新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測練思想03 運用函數(shù)與方程的思想方法解題（精講精練）（原卷版）

思想03運用函數(shù)與方程的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值．高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合，二是著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識，重在領(lǐng)會、運用，屬于思維的范疇，用于對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．【核心考點目錄】核心考點一：運用函數(shù)的思想研究問題核心考點二：運用方程的思想研究問題核心考點三：運用函數(shù)與方程的思想研究不等式問題核心考點四：運用函數(shù)與方程的思想研究其他問題【真題回歸】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若SKIPIF1<0，則C的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓SKIPIF1<0在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且SKIPIF1<0，則l的方程為___________．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程________________．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為__________．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線SKIPIF1<0過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為____________，____________．【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)與方程是緊密相聯(lián)、可以相互轉(zhuǎn)化的．在研究方程解的存在性、方程解的個數(shù)、方程解的分布等問題時，一般利用方程的性質(zhì)，對方程進行同解變形，進而構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解方程問題．例如，方程SKIPIF1<0解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸交點的個數(shù)，也可以參變分離，轉(zhuǎn)化為水平直線與函數(shù)圖象交點的個數(shù)，也可以部分分離，轉(zhuǎn)化為斜線與函數(shù)圖象交點的個數(shù)，也可以構(gòu)造兩個熟悉函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)．2、在研究函數(shù)問題時，運用方程的思想，設(shè)出未知數(shù)，通過題目中的等量關(guān)系，建立方程（組），進而求解方程（組），或者將方程變形，構(gòu)造新函數(shù)，更易于研究其圖象和性質(zhì)．例如，在研究曲線的切線問題時，設(shè)出切點橫坐標(biāo)SKIPIF1<0，得到切線斜率SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0，從而將函數(shù)中的切線問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點橫坐標(biāo)SKIPIF1<0的方程問題．3、函數(shù)、方程、不等式三位一體，常常相互轉(zhuǎn)化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的證明等問題時，最重要的思想方法就是函數(shù)與方程思想，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，分析、轉(zhuǎn)化不等式問題．例如，不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，可以轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．也可以考慮參變分離再求函數(shù)的最值．4、函數(shù)與方程的思想貫穿高中數(shù)學(xué)的多個模塊，在數(shù)列、解析幾何、三角形、立體幾何等內(nèi)容中都有廣泛的運用．函數(shù)思想體現(xiàn)的是運動與變化的觀念，通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)函數(shù)，再運用函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析．轉(zhuǎn)化問題，進而解決問題．方程思想體現(xiàn)的是“動中求靜”，尋求變化過程中保持不變的等量關(guān)系，建構(gòu)方程（組），通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析，轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決．【核心考點】核心考點一：運用函數(shù)的思想研究問題【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有兩個互異的實數(shù)解，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是__________．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上最小值為SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（3）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0只有一個零點，求SKIPIF1<0的值．核心考點二：運用方程的思想研究問題【典型例題】例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）請利用SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)推出SKIPIF1<0導(dǎo)函數(shù)，并求函數(shù)SKIPIF1<0的遞增區(qū)間；（2）若曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的切線平行，求SKIPIF1<0（化簡為只含SKIPIF1<0的代數(shù)式）；（3）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，存在直線SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0既是SKIPIF1<0的一條切線，也是SKIPIF1<0的一條切線．例5．（2023春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（Ⅰ）不需證明，直接寫出SKIPIF1<0的奇偶性：（Ⅱ）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性，并證明SKIPIF1<0有且僅有兩個零點：（Ⅲ）設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個零點，證明曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線也是曲線SKIPIF1<0的切線．例6．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？家荒＃┤糁本€SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線，也是SKIPIF1<0的切線，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線，也是曲線SKIPIF1<0的切線，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點三：運用函數(shù)與方程的思想研究不等式問題【典型例題】例8．（2023春·廣西·高三期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的最小值；（2）若對SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范圍．例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．（2023·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求a的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點四：運用函數(shù)與方程的思想研究其他問題【典型例題】例11．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0的面積為S，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求A和a的大?。唬?）若SKIPIF1<0為銳角三角形，求SKIPIF1<0的面積S的取值范圍．例12．（2023春·河北張家口·高三張家口市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其中一個焦點在直線SKIPIF1<0上．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0兩點，試求三角形SKIPIF1<0面積的最大值．例13．（2023春·陜西咸陽·高三陜西咸陽中學(xué)校考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）在（1）的條件下，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，若對任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)k的最小值．例14．（2023春·北京·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0（1）函數(shù)SKIPIF1<0的值域是____________．（2）若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0恰有兩個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是______________-．【新題速遞】一、單選題1．（2023·廣東茂名·高三統(tǒng)考）已知三棱柱SKIPIF1<0的頂點都在球O的表面上，且SKIPIF1<0，若三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)面積為SKIPIF1<0，則球O的表面積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·河北滄州·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞減數(shù)列 B．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列C．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0二、多選題4．（2023·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<05．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時，圓SKIPIF1<0上恰有三個點到直線SKIPIF1<0的距離等于1C．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有一個交點D．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有三條公切線，則SKIPIF1<06．（2023春·山東日照·高三統(tǒng)考）下列命題中是真命題的有（

）A．SKIPIF1<0有四個實數(shù)解B．設(shè)a、b、c是實數(shù)，若二次方程SKIPIF1<0無實根，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為27．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0取到最大值時，SKIPIF1<0 D．設(shè)SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<08．（2023春·福建泉州·高三泉州五中?？迹?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減三、填空題9．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0內(nèi)存在非零實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱函數(shù)SKIPIF1<0為“壹函數(shù)”，則下列函數(shù)是“壹函數(shù)”的是______．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．10．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_________．四、解答題11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．（1）求實數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．12．（2023春·上海浦東新·高一華師大二附中?？迹┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．（1）若不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，求m的值；（2）在（1）的條件下，若SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（3）若關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，求實數(shù)c的值．13．（2023春·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）當(dāng)c＝b時，解關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0＞1；（2）若SKIPIF1<0的值域為[1，SKIPIF1<0），關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0的解集為（m，m＋4），求實數(shù)a的值；（3）若對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最大值為1，求SKIPIF1<0的取值范圍．14．（2023春·河北邯鄲·高三?？迹┮阎獟佄锞€SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為1，且SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）過焦點SKIPIF1<0作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0和SKIPIF1<0?SKIPIF1<0四點，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．15．（2023春