(3)解方程：|4x+8|=15;經(jīng)典例題【B卷題型——代數(shù)式求值】解：經(jīng)典例題【B卷題型—含絕對值運算】解：【鞏固練習】結(jié)合數(shù)軸化簡代數(shù)式【A、B卷】解：解：【鞏固練習】解：經(jīng)典例題解：解：鞏固練習解：例題·零點分段法解：例題·零點分段法求值解：絕對值的幾何意義|a|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離；|a-b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a,b對應數(shù)軸上兩點間的距離?！舅悸穼Ш健糠治鲆韵翧、E兩個點，不論這個郵筒放在AE之間的哪一點，A到郵筒的距離加上E到郵筒的距離就是AE的長度。也就是說郵筒放在哪不會影響這兩個點到郵筒的距離之和。那么我們就使其他的3個點到郵筒的距離之和最短，再看為了使B、D兩個到郵筒的距離之和也是不變的，等于BD。最后，只需要考慮C點到郵筒的距離最近就行了。那么當然也就是把郵筒放在C點了。這里就體現(xiàn)了一個“向中心靠攏的思想”結(jié)論：【鞏固練習】【競賽銜接】解：【競賽銜接】解：【競賽銜接】解：【競賽銜接】解：利用已有的知識，靈活熟練地運用數(shù)的四則運算法則和有關公式，學會巧算的方法。二、有理數(shù)計算學習與提升分析：這個算式中的分母均是99，分子依次是1到296，而1+296=297，而297恰好是99的3倍，可以看出，算式中的首末兩項或與首末兩項等距離的兩項之和為3×99，并且這樣的和只有296/2個。1、巧用運算律：例1.計算：1/99+2/99+3/99+···+296/99解：1/99+2/99+3/99+···+296/99=（1/99+296/99）+（2/99+259/99）+···（148/99+149/99）=3X148=444解：設S=5+8+11++14+17+·····+32反過來寫S=32+29+26+······+52S=(5+32)+(8+29)+·······(32+5)=37X10=370所以S=185例2：5+8+11++14+17+·····+322、倒寫相加分析：可利用“倒寫相加”的方法來計算上式的和

觀察上例我們發(fā)現(xiàn)：它的每兩個相鄰的加數(shù)的差相等，一般地，給出一列數(shù)a1、a2、a3……an(其中a1稱為首項，an稱為末項)，如果從第二項開始，后項與前項的差都相等，那么就稱這列數(shù)a1、a2……an為等差數(shù)列，這個差用d來表示。即d=a2-a1=a3-a2=·······=an-an-1d叫公差，n為項數(shù)如何來推算等差數(shù)列a1、a2……an的和呢？例2：5+8+11++14+17+·····+32設S=a1+a2···+an反過來寫，則s=an+an-1+a1兩式相加得：2S=(a1+an)+(a2+an-1)···+(an+a1)由于a1+an=a2+an-1=···=an+a1因為2S=(a1+an)·n所以S=(a1+an)/2·n例3.利用等差數(shù)列求和公式計算：

分析：這里a1=1，an=1991，d=3-1=2，n=996

1+3+5+……+1991解：設S=1+3+32+……+32014(1)則3S=3+32+……+32015(2)（2）-(1)得：3S-S=(3+32+···+32015)-(1+3+32+···+32014）2S=32015-1所以S=32015-1/2

3、先乘后減例4：求1+3+32+……+32014的值。分析：和式中從第二項起，相鄰的后一項與前一項的比都是3，如先用3乘以和式兩邊，然后與原式對應相減，即可得解。解：原式=(90+900+9000+90000+……+900000)-5=999990-5=999985

4、湊數(shù)與分拆：例5.計算89+899+8999+89999+899999分析：觀察各數(shù)的特征：都是由8和9組成，只要將第一個數(shù)加上1就湊成90，第二個數(shù)加上1就湊成900，……再求和即可。

分析：

證明：

……

分析：算式中的每一項“分拆”成正負兩項，利用“正負相消”的方法計算。

解：

人類的祖先經(jīng)過長期的實踐，在數(shù)的范圍內(nèi)確定了一些運算符號及法則：如加（+）、減（－）、乘（×）、除（÷），這使數(shù)學更加簡明。然而，這些符號都是“公認的”，其實，除了四則運算以外，還可以有一些新的符號，讓它代表新的運算，這就是定義新運算。

我們定義的這種新運算，其運算結(jié)果應該是等于參加運算的第一個數(shù)加上第二個數(shù)的2倍的和與3的商。若a=－2，b=3

5、定義新運算在數(shù)學競賽中，常常會遇到這種題。

解：

解：

解：原式

6、一些運算技巧(——湊整）例1.計算：例2.計算：

解：原式——整數(shù)、分數(shù)分離

例3.計算

解：原式例4.計算：

分析：因為

——逆用分配律——倒數(shù)求值與互為倒數(shù)，而容易計算。故此題只需計算后部分的結(jié)果即可。

解：原式——零因式定值

分析：解答時切忌從左至右按順序運算，因為解：原式例5.計算：

例6.計算

解：原式

【訓練1