歷年全國(guó)數(shù)學(xué)建模試題及解法歸納

03B03B露天礦生產(chǎn)的車(chē)輛安排04A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)04B電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理05A長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)05BDVD在線租賃06A出版社書(shū)號(hào)問(wèn)題06BHiv病毒問(wèn)題07A人口問(wèn)題07B公交車(chē)問(wèn)題論、0-1規(guī)劃08A照相機(jī)問(wèn)題08B大學(xué)學(xué)費(fèi)問(wèn)題析、回歸分析2009年A題制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析2009年B題眼科病床的合理安排2009年C題衛(wèi)星監(jiān)控2009年D題會(huì)議籌備歷年全國(guó)數(shù)學(xué)建模試題及解法歸納賽題93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)93B足球隊(duì)排名94A逢山開(kāi)路94B鎖具裝箱問(wèn)題95A飛行管理問(wèn)題95B天車(chē)與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度96A最優(yōu)捕魚(yú)策略96B節(jié)水洗衣機(jī)97A零件的參數(shù)設(shè)計(jì)97B截?cái)嗲懈畹淖顑?yōu)排列98A一類(lèi)投資組合問(wèn)題98B災(zāi)情巡視的最佳路線99A自動(dòng)化車(chē)床管理99B鉆井布局00ADNA序列分類(lèi)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)00B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸01A血管三維重建賽題01B公交車(chē)調(diào)度問(wèn)題02A車(chē)燈線光源的優(yōu)化02B彩票問(wèn)題03ASARS的傳播解法擬合、規(guī)劃圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃圖論、插值、動(dòng)態(tài)規(guī)劃圖論、組合數(shù)學(xué)非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃、排隊(duì)論、圖論微分方程、優(yōu)化非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃隨機(jī)模擬、圖論多目標(biāo)優(yōu)化、非線性規(guī)劃圖論、組合優(yōu)化隨機(jī)優(yōu)化、計(jì)算機(jī)模擬0-1規(guī)劃、圖論模式識(shí)別、Fisher判別、人工組合優(yōu)化、運(yùn)輸問(wèn)題曲線擬合、曲面重建解法多目標(biāo)規(guī)劃非線性規(guī)劃單目標(biāo)決策微分方程、差分方程整數(shù)規(guī)劃、運(yùn)輸問(wèn)題統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)、數(shù)據(jù)處理隨機(jī)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化線性規(guī)劃、回歸分析微分方程、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化多目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖非線性方程組、優(yōu)化數(shù)據(jù)收集和處理、統(tǒng)計(jì)分工程控制排隊(duì)論，優(yōu)化，仿真，綜合評(píng)價(jià)幾何問(wèn)題，搜集數(shù)據(jù)優(yōu)化賽題發(fā)展的特點(diǎn)：1.對(duì)選手的計(jì)算機(jī)能力提出了更高的要求：賽題的解決依賴(lài)計(jì)算機(jī)，題目的數(shù)據(jù)較多，手工計(jì)算不能完成，如03B，某些問(wèn)題需要使用計(jì)算機(jī)軟件，01A。問(wèn)題的數(shù)據(jù)讀取需要計(jì)算機(jī)技術(shù)，如00A（大數(shù)據(jù)），01A（圖象數(shù)據(jù)，圖象處理的方法獲得），04A（數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)庫(kù)方法，統(tǒng)計(jì)軟件包）。計(jì)算機(jī)模擬和以算法形式給出最終結(jié)果。.賽題的開(kāi)放性增大解法的多樣性，一道賽題可用多種解法。開(kāi)放性還表現(xiàn)在對(duì)模型假設(shè)和對(duì)數(shù)據(jù)處理上。.試題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展.求解算法和各類(lèi)現(xiàn)代算法的融合2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題評(píng)閱要點(diǎn)本題考察的重點(diǎn)是：從決策問(wèn)題的海量的、不完全的、甚至錯(cuò)漏（帶有噪音、錯(cuò)誤、異型）的數(shù)據(jù)中分析出決策的邏輯結(jié)構(gòu)和提取有用的數(shù)據(jù)（附錄中許多數(shù)據(jù)是沒(méi)有用的!）以及依賴(lài)數(shù)據(jù)信息，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力。本題的資源優(yōu)化配置模型是規(guī)劃問(wèn)題，其中也包括一些預(yù)測(cè)模型。因此，理解并且實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問(wèn)題的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)是取得基本分值的必要條件。1、目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成成分主要包括銷(xiāo)售額表達(dá)式（注意如果作者利用了附錄數(shù)據(jù)說(shuō)明中的假設(shè)，則贏利與銷(xiāo)售額等價(jià)），可以以課程為單位，也可以以學(xué)科為單位；包括由市場(chǎng)信息產(chǎn)生的對(duì)于不同課程的調(diào)控因子（競(jìng)爭(zhēng)力系數(shù)）；由于數(shù)據(jù)說(shuō)明中的提示，也應(yīng)該包括每個(gè)課程的申報(bào)需求量的“計(jì)劃準(zhǔn)確性因子”（學(xué)生用詞會(huì)不同）。當(dāng)然，前兩點(diǎn)更重要些。2、約束條件構(gòu)成對(duì)于出版社來(lái)說(shuō)，所謂產(chǎn)能主要是人力資源，即策劃、編輯和版面設(shè)計(jì)人員的分布形成主要約束；此外，書(shū)號(hào)總量（500）也應(yīng)該作為約束條件；同時(shí)，在數(shù)據(jù)說(shuō)明中指出的“滿(mǎn)足申請(qǐng)書(shū)號(hào)量的一半”也應(yīng)該以約束方式表達(dá)。3、規(guī)劃變量可以以每個(gè)課程的書(shū)號(hào)數(shù)量，也可以以學(xué)科的書(shū)號(hào)數(shù)作為變量，但是得到的結(jié)果會(huì)有所不同。實(shí)現(xiàn)以上三點(diǎn)，對(duì)于問(wèn)題的理解是比較全面的，應(yīng)該得到基本分值。進(jìn)一步提高的分值來(lái)源于實(shí)現(xiàn)上述三點(diǎn)的具體模型的考慮和建模水平。1）如果注意到數(shù)據(jù)說(shuō)明中提示的，同一課程的教材在價(jià)格和銷(xiāo)售量的同一性，銷(xiāo)售額表達(dá)式是比較容易表示的：構(gòu)造每個(gè)課程的、用書(shū)號(hào)數(shù)表達(dá)的銷(xiāo)售額，然后將所有書(shū)號(hào)的銷(xiāo)售額的表達(dá)式累加，形成總社的銷(xiāo)售額的基本表達(dá)式，這是目標(biāo)函數(shù)的主體部分。2）市場(chǎng)信息產(chǎn)生的對(duì)于不同課程的調(diào)控因子（也稱(chēng)競(jìng)爭(zhēng)力系數(shù)）的表示，是一個(gè)信息不足情況下的決策模型。主要是滿(mǎn)意度和市場(chǎng)占有率的恰當(dāng)表示和計(jì)算（由附件2），以及兩個(gè)指標(biāo)的聯(lián)合形成競(jìng)爭(zhēng)力系數(shù)問(wèn)題，這里既可以使用擬合模型，也可以使用各種多因素分析模型等等，方法不同。對(duì)這個(gè)問(wèn)題解決的優(yōu)劣，可以導(dǎo)致明顯的評(píng)分差別。其中應(yīng)該特別注意需求信息是否重復(fù)使用的問(wèn)題，也就是說(shuō)，如果在構(gòu)造銷(xiāo)售額表達(dá)式時(shí)已經(jīng)使用了課程的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)，則不同課程的支持強(qiáng)度的不同，主要由市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力參數(shù)表達(dá)。3）在優(yōu)化問(wèn)題中，應(yīng)該恰當(dāng)?shù)乇硎尽坝?jì)劃準(zhǔn)確性因子”，數(shù)據(jù)給出的計(jì)劃銷(xiāo)量和實(shí)際銷(xiāo)量之比應(yīng)該是比較合適的表示。4）加上前述約束條件構(gòu)成適當(dāng)?shù)囊?guī)劃問(wèn)題。比較好的實(shí)現(xiàn)以上四點(diǎn)，應(yīng)該得到80%的分值。最后剩余分值是：計(jì)算出結(jié)果，創(chuàng)造性，論文表述和格式。［注1］以下給出建模所需信息和附錄數(shù)據(jù)表的關(guān)系：在問(wèn)卷調(diào)查表的調(diào)查目的中提示了滿(mǎn)意度和市場(chǎng)占有率是競(jìng)爭(zhēng)力的主要組成，也提示了數(shù)據(jù)依據(jù)（附錄1）；課程級(jí)銷(xiāo)售額以及銷(xiāo)售額與利潤(rùn)的等價(jià)性關(guān)系（附錄3）,滿(mǎn)意度和市場(chǎng)占有份額由問(wèn)卷調(diào)查數(shù)據(jù)表檢索計(jì)算產(chǎn)生（附錄2），各個(gè)課程的需求的書(shū)號(hào)數(shù)（附錄4）和“計(jì)劃準(zhǔn)確性因子”（附錄3），人力資源（附錄5）。其中附錄1只是讓學(xué)生了解市場(chǎng)調(diào)查的方法。［注2］學(xué)生會(huì)提出附錄5和4之間在書(shū)號(hào)數(shù)與人力資源上的差別，事實(shí)上人力資源和分配到的書(shū)號(hào)數(shù)沒(méi)有直接的單一因果聯(lián)系（如臨時(shí)雇用人員、臨時(shí)增加書(shū)號(hào)等。附錄4的書(shū)號(hào)總和的計(jì)算錯(cuò)誤是實(shí)際數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤，但是與解題無(wú)關(guān)（學(xué)生采用哪組數(shù)據(jù)應(yīng)該都是可以的）。附件：對(duì)問(wèn)題更詳細(xì)的分析過(guò)程（供參考）本題背景是：某出版社總社匯總各個(gè)分社提交的出版需求計(jì)劃，然后根據(jù)市場(chǎng)信息、在總社產(chǎn)能允許的條件下，將給定數(shù)量的書(shū)號(hào)進(jìn)行分配，以期在此分配方案下，出版的圖書(shū)產(chǎn)生最好的經(jīng)濟(jì)效益。由于企業(yè)的生產(chǎn)是市場(chǎng)導(dǎo)向的，因此市場(chǎng)信息是對(duì)分社計(jì)劃進(jìn)行調(diào)整的主要依據(jù)，同時(shí)要考慮產(chǎn)能的限制。這是一個(gè)資源配置的決策問(wèn)題，因此需要分析決策的信息依據(jù)以及決策的邏輯過(guò)程。1、決策的總體結(jié)構(gòu)市場(chǎng)信息決策部門(mén)分社計(jì)劃信息決策結(jié)果各個(gè)分社提出的出版需求計(jì)劃是決策的基礎(chǔ)，而市場(chǎng)信息是調(diào)整分社計(jì)劃達(dá)到效益最大化的主要調(diào)節(jié)依據(jù)。在以上總體結(jié)構(gòu)下，需要將各個(gè)分社的計(jì)劃信息和市場(chǎng)信息的信息產(chǎn)生結(jié)構(gòu)分析清楚。分社計(jì)劃信息在附錄4中給出了各個(gè)分社06年申請(qǐng)的書(shū)號(hào)計(jì)劃數(shù)，即分社所屬課程的計(jì)劃數(shù)的列表。該出版社中，分社是按學(xué)科劃分的，學(xué)科之下又有若干課程，問(wèn)題的決策對(duì)象可以分兩級(jí)：課程級(jí)以及學(xué)科級(jí)。也就是說(shuō)，可以以課程作為基本分配對(duì)象，學(xué)科數(shù)據(jù)可以通過(guò)匯總得到；也可以先將數(shù)據(jù)匯總到學(xué)科，然后以學(xué)科作為配置單位。兩種方法計(jì)算結(jié)果會(huì)有所不同。市場(chǎng)信息相關(guān)的市場(chǎng)信息主要包括兩個(gè)方面：需求信息和競(jìng)爭(zhēng)力信息，包括它們的變化趨勢(shì)。1需求信息。課程級(jí)的銷(xiāo)售額是決策的目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)組分（附錄4中提示了銷(xiāo)售額與盈利的等價(jià)性）。在根據(jù)課程級(jí)的需求計(jì)劃計(jì)算銷(xiāo)售額時(shí)，需要用過(guò)去五年該課程的實(shí)際銷(xiāo)售量去預(yù)測(cè)當(dāng)年的銷(xiāo)售量。這樣就已經(jīng)考慮了市場(chǎng)的需求信息，因此在總社的進(jìn)一步分析中不必要重復(fù)使用這類(lèi)市場(chǎng)信息。另一方面，由于分社有夸大需求的傾向（附錄4提示），將課程級(jí)的計(jì)劃銷(xiāo)售量與實(shí)際銷(xiāo)售量之比作為“計(jì)劃準(zhǔn)確性系數(shù)”，在課程級(jí)的銷(xiāo)售額中作為權(quán)重是恰當(dāng)?shù)目紤]。3.2競(jìng)爭(zhēng)力信息。企業(yè)在戰(zhàn)略決策中的主要原則是：重點(diǎn)支持競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)、競(jìng)爭(zhēng)力發(fā)展趨勢(shì)強(qiáng)的產(chǎn)品（題目中已經(jīng)提示）。雖然企業(yè)也要關(guān)注現(xiàn)實(shí)競(jìng)爭(zhēng)力不強(qiáng)、但有潛力的產(chǎn)品，但這不是主要的決策原則，這是一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。競(jìng)爭(zhēng)力因素很多，但是對(duì)于本題，由于只給出了兩方面的數(shù)據(jù)（A.對(duì)教材的課程級(jí)的滿(mǎn)意度，B.該出版社的課程級(jí)的市場(chǎng)占有率），因此也只有用這兩個(gè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生對(duì)于各個(gè)課程的不同的競(jìng)爭(zhēng)力系數(shù)，這是總社的主要調(diào)控手段，應(yīng)體現(xiàn)在規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)中。4、建模過(guò)程如何從給定數(shù)據(jù)中提取需要的每項(xiàng)市場(chǎng)信息，是本題建模的關(guān)鍵之一。1市場(chǎng)需求信息。這里主要是課程級(jí)的需求量預(yù)測(cè)。從歷年的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)，即已經(jīng)出版過(guò)的同課程的歷年銷(xiāo)售數(shù)據(jù)，可得到目標(biāo)函數(shù)的主要表達(dá)式：（（課程級(jí)銷(xiāo)量*平均書(shū)價(jià)）/當(dāng)年的該課程的獲得書(shū)號(hào)數(shù)］=該課程的書(shū)號(hào)的平均銷(xiāo)售額2產(chǎn)品滿(mǎn)意度。在問(wèn)卷調(diào)查中的本出版社的滿(mǎn)意度（課程級(jí)）的均值除以所有出版社的滿(mǎn)意值的均值，可以作為該課程的滿(mǎn)意度，這里“度”是率的含意。4.3市場(chǎng)份額占有率。在問(wèn)卷調(diào)查的統(tǒng)計(jì)中已經(jīng)給出了關(guān)于課程與出版社市場(chǎng)份額分布表，而通過(guò)五年的市場(chǎng)份額分布表可以回歸出預(yù)測(cè)的市場(chǎng)份額占有率。4.4競(jìng)爭(zhēng)力系數(shù)。以上兩點(diǎn)可以產(chǎn)生單一的競(jìng)爭(zhēng)力系數(shù)（通過(guò)模型方法）加入到目標(biāo)函數(shù)中，例如，可以從五年的歷史數(shù)據(jù)擬合得到加權(quán)系數(shù)，再進(jìn)行加權(quán)求和等，方法各異。由以上4點(diǎn)以及考慮到3.1中的“計(jì)劃準(zhǔn)確性系數(shù)”，可以構(gòu)成規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)。4.5約束條件：該社的產(chǎn)能即人力資源的約束，書(shū)號(hào)總量的限制以及至少滿(mǎn)足申請(qǐng)數(shù)一半的要求（附錄4）,即可得到規(guī)劃問(wèn)題的完整表示。5、決策的邏輯結(jié)構(gòu)2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題評(píng)閱要點(diǎn)問(wèn)題（1）利用附件1的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。.分析數(shù)據(jù)隨機(jī)取若干個(gè)病人，畫(huà)出他們CD4和HIV濃度隨時(shí)間變化的圖形（折線），可以看出CD4大致有先增后減的趨勢(shì)，HIV有先減后增的趨勢(shì)，啟示應(yīng)建立時(shí)間的二次函數(shù)模型（若先用一次函數(shù)模型，應(yīng)與二次函數(shù)模型做統(tǒng)計(jì)分析比較）。附件1中個(gè)別病人缺CD4或HIV數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)表中為空），計(jì)算時(shí)應(yīng)注意。.建立模型可能有以下形式的回歸模型：1）總體回歸模型用全部數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，如yij=b0+b1tij+b2tij2,tij為第i病人第j次測(cè)量時(shí)間，yij為第i病人第j次測(cè)量值（CD4,HIV）或測(cè)量值與初始值之比。一次與二次函數(shù)模型比較，二次較優(yōu)。用數(shù)據(jù)估計(jì)b0,b1,b2,對(duì)CD4,b2<0,b1>0,t=-b1/2b2達(dá)到最大；對(duì)HIV,b2>0,b1<0,t=-b1/2b2達(dá)到最小。一般在25~30（周）CD4達(dá)到最大、HIV達(dá)到最小。可以合理地確定最佳治療終止時(shí)間。2）個(gè)人回歸模型用每個(gè)病人的數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，如上式（bk改為bik,k=0,1,2）,計(jì)算bik的均值和均方差，用均值同1）可得CD4的最大點(diǎn)和HIV的最小點(diǎn)，一般為20~30（周）。可對(duì)CD4統(tǒng)計(jì)b2i<0,b1i>0（存在正最大點(diǎn)）及b2i>0（不存在最大點(diǎn)）的頻率，對(duì)HIV統(tǒng)計(jì)b2i>0,b1i<0（存在正最小點(diǎn)）及b2i<0（不存在最小點(diǎn)）的頻率，在一定條件下可以作為終止治療與繼續(xù)治療的概率（一般為0.6~0.8與0.3~0.2）；也可用bik的均值和均方差在一定分布的假定下直接計(jì)算這些概率。注1建立幾種模型相互比較、驗(yàn)證者較優(yōu)。注2不能只有模型，不做統(tǒng)計(jì)分析；對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，考慮與數(shù)據(jù)擬合程度、注意去除異常數(shù)據(jù)者較優(yōu)注3注意到有一些數(shù)據(jù)是當(dāng)出現(xiàn)CD4下降、HIV上升就及時(shí)結(jié)束的，并做出適當(dāng)考慮者較優(yōu)。注4注意到題目中“艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4,至少要有效地降低CD4減少的速度”，并對(duì)結(jié)果做出適當(dāng)考慮者較優(yōu)問(wèn)題（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣，并對(duì)較好療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間?；貧w模型方法.分析數(shù)據(jù)對(duì)于每種療法隨機(jī)取若干個(gè)病人，畫(huà)出他們CD4隨時(shí)間變化的圖形（折線），可以看出療法1~3的CD4基本上水平，略有下降，而療法4有先增后減的趨勢(shì)。啟示應(yīng)建立時(shí)間的一次與二次函數(shù)模型，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析比較，確定哪種較優(yōu)。.建立模型1）回歸模型可以引入4（或3）個(gè)0-1變量表示4種療法建立統(tǒng)一模型，或者對(duì)每種療法各建立一個(gè)模型（一般來(lái)說(shuō)前者較優(yōu)）；仍可利用問(wèn)題（1）中的各種模型。以總體回歸模型為例，分別用一次與二次時(shí)間函數(shù)模型進(jìn)行比較，可知療法1~3用一次模型較優(yōu)，且一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，即CD4在減少，從數(shù)值看療法3優(yōu)于療法2和1；療法4用二次模型較優(yōu)，即CD4先增后減，在t=20左右達(dá)到最大。可以通過(guò)4條回歸曲線進(jìn)行比較，顯示療法4在30周之前明顯優(yōu)于其它。年齡的處理：簡(jiǎn)單地增加年齡變量；按年齡分組，考慮不同年齡的影響。2）用假設(shè)檢驗(yàn)做療法有無(wú)顯著性差異的兩兩比較用1個(gè)0-1變量構(gòu)造兩種療法的統(tǒng)一模型，可以用t檢驗(yàn)作回歸系數(shù)是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)（與回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點(diǎn)等價(jià)）。結(jié)果是療法1與2無(wú)顯著性差異，而療法1與3,2與3,3與4均有顯著性差異。注注意問(wèn)題（1）的幾個(gè)注。線性規(guī)劃模型方法1.數(shù)據(jù)分析考慮到治療的效果與患者的年齡有關(guān)，將患者按年齡分組,如14~25歲,25~35歲,35~45歲及45歲以上4組。每組中按照4種療法和4個(gè)治療階段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），構(gòu)造16個(gè)決策單元。取4種藥品量為輸入，治療各個(gè)階段末患者的CD4值與開(kāi)始治療時(shí)CD4值的比值為輸出2.建立模型利用相對(duì)有效性評(píng)價(jià)方法，建立分式規(guī)劃模型并經(jīng)過(guò)變換，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型求解，對(duì)各年齡組患者在各階段的治療效率進(jìn)行評(píng)價(jià)。計(jì)算結(jié)果：對(duì)第1年齡組療法2和4在整個(gè)治療中效率較高，在第4階段仍然有效；對(duì)第2年齡組療法1在第1,2階段有效；對(duì)第3年齡組療法1,2,3在第1階段有效；對(duì)第4年齡組療法1,2在第1,2階段有效。表明只有14~25歲的年4種輕患者，才能在治療的最后階段仍然有有效的療法。由線性規(guī)劃模型的對(duì)偶形式建立預(yù)測(cè)模型，對(duì)各年齡組各種療法下一階段的療效進(jìn)行預(yù)測(cè)。若由某決策單元得到的實(shí)際輸出大于預(yù)測(cè)輸出，則該決策單元相對(duì)有效；反之，說(shuō)明該種療法對(duì)該組患者在治療的未來(lái)階段不再有效，應(yīng)該轉(zhuǎn)換療法。2007高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題評(píng)閱要點(diǎn)模型的建立必須考慮我國(guó)近年來(lái)人口發(fā)展的總趨勢(shì)。例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高、鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素。以下幾點(diǎn)供閱卷參考。.分析數(shù)據(jù)從詳細(xì)數(shù)據(jù)中也可以看出。附錄2中給出的2005年人口數(shù)據(jù)就是大約1%的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)。從網(wǎng)上及文獻(xiàn)中還可以查到更多數(shù)據(jù)，這里不一一列出。.建立模型（1）基本假設(shè)：從中國(guó)人口增長(zhǎng)的特點(diǎn)出發(fā)，可以提出如下假設(shè)作為建立模型的依據(jù)：老齡化進(jìn)程加速；農(nóng)村育齡婦女的生育率明顯高于城鎮(zhèn)；出生人口的男女性別比持續(xù)升高；農(nóng)村人口不斷城鎮(zhèn)化。根據(jù)這些假設(shè)，區(qū)分模型中的狀態(tài)變量和參數(shù)。⑵狀態(tài)變量的設(shè)置：根據(jù)上述假設(shè)和數(shù)據(jù)分析，可以把城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口，及男女性別區(qū)分開(kāi)來(lái)。另一方面，注意到育齡婦女的生育率是決定人口增長(zhǎng)的主要因素，可以對(duì)人口的年齡分布按不同年齡段進(jìn)行簡(jiǎn)化，以減少狀態(tài)變量。⑶老齡化的影響：數(shù)據(jù)分析表明，在每一類(lèi)人（比如城鎮(zhèn)婦女）中，老年人口在該類(lèi)總?cè)丝谥械谋壤鹉晟仙?，而青壯年和幼年人口比例逐年下降?？梢酝ㄟ^(guò)對(duì)人口矩陣的迭代，或用其他模型方法，找出他們上升或下降的一般規(guī)律。⑷農(nóng)村人口以一定規(guī)律轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口。⑸人口增長(zhǎng)有遲滯效應(yīng)。在附錄1中提到“由于20世紀(jì)80年代至90年代第三次出生人口高峰的影響”，導(dǎo)致在2005-2020年出生人口數(shù)量會(huì)”出現(xiàn)一個(gè)小高峰”，這就是遲滯效應(yīng)。如果在模型中適當(dāng)引進(jìn)遲滯項(xiàng)，就可預(yù)測(cè)到這種“小高峰”現(xiàn)象。當(dāng)然，此時(shí)的初值應(yīng)當(dāng)是一個(gè)近幾十年來(lái)的人口變化函數(shù)。這個(gè)函數(shù)可以從網(wǎng)上搜索到，也可以用1（4）提示的方法找出。當(dāng)然，這可能有一定難度，不一定作為必須要考慮的要求。如果有同學(xué)考慮到這種遲滯效應(yīng)，應(yīng)該說(shuō)是有創(chuàng)意的。(6)在本題的數(shù)據(jù)說(shuō)明中曾指出“個(gè)別數(shù)據(jù)有異常，原文如此，可酌情處理?！睂?shí)際上，這些異常數(shù)據(jù)在個(gè)別年份才會(huì)出現(xiàn)，如果把他們從總體上進(jìn)行擬合，對(duì)整個(gè)模型的建立應(yīng)該是沒(méi)有很大影響的。而且一些異常通過(guò)查閱其他資料也可得到糾正。附錄2中最大的異常是關(guān)于2003年育齡婦女的生育率數(shù)據(jù)，這里按原《年鑒》中說(shuō)法以千分比計(jì)，實(shí)際應(yīng)該是百分比，相差十倍(在該附錄最后幾行給出的總生育率中已把它們恢復(fù)正常)。正如一開(kāi)始及下面所強(qiáng)調(diào)的，本題的重點(diǎn)是要根據(jù)我國(guó)近年來(lái)人口發(fā)展的總趨勢(shì)和特點(diǎn)來(lái)建立模型，因此，必須從總體上來(lái)把握數(shù)據(jù)。⑺如果有學(xué)生考慮人口分布的地區(qū)和產(chǎn)業(yè)等差別，也是可以的，但需要自己補(bǔ)充相關(guān)數(shù)據(jù)。.模型的求解和預(yù)測(cè)用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求解所得的數(shù)學(xué)模型，即可得到今后幾十年的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢园堰@些結(jié)果與附錄1(《國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告》)或其他文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析。如出現(xiàn)較大差異，則應(yīng)找出原因，予以改進(jìn)，或提出自己的看法.關(guān)于文獻(xiàn)與模型的“自我評(píng)價(jià)”(1)本問(wèn)題提供的文獻(xiàn)(附錄1)是要求重點(diǎn)閱讀的。此外，還應(yīng)列出自己查閱過(guò)并引用的比較可靠和權(quán)威的文獻(xiàn)，包括論文、著作和數(shù)據(jù)，都要注明出處。如果是網(wǎng)上的，則應(yīng)列出網(wǎng)址。⑵在評(píng)閱學(xué)生對(duì)自己模型的優(yōu)點(diǎn)與不足的評(píng)價(jià)時(shí)，一定要注意是否實(shí)事求是。2007高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題評(píng)閱要點(diǎn)命題思路本題根據(jù)公交線路查詢(xún)系統(tǒng)研制的實(shí)際需求簡(jiǎn)化改編而成。問(wèn)題容易理解，相關(guān)參考文獻(xiàn)也較多，但涉及到公汽與地鐵線路的聯(lián)系，以及換乘時(shí)間等細(xì)節(jié)的處理，加上需要處理的數(shù)據(jù)量較大，問(wèn)題并不十分簡(jiǎn)單。這是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，換乘次數(shù)最少、費(fèi)用最省、時(shí)間最短顯然是乘客在選擇乘車(chē)線路時(shí)最關(guān)心的幾個(gè)目標(biāo)，從該問(wèn)題的實(shí)際背景來(lái)看，采取加權(quán)合成將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的解題思路不太合適。比較適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ菍?duì)每個(gè)目標(biāo)尋求最佳線路，然后讓乘客按照自己的需求進(jìn)行選擇。本題1、2問(wèn)要求在不知道站點(diǎn)地理信息的條件下給出解決線路選擇問(wèn)題的模型與算法，并就題目給定的數(shù)據(jù)計(jì)算得到線路選擇結(jié)果，此二問(wèn)主要考核建模及編程能力。第3問(wèn)加上了步行因素，建模難度更大一些。問(wèn)題1不考慮地鐵線路時(shí)的公交線路選擇可能主要有以下幾種解法。圖論模型，這可能是最常使用的方法，首先要考慮如何根據(jù)不同目標(biāo)建立有向賦權(quán)圖(如利用不同的矩陣表示)，然后再求給定點(diǎn)對(duì)之間的最小換乘次數(shù)或最短路。求兩點(diǎn)間最短路有Dijkstra算法與Floyd算法等，但并不能將這兩種算法直接套用于本問(wèn)題，還需要處理好換乘和換乘時(shí)間問(wèn)題，閱卷時(shí)需要重點(diǎn)關(guān)注。規(guī)劃模型，包括0-1規(guī)劃方法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法等。3、數(shù)據(jù)庫(kù)模型，利用數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)直接對(duì)線路及站點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行搜索。［注］(1)本問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是換乘時(shí)間的處理及最短時(shí)間線路的選擇。(2)若算法運(yùn)算時(shí)間比較長(zhǎng)，可事先計(jì)算出所有最佳線路，將結(jié)果存入數(shù)據(jù)庫(kù)備查。因此算法的運(yùn)算時(shí)間問(wèn)題不是本題的考察重點(diǎn)。(3)對(duì)于原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的一些異常數(shù)據(jù)，同學(xué)可根據(jù)自己的理解作出假設(shè)和處理。如：對(duì)于個(gè)別線路相鄰站點(diǎn)名相同，可以采取去掉其中1個(gè)點(diǎn)或不作處理等方式，一般不會(huì)影響實(shí)例計(jì)算中線路選擇的結(jié)果。對(duì)于L406未標(biāo)明是環(huán)行線的問(wèn)題，無(wú)論學(xué)生是否將其當(dāng)作環(huán)線處理，一般不會(huì)影響到實(shí)例的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于L290標(biāo)明是環(huán)線，但首尾站點(diǎn)分別為1477與1479的問(wèn)題，可將所有線路中1477與1479統(tǒng)一為1477后計(jì)算。同學(xué)也可以按照各自認(rèn)為合理的方式處理，包括不當(dāng)作環(huán)線，實(shí)例計(jì)算用到的是該線路中部的幾個(gè)站點(diǎn)，一般不會(huì)影響實(shí)例計(jì)算結(jié)果。問(wèn)題2考慮地鐵線路時(shí)的公交線路選擇本問(wèn)可有多種處理方法，關(guān)鍵看合理性與可操作性。換乘時(shí)間的處理較第一問(wèn)要復(fù)雜，需重點(diǎn)關(guān)注。問(wèn)題3已知站點(diǎn)間步行時(shí)間條件下的公交線路選擇這是比較一般的線路選擇問(wèn)題，更接近實(shí)際。由于增加了步行因素，每個(gè)站點(diǎn)的可換乘方案大大增加了，于是用圖論方法處理的難度也會(huì)有很大增加。最常用的目標(biāo)有:換車(chē)次數(shù)最少，乘車(chē)的總站數(shù)最少，步行的總時(shí)間最少，總車(chē)費(fèi)最少等等，應(yīng)該針對(duì)不同的情況分別寫(xiě)出模型。實(shí)例結(jié)果［注］（1）本計(jì)算結(jié)果由命題人提供，并不一定完全準(zhǔn)確（如最優(yōu)可能僅為次優(yōu)），僅供參考。此外，由于假設(shè)的不同（如對(duì)換乘時(shí)間的處理不同），結(jié)果也可能會(huì)有差異。（2）下表中每行第1目標(biāo)為最優(yōu)結(jié)果（帶*號(hào)者），其余兩個(gè)目標(biāo)在第1目標(biāo)最優(yōu)條件下為最優(yōu)或次優(yōu)結(jié)果。（表中“時(shí)間”包括起始站點(diǎn)處的3分鐘等車(chē)時(shí)間。）2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題評(píng)閱要點(diǎn)高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)之一，是一個(gè)相當(dāng)開(kāi)放的問(wèn)題，許多媒體的討論都缺乏數(shù)據(jù)的支持和定量的分析。評(píng)閱中除了目中的明確要求外，要特別注意以下問(wèn)題：.應(yīng)多角度、全面、綜合地考慮學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題。模型中至少應(yīng)考慮教育質(zhì)量的保證和承受能力兩個(gè)方面；例如，培養(yǎng)成本、成本分擔(dān)、承受能力、長(zhǎng)遠(yuǎn)收益、國(guó)際比較、歷史比較等方面的考慮..數(shù)據(jù)的收集非常重要。應(yīng)該收集充分的、有根據(jù)、有說(shuō)服力的數(shù)據(jù)，并能支持建模的結(jié)論。估計(jì)可能收集到的數(shù)據(jù)有：國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，教育經(jīng)費(fèi)的比例，國(guó)家生均撥款和其它教育投入，培養(yǎng)一個(gè)大學(xué)生平均每年所需費(fèi)用、學(xué)校每年的運(yùn)營(yíng)開(kāi)支、每年報(bào)考大學(xué)的人數(shù)和錄取人數(shù)、學(xué)生分布結(jié)構(gòu)，家庭經(jīng)濟(jì)收入分布、困難學(xué)生的人數(shù)、每個(gè)學(xué)生每年的學(xué)費(fèi)、生活費(fèi)、獎(jiǎng)學(xué)金、助學(xué)金、貸款、捐贈(zèng)款等。.應(yīng)該通過(guò)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析和建模深入細(xì)致地討論學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，要有明確的結(jié)論2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題評(píng)閱要點(diǎn)（1）靶標(biāo)上圓的像是橢圓，但圓心的像一般不是橢圓的形心。對(duì)給定的坐標(biāo)系，由相片可獲取靶標(biāo)圓的像的邊界坐標(biāo)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些邊界點(diǎn)的原像落在靶標(biāo)平面且落在對(duì)應(yīng)圓周上的性質(zhì)，利用光學(xué)成像原理可建立確定靶標(biāo)平面方程和靶標(biāo)圓的圓心坐標(biāo)的非線性方程組數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求得靶標(biāo)圓心像的坐標(biāo)。模型求解可直接求解非線性方程組，也可化為優(yōu)化問(wèn)題求解。由于在某些情形模型可能有多解，化為優(yōu)化問(wèn)題后，目標(biāo)函數(shù)有可能為多峰，在求解時(shí)應(yīng)加以注意。（2）要以模型的合理性和優(yōu)劣作為主要評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，不要以數(shù)值結(jié)果好壞作為評(píng)價(jià)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。模型檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。但以往重視不夠。對(duì)本問(wèn)題，應(yīng)對(duì)于靶標(biāo)平面具有已知特殊傾角的情形，分別對(duì)有無(wú)誤差的情形逆向設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，即在靶標(biāo)平面方程和圓方程已知的情況下，根據(jù)光學(xué)成像原理，計(jì)算獲得圓周像的各點(diǎn)坐標(biāo)和圓心像的坐標(biāo)。利用圓周像的各點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)（并加上隨機(jī)誤差）用建立的模型和方法，計(jì)算出圓心的像坐標(biāo)，并與通過(guò)光學(xué)成像原理計(jì)算所得的圓心像坐標(biāo)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ团c方法的有效性與穩(wěn)定性。精度是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想象力加以研究。（4）對(duì)兩部相機(jī)各自取固定在其上的坐標(biāo)系，決定它們相對(duì)位置即確定這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。此變換可分解為一個(gè)平移和一個(gè)繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。于是要確定一個(gè)三維平移向量t和一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣R，R是一個(gè)正交陣，因此需要確定6個(gè)未知的參數(shù)。從靶標(biāo)上若干個(gè)圓的圓心的像坐標(biāo)可以得到它們分別在在兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)變換關(guān)系，可得一個(gè)方程組，足以確定6個(gè)未知參數(shù)，從而確定變換關(guān)系。［注］關(guān)于最早公布的題中存在的個(gè)別錯(cuò)誤之處地說(shuō)明：按照題中所給圖像，同學(xué)應(yīng)該能夠判斷出相機(jī)分辨率是1024*768,而不是1024*786；如果同學(xué)按最早公布的題中所說(shuō)的像距就是焦點(diǎn)（正確的說(shuō)法應(yīng)該是光心）到像平面的距離建模和計(jì)算，可能會(huì)影響到數(shù)值結(jié)果，但這些問(wèn)題本質(zhì)上對(duì)模型和算法及其檢驗(yàn)、分析的影響不大。（1）lingo或lindo求解多目標(biāo)規(guī)劃是要通過(guò)編程把多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的，至于怎么轉(zhuǎn)換，方法就很多了，其中加權(quán)法最常用但主觀性太大，分層序列法適合于各目標(biāo)間有明顯優(yōu)先級(jí)的情況；（2）至于0-1規(guī)劃，lingo或lindo都可以求解，matlab7.0也有自帶的bintprog可以求解；（3）matlab沒(méi)有自帶的直接求多目標(biāo)規(guī)劃的函數(shù)，即便7.0版也是如此，但不排除一些學(xué)者自己編寫(xiě)的工具箱函數(shù)。作者：袁新生等主編出版社：科學(xué)出版社出版時(shí)間：2007-1-1字?jǐn)?shù)：303000版次：1頁(yè)數(shù)：246印刷時(shí)間：2007/01/01開(kāi)本：印次：紙張：膠版紙ISBN：9787030179814包裝：平裝內(nèi)容簡(jiǎn)介本書(shū)深入淺出地介紹了LINGO的基礎(chǔ)知識(shí)、用LINGO語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的方法和用Excel處理數(shù)據(jù)的方法，重點(diǎn)是這兩種軟件在解決各種優(yōu)化問(wèn)題以及在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，通過(guò)豐富的實(shí)例介紹了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的方法，以及綜合運(yùn)用LINGO等軟件來(lái)求解模型的手段和技巧。本書(shū)的主要內(nèi)容包括LINGO的基本用法、LINGO在圖論和網(wǎng)絡(luò)模型中的應(yīng)用、用LINGO求解非線性規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃、LINGO與其他軟件之間的數(shù)據(jù)傳遞、Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用和LINGO在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用實(shí)例等。本書(shū)可作為高等院校研究生、本科生和專(zhuān)科生的數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)教材或參考書(shū)，也是從事數(shù)學(xué)建模教學(xué)和建模競(jìng)賽指導(dǎo)的教師、對(duì)數(shù)學(xué)建模有興趣的科研人員有價(jià)值的參考書(shū)，還可以作為一本內(nèi)容較全面的LINGO軟件使用和培訓(xùn)教材。目錄、,■、.刖百第1章LINGO的基本用法LINGO入門(mén)概況LINGO的基本用法用LINGO編程語(yǔ)言建立模型LINGO模型的基本組成IANGO語(yǔ)言的優(yōu)點(diǎn)LINGO的菜單文件（151e）菜單編輯（EditMenu）菜單LINGO菜單窗口（Window）菜單幫助（Help）菜單LINGO的參數(shù)設(shè)置Interface（界面）選項(xiàng)卡GeneralSolver（，通用求解器）選項(xiàng)卡Linear